Exercice 1: (4 Pts)
Partie I:
On considère dans (Z×Z) l’équation suivante:
((E): 17 x-11 y=2021)
1. Montrer que:
si ((x, y)) est une solution de ((E)) alors (x ≡ 5[11]).
2. Résoudre dans (Z×Z) l’équation ((E)).
Partie II:
Soit (p) un entier naturel premier tel que (p ≥ 3), différent de 43 et 47.
On admet que : (2021=43×47)
On considère dans (Z×Z) I’équation suivante :
((E_{p}): 17 x^{p-1}-11 y^{p-1}=2021)
1. Soit ((x, y)∈Z×Z) une solution de l’équation ((E_{p}))
a. Montrer que pour tout entier (a), on a :
( a^{p-1} ≡ 0[p]) ou (a^{p-1} ≡ 1[p]).
b. Vérifier que (p) et 2021 sont premiers entre eux.
c. En déduire que:
(x˄p=1) ou (y˄p=1).
d. Montrer que:
(17 x^{p-1}-11 y^{p-1} ≡-11[p]) ou (17 x^{p-1}-11 y^{β-1} ≡ 6[p])
ou (17 x^{p-1}-11 y^{p-1} ≡ 17[p]) .
2. Déduire des questions précédentes que:
l’équation ((E_{17})) n’admet pas de solution dans (Z×Z)
Exercice 2: (4 Pts)
Partie I:
On considère dans (ℂ), l’équation d’inconnue définie par:
((E): z^{2}-(1+5 i) z-8+4 i=0)
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe (8-6 i).
2. Résoudre dans l’ensemble (ℂ) l’équation ((E))
Partie II:
Dans le plan complexe est rapporté ả un repère orthonormé direct
((O vec{i}, vec{j})), on considère:
(A, B, C) et (M) les points d’affixes respectives:
(z_{A}=i, z_{B}=2+2 i), (z_{C}=-1+3 i) et (z_{M}=m) où (m∈ℂ ^{*})
1. a. Déterminer l’ensemble des points (M(m))
pour que les points (O,C) et (M) soient alignés.
b. En déduire l’ensemble des points (M(m)) tels que:
(OCM) soit un triangle rectangle en (O)
2. Montrer que le triangle (A B C) est rectangle et isocèle en (A).
3. On considère la rotation (R) de centre (A)
et d’angle (frac{π }{2}) et l »homothétie (H) de centre (A) et de rapport -2.
a. Déterminer l’écriture complexe des transformations (R) et (H).
b. Montrer que l’écriture complexe de la transformation
(T=R circ H) est (z^{prime}-i=-2 i(z-i))
c. Soit (C) l’image du point (C) par la transformation (T).
Montrer que les points (A, B) et (C) sont colinéaires.
4. Déterminer l’ensemble des points (M(m)) tels que:
les points (A, B, C) et (M) soient cocycliques
Exercice 3: (6,25 Pts)
Soit (n) un entier naturel.
on considère la fonction numérique (g_{n}) définie sur l’intervalle ([0,+∞[) par :
(g_{n}(0)=n)
et (∀x>0: g_{n}(x)=n-xln (x))
et soit ((C_{g_{n}})) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})).
Partie I:
1. a. Montrer que la fonction (g_{n}) est continue à droite au point 0.
b. Etudier la dérivabilité de la fonction (g_{n}) à droite au point 0.
c. Calculer (g_{n}^{prime}(x)) pour tout (x) de (] 0,+∞[),
puis étudier les variations de la fonction (g_{n}).
2. Etudier la branche infinie en (+∞).
3. Tracer la courbe ((C_{g_{1}})).
(On prend : (||i||=1 cm) )
4. Calculer en (cm ^{2}), l’aire du domaine plan limité par la courbe (( C _{g_{1}}))
et l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives:
(x=frac{1}{e^{2}}) et (x=1).
Partie II:
On pose : (f=g_{0}), et soit (n) un entier naturel tel que (n ≥ 3).
1. Montrer que l’équation (f(x)=frac{1}{n})
admet exactement deux solutions (x_{n}) et (y_{n}) tels que :
(0<x_{n}<frac{1}{e}<y_{n}<1).
2. a. Montrer que la suite ((x_{n})_{n ≥ 3}) est convergente
b. Montrer que (∀n ≥ 3): (x_{n}<frac{1}{n}),
puis déduire (lim_{n ➝+∞} x_{n}).
3. a. Montrer que (∀n ≥ 3):
( 2 ln x≤ x),
puis déduire (∀n ≥ 3):
(frac{1}{n^{2}}≤ x_{n}).
b. Montrer que (∀n ≥ 3):
(ln (x_{n}) ≥-ln n-ln (2)-ln (ln n)).
c. En déduire que:
(lim _{n ➝+∞} frac{ln (x_{n})}{ln n}=-1).
4. a. Montrer que la suite ((y_{n})_{n ≥ 3}) converge
et que (lim _{n ➝+∞} y_{n}=1).
b. Montrer que (∀n ≥ 3, ∃ c_{n}∈] y_{n},I[):
(frac{y_{n}-1}{ln (y_{n})}=c_{n}).
c. En déduire que:
(lim _{n ➝+∞} n(y_{n}-1)=-1).
Exercice 4: (5,75 Pts)
On considère la fonction numérique (F) définie sur ([1,+∞[) par
(F(1)=-ln 2)
et (∀x>1): (F(x)=int_{x^{2}}^{x} frac{t-1}{ln ^{2}(t)} dt)
et soit ((C_{F})) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})).
1. Soit (h) la fonction numérique définie sur l’intervalle ([1,+∞[) par :
(h(1)=1)
et ((∀x∈]1,+∞[) ; h(x)=frac{x-1}{ln x})
a. Montrer que:
la fonction (h) est continue sur l’intervalle ([1,+∞[)
b. Vérifier que pour tout (x) de (]1,+∞[.) on a :
(int_{x}^{x^{2}} frac{1}{t ln t} dt=ln 2).
c. En utilisant la technique de l’intégration par partie,
montrer que :
((∀x∈] 1,+∞[) ; F(x)-F(1)=frac{x(x-1)(x+2)}{2} h(x)-int_{x}^{x^{2}} frac{2 t+1}{t} h(t) dt)
d. Déduire que (F) est continue a droite en 1 .
2. a. Montrer que la fonction (F) est dérivable sur l’intervalle (]I _{5},+∞[)
puis calculer la dérivé premier (F^{prime}) de la fonction (F).
b. En utilisant le théorème des accroissements finis deux fois,
montrer que:
((∀x∈] 1,+∞[)(∃(α ; β)∈(] 1, x[)^{2})(α>β))
(F(x)-F(1)=frac{(1-x)(α+2)}{2} β^{2})
c. Montrer que:
la fonction (F) est dérivable à droite en 1 et calculer (F_{d}^{prime}( I )).
3. a. Montrer que ((∀x∈]1,+∞[)(∃ c_{x}∈[x,x^{2}])):
(F(x)=(x-x^{2}) frac{c_{x}-1}{ln ^{2}(c_{x})}).
b. En déduire que (∀x∈]1,+∞[):
(F(x)≤ -x(frac{h(x)}{2})^{2}).
c. Calculer (lim _{x ➝+∞} F(x)) et (lim _{x ➝+∞} frac{F(x)}{x}),
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
4. a. Donner le tableau de variations de (F).
b. Tracer la courbe ((C_{F}).) (On prend: (||i||=1 cm) ).
By Prof. Abdelali Tajjiou