Exercice 1: (5 Pts)
I.
On considère dans (C) l’équation d’inconnue (z) définie par:
(( E ): 4 z ^{2}-2 z +1=0)
1) Résoudre dans (C) l’équation ((E)).
2) En déduire les solutions de l’équation:
(4(2 i z+1+i sqrt{3})^{2}-2(2 i z+1+i sqrt{3})+1=0)
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
(( O ; vec{ u } ; vec{ v })).
On considère les points (A ; B) et (C) d’affixes respectives:
(z _{A}=frac{ 1 }{2}+ i frac{sqrt{3}}{2} ; z_{B}=frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2} ; z _{C}=- 1),
1) a) Ecrire le nombre complexe (frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}})
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle (ABC).
2) Soit (D) limage du point (C) par la translation (T) de vecteur (overrightarrow{ BA }).
a) Montrer que:
l’affixe du point (D) est (z_{D}=-1+i sqrt{3})
b) Montrer que:
les droites ((AC)) et ((BD)) sont perpendiculaires.
3) Soit (h) la transformation du plan qui a tout point (M(z))
associe le point (M'(z’))
tel que (z’=2 z-i sqrt{3})
a) Montrer que (h) est homothermie
de centre (Ω(ω=i sqrt{3})) et de rapport (=2).
b) Déterminer l’affixe du point (E) limage du point (A) par l’homothétie (h).
4) Montrer que:
les points (A; B; C) et (E) appartiennent à un même cercle
dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2: (4 Pts)
Soit (f) la fonction définie sur (I =[0;1]) par:
(f ( x )=- x^{2}+2x)
1) Montrer que:
(f) est continue et strictement croissante sur l’intervalle (I).
2) Déterminer (f (I)).
3) Soit ((U_{n})) la suite définie par :
(U_{0}=frac{3}{7})
∀n ∈ IN : (U_{n+1}=f(U_{n}))
a) Montrer que ∀n ∈ IN : 0<U_{n}<1).
b) Etudier la monotonie de la suite (( U _{ n })).
Que peut – on en déduire?
c) Calculer (lim _{n➝+∞} U_{n}).
4) On considère la suite ((V_{n})) indéfinie par ∀n ∈ IN :
(V_{n}=ln(1-U_{n}))
a) Montrer que:
((V_{n})) est une suite géométrique de raison 2 .
b) Calculer (V_{n} e n) fonction de (n);
puis déterminer la limite de la suite ((V_{n}))
Exercice 3: (8,5 Pts)
Partie 1:
On considère la fonction (g) définie sur (IR) par:
(g (x)=(2x+3) e^{x+1}+ 1)
1) Calculer:
(lim _{x➝+∞} g(x)) et (lim _{x➝-∞} g(x)).
2) Etudier les variations de la fonction (g) sur (IR)
puis dresser son tableau de variation.
3) En déduire que pour tout réel x :(g ( x )> 0).
Partie 2 :
Soit (f) la fonction définie sur (IR) par:
(f (x)=x-3+(2x+1 ) e ^{x+1}).
Et soit (( C _{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(( o ; vec{i} ; vec{j}))
1) a) Vérifier que: (lim _{x➝+∞} f(x)=+∞)
b) Montrer que :
la courbe (( C _{f})) admet une branche parabolique de direction
l’axe des ordonnées au voisinage de (+∞).
2) a) Montrer que:
(lim _{x➝-∞} f(x)=-∞)
b) Montrer que:
la (( D )) d’équation (y = x -3) est une asymptote à la courbe (( C _{ f }))
au voisinage de (-∞).
c) Déterminer la position relative
de la droite (( D )) et la courbe (( C _{ f })).
3) a) Montrer que ∀x ∈ IR : (f^{prime}( x )= g ( x ))
b) Dresser le tableau de variation de (f) sur (R).
4) Montrer que l’équation (f(x)=0) admet une solution unique (α)
dans l’intervalle (] 0 ; frac{1}{2}[)
5) Construire la courbe ((C_{f})).
6) a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que:
(int_{0}^{1}(2 x+1) e^{x+1} d x=e^{2}+e)
b) Calculer en (c m ^{2}) l’aire du domaine plan limité par ((C_{f}));
l’axe des abscisses et les droites d’équations (x= 0) et (x= 1).
Exercice 4: (2,5 Pts)
Soit (f) la fonction définie sur (IR) par:
(f ( x )=ln(x+sqrt{1+x^{2}}))
1) Montrer que la fonction (f) est impaire.
2) Calculer (lim _{x➝+∞} f(x));
puis déduire (lim _{x➝-∞} f(x)).
3) Etudier les variations de la fonction (f) sur (IR).
4) Montrer que (f) admet une fonction réciproque (f ^{-1}) définie sur (IR).
5) Montrer que ∀x ∈ IR:
(f ^{-1}(x)=frac{e^{x}-e^{-x}}{2})
By Prof.Younes Baba