Exercice 1:
Dans le système de numération décimal,
on considère le nombre entier naturel :
(N=abcabc_{(10)}) (écriture en base 10)
tel que: (a≠0)
1- Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre:1001.
2- Montrer que le nombre (N) est divisible par 7 et 11 et 13.
3- Déterminer le reste de la division euclidienne de (N) par 1001 .
4- Soit q le quotient de la division euclidienne de (N) par 7,
Déterminer q et déduire les valeurs de (N) pour que:
q soit un carré parfait .
Exercice 2:
1-a- Résoudre dans (Z^{2}) l’équation (E _{1}): (13 x-19 y=11)
b- Soit ((x,y)) de(Z^{2}) solution de (( E _{1}))
déterminer les valeurs possibles de (d=x˄y)
c-Résoudre dans (Z^{2}) le système :
((S_{1}):left{begin{array}{l}13 x-19 y=11 \ x˄y=1end{array}right.)
2- Résoudre dans (Z) l’équation ( E _{2}):
((n+1)^{13} ≡-6[13])
et le système :
((S_{2}):left{begin{array}{l}(n+1)^{13} ≡-6[13] \ (n+1)^{19} ≡ 5[19]end{array}right.)
Exercice 3:
oient (F), (G) deux. fonctions définies sur (R ^{+}) par:
(G(x)=int_{1}^{sqrt{4 x}} t e^{t} dt, F(x)=int_{1}^{x} e^{sqrt{4 t}} dt)
1- Montrer que G est dérivable sur (IR ^{*+})
et on a (∀x∈IR ^{*+}): (G'(x)=2 F'(x))
2- En déduire que (∀x∈IR ^{*+}): (2 F(x)=G(x)-G(1))
3-Montrer que ((∀x∈IR ^{*+})):
(G(x)=(sqrt{4 x}-1) e^{sqrt{4 x}})
4- Calculer le volume induit par rotation d’un tour complet
du courbe de (f: x➝e^{sqrt{x}}) autour de l’axe (ox), sur l intervalle ([1;2])
Exercice 4:
Le plan complexe ((P)) muni du repère orthonormé
((O,vec{u},vec{v})) .
On considère les points (z_{A}=1, z_{B}=-1et z_{E}=j)
avec: (j=-frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2})
1- a-Déterminer les racines cubiques des nombres complexes :
(j) et (overline{j})
b-Soit z de (ℂ -{j})
Montre que (∀α∈R -{(2 k+1)π / k∈Z }):
(frac{j+z}{j-z}=e^{i α} ⇔ z=i . j tan (frac{α}{2}))
c-Déduire les solutions de l équation ( E ):
((j+z)^{6}+(j^{2}-z^{2})^{3}+(j-z)^{6}=0 ) dans (ℂ)
2- On considère l’application (f) qui associé tout point M(z) distinct de B au point M'(z’)
tel que : (z’=frac{-2 z}{z+1})
a-Écrire l affixe du point (E’ = f (E)) sous forme trigonométrique
b-Vérifier que (∀z∈ℂ -{-1}):
(z’+1=frac{1-z}{1+z})
c-Démonter que tout point M(z) distinct de B on a :
(BM’=frac{AM}{BM})
d-Déduire que si M(z) varie sur l’axe imaginaire,
le point M'(z’) varié sur un cercle (C’) dont on déterminera ces caractéristiques .
3- Soit (Δ) la droite d équation :x=-1 .
a-Montrer que si M'(z’)∈(Δ) on a:
(frac{1-z}{1+z}) est un imaginaire pure .
b-En déduire que:
si M'(z’) varie sur (Δ), le point M(z) varie sur un cercle (C ) a déterminer ces caractéristiques .
4- a-Montrer que (∀z∈ℂ -{-1 ; 1}):
((overline{(vec{u},overrightarrow{BM’}})≡π+overline{(overrightarrow{MB},overrightarrow{MA})}[2π])
b-En déduire l’ensemble ((Gamma)) des points M(z)
quand M'(z’) varie sur la demi droite ([BE)) privé du point B.
Exercice 6:
Partie 1
Soit (f) la fonction numérique définie par :
(f(0)=0)
∀x>0: (f(x)=frac{x}{1+x ln x})
1- Montre que:(D_{f}=[0 ;+∞[)
2- Étudier la continuité et la dérivabilité de f a droite en 0 .
3- Étudier la branche infinie de (Cf) au voisinage de+∞
4- Montrer que ∀x∈] 0 ;+∞[:
(f'(x)=frac{1-x}{(1+x ln x)^{2}})
et donner le tableau de variation de f .
5-Etudier la position relative
de ((C_{f})) avec(△) première bissectrice du repère.
6- Construire (Δ) et ((C_{f})) dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j}))
Partie 2
7- Soit (φ) la restriction de (f) sur ([0;1]).
a- Montrer que(φ) admet une fonction réciproque (φ^{-1})
définie sur un intervalle J a déterminer .
b- Étudier la dérivabilité de (φ^{-1}) sur J , tracer la courbe ((C_{φ^{-1}})) dans le repère ((O, vec{i}, vec{j})) .
8- Soit (u∈]0;1]) on pose :
(A(u)=int_{u}^{1} f(t) dt+int_{f(u)}^{1} φ^{-1}(t) dt)
Donner une interprétation géométrique du nombre(A(u)),
calculer (lim _{u ➝ 0^{+}} A(u)).
Partie 3
9- Soit ((u_{n})_{n∈N }) la suite numérique définie par:
(u_{0}=frac{1}{2})
((∀n∈IN ) ; u_{n+1}=f(u_{n}))
a- Montre que(∀n∈IN) : (0<u_{n}<1)
b- Montrer que la suite ((u_{n})_{n∈IN}) est strictement monotone
c- déduire que la suite ((u_{n})_{n∈IN}) est convergente
d- calculer la limite de ((u_{n})_{n∈IN}).
e- Pour tout (n∈IN) on pose :
(v_{n}=prod_{k=0}^{n} u_{k})
prouver que (lim _{n ➝+∞} v_{n}=frac{1}{e}) .
f- Soit (w_{n}) la valeur moyenne de f sur ([u_{n};u_{n+1}])
calculer la limite de la suite ((w_{n})_{n∈N }) .