Exercice 1: (5 Pts)
I.
On considère dans (C) l’équation d’inconnue (Z) définie par:
((E): z^{4}-6 z^{3}+24 z^{2}-18 z+63=0)
1) Vérifier que :
(z^{4}-6 z^{3}+24 z^{2}-18 z+63=(z^{2}+3)(z^{2}-6 z+21)).
2) Résoudre dans (C) l’équation (( E )).
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
(( O ; vec{ u } ; vec{ v })).
On considère les points (A ; B ; C) et (D) d’affixes respectives:
(z _{ A }= i sqrt{ 3 } ; z _{ B }=- i sqrt{ 3 } ; z _{ C }= 3 -2 i sqrt{ 3 })
et (z _{ D }=overline{ z _{ C }}).
1) Soit (E) le point symétrique du point (C) par rapport au point (O).
a) Montrer que l’affixe du point (E) est (z _{ E }=- 3 + 2 i sqrt{ 3 })
b) Ecrire le nombre complexe (frac{z_{D}-z_{B}}{z_{E}-z_{B}})
sous forme trigonométrique.
c) En déduire la nature du triangle (BED).
2) Montrer que:
les points (A ; B ; C) et (D) appartiennent à un même cercle
dont on précisera lerayon et l’affixe de son centre et son rayon.
3) Vérifier que (frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{A}}∈ i R) et interpréter ce résultat.
Exercice 2: (4 Pts)
Soit (f) la fonction définie sur (I=[ 2 ;+∞[) par:
(f ( x )=frac{ x ^{2}+ 4}{2 x})
1) Montrer que:
(f) est continue et strictement croissante sur l’intervalle (I).
2) Déterminer (f ( I )).
3) Soit (( U _{ n })) la suite définie par:
(U _{ 0 }=frac{ 5 }{2})
et ∀n∈ IN : (U _{ n + 1 }= f ( U _{ n }))
a) Montrer que ∀n∈ IN : (U _{ n } geq 2).
b) Etudier la monotonie de la suite (( U _{ n })).
c) En déduire que la suite (( U _{ n })) est convergente.
d) Calculer (lim _{n ➝+∞} U _{ n }).
Exercice 3: (9 Pts)
Partie 1:
On considère la fonction (g) définie sur IR par:
(g ( x )=( 1-x ) e^{x}- 1)
1) Calculer:
(lim _{x ➝+∞} g(x)) et (lim _{x ➝-∞} g(x)).
2) Etudier les variations de la fonction (g) sur (R)
puis dresser son tableau de variation.
3) Déduire le signe de (g ( x )) sur l’intervalle (]-∞ ;+∞[)
Partie 2:
Soit (f) lafonction définie sur IR par :
(f ( 0 )= 3)
(f ( x )=frac{ x }{ e ^{x}- 1 }+2) si (x neq 0) .
Et soit (( C _{ f })) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé (( o ; vec{i} ; vec{j}))
1) Montrer que la fonction (f) est continue en (0).
2) Calculer (lim _{x ➝+∞} f ( x )),
et interpréter géométriquement ce résultat.
3) a) Calculer:
(lim _{x ➝-∞} f(x)) et (lim _{x ➝-∞} frac{f(x)}{x})
b) Montrer que:
la droite (( D )) d’équation (y =- x +2) est une asymptote
à la courbe (( C _{ f })) au voisinage de (-∞)
c) Etudier la position relation de la courbe (( C _{ f })) et la droite (( D )).
4) a) Montrer que:
((forall x∈ D_{f}): f^{prime}(x)=frac{g(x)}{(e^{x}-1)^{2}})
b) Dresser le tableau de variation de (f)
5) Donner l’équation cartésienne de la tangente (( T ))
au point d’abscisse (0).
6) Construire (( T )) et (( C _{ f })).
7) Résoudre graphiquement dans l’intervalle (] 0 ;+∞[.)
Exercice 4: (2Pts)
1) Montrer que:
(int_{0}^{1} frac{x}{1+x^{2}} d x=frac{1}{2} ln 2)
2) a) Vérifier que pour tout (x) de IR :
(frac{x^{3}}{ 1 + x ^{2}}= x -frac{ x }{ 1 + x ^{2}})
b) Calculer l’intégral (int_{0}^{1} frac{x^{3}}{1+x^{2}} d x)
3) A l’aide d’une intégration par parties,
montrer que: (int_{0}^{1} x ln (1+x^{2}) d x=ln 2-frac{1}{2}).
By. Prof Younes Baba