Olympiade de Mathématiques( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
▶️ Algèbre Niv 01 – Ex 10 –
(x,y,z) trois nombres réels strictement positifs et m∊IR
Tel que:
(xyz = 1) et (frac{2mx}{xy+x+1}+frac{2my}{yz+y+1}+frac{2mz}{zx+z+1}=1)
Montrer que (m = frac{1}{2}).
solution: ∸∸∸
on a xyz=1
⇾ yz=1/x ≡ xz=1/y
∸∸∸
▶️ yz+y+1= 1/x + y + 1
yz+y+1=(1+xy+x) / x
yz+y+1 = (1+xy+x) / x ①
∸∸∸
▶️zx+z+1= 1/y + z + 1
zx+z+1=(1+yz+y) / y
zx+z+1=(1+1/x+y) / y
zx+z+1=(x+1+xy) / xy
zx+z+1=(x+1+xy) / xy ②
∸∸∸
ona
A=2xm / (xy+x+1) + 2ym / (yz+y+1) + 2zm / (zx+z+1)=1
d’après ① & ② ↴
2xm / (xy+x+1) = 2xm / (xy+x+1)
2ym / (yz+y+1) = 2ym / [(1+xy+x) / x]
2ym / (yz+y+1) = 2yxm / (1+xy+x)
2zm / (zx+z+1) = 2zm / [(x+1+xy) / xy]
2zm / (zx+z+1) = 2m / (1+xy+1) (xyz=1)
▶️ A= (2xm+2xym+2m) / (1+xy+1)
▶️ A=2mA=1▶️ m=1/2 Faire plus d’exercices
Liens utiles :
L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM
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