Exercice 1:
Thème Analyse :
Partie I :
On considère la fonction u définie sur IR par:
(U(x)=frac{{e}^{2 x}-1}{{e}^{2 x}+1})
1-a) Montrer que la fonction ({u}) est impaire.
b) Calculer (lim _{x➝+∞} u(x)),
puis interpréter géométriquement le résultat.
2-a) Montrer que (u) est strictement croissante sur IR.
b) Écrire une équation de la tangente ((T)) à la courbe ({C}_{u})
au point d’abscisse 0.
3)- Montrer que:
(u) admet une bijection réciproque de (u^{-1})
définie sur un intervalle (J) que l’on déterminera.
4-a) Tracer dans un repère orthonormé ((O ; vec{i}, vec{j}))
les courbes (C_{u}) et (C_{u^{-1}}).
b) Calculer en cm² la surface du secteur Δ tel que :
((Δ)={M(x, y)∈ {P} /(x, y)∈[0, ln 2]^{2} text { et } u(x)≤ y≤ u^{-1}(x)})
Partie II :
Soit (f) fonction numérique définie par:
(left{begin{array}{l}f(0)=1 \ f(x)=frac{2 x}{x+u(x)}, text { si } x≠0end{array}right.)
1-a) Justifier que: (D_{f})=IR,
puis calculer (lim _{x➝-∞} f({x}))
b) Montrer que la fonction (f) est paire,
puis déduire (lim _{x➝+∞} f({x}))
2) Montrer que (f) est continue sur IR
3-a) Montrer que ∀ t∈IR+:
(u'(t)=1-(u(t))^{2}),
puis en déduire que ∀ x∈IR+:
(x-frac{x^{3}}{3}≤ u(x)≤ x)
b) Vérifier que ∀x∈IR*+:
(frac{f(x)-f(0)}{x}=frac{x-u(x)}{2x^{2}}.f(x)),
puis en déduire que (f) est dérivable en 0
et que (f'(0)=f(0)).
4-a ) Montrer que (f) est dérivable sur IR*+
et que ∀x∈IR*+:
(f'(x)=2×frac{u(x)-x.u'(x)}{(x+u(x))^{2}})
b) En utilisant le théorème des accroissement finis,
montrer que ∀x∈IR*+:
(u(x)-x.u'(x)>f(0))
c) Montrer que (f) est strictement croissante sur IR+,
puis déterminer (f)(IR).
Partie III :
Soit (F) la fonction numérique définie par:
(left{begin{array}{l} F(0)=0 \ F(x)=frac{1}{x}int_{0}^{x} ln (f(t)) d t, text { si } x≠0 end{array}right.)
1-a) Justifier soigneusement que : (D_{F}=IR)
b) Montrer que (F) est paire
(Utiliser une intégration par changement de variable ).
2-a) En utilisant le théorème de la moyenne,
montrer que ∀x∈IR*: (f(0)≤ F(x)≤ ln(f(x)))
(b) En déduire que (F) est continue en 0.
c) Montrer que (F) est dérivable à droite en 0
et donner ({F}_{{d}}'(0))
3-a) Vérifier que ∀ t∈IR*+:
( frac{2 t}{1+t}≤ f(t)≤ 2)
b) En déduire que, pour tout (x∈[1,+∞[), on a :
(frac{1}{x}left(int_{0}^{1} ln (f(t)) dt+int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) dtright)≤ F(x)≤ ln 2)
c) Montrer que ∀x∈[1,+∞[:
(int 1^{x} ln(frac{2 t}{1+t}) dt=(x+1).ln(frac{2 x}{x+1})-ln x)
d) En déduire :
(lim _{x➝+∞} F(x)), puis interpréter géométriquement le résultat.
4-a) Montrer que ({F}) est dérivable sur IR*+
et que ∀ x∈IR*+:
(F'(x)=frac{ln (f(x))-F(x)}{x})
b) Dresser le tableau de variation de (F) sur IR*+.
Exercice 2:
Thème : Nombres complexes:
Soit (α) un nombre complexe non nul et l’équation (E):
(z^{3}+α z^{2}-bar{α} z-1=0)
1-a) Montrer que;
si (z_{0}, z_{1}) et (z_{2}) sont les solutions de (({E})) alors (z_{0} z_{1} z_{2}=1)
b) Montrer que:
si (z) est solution de ((E)) alors (frac{1}{bar{z}}) est aussi solution.
c) En déduire que:
((E)) admet au moins une solution de module 1 .
2- On suppose que (|α|=1).
a) Vérifier que (-α) est une solution de ((E))
et montrer que ((E)) est équivalente à :
((z+α)left(a z^{2}+b z+cright)=0)
où (a, b) et (c) sont trois nombres complexes à déterminer en fonction de ({α}).
b) Soit ({theta}) un argument de ({α}).
Écrire les solutions de (({E})) en fonction (operatorname{de} {theta}).
3- Donner les solutions de l’équation:
((F): 2 z^{3}+(1+i sqrt{3}) z^{2}-(1-i sqrt{3}) z-2=0)
Exercice 3:
Thème : Arithmétiques:
Soit
((S):left{begin{array}{l}n equiv 13[19] \ n equiv 6[12]end{array}right.)
1-a) Montrer que:
(∃(u,v)∈Z×Z ; mathbf{19 u}+mathbf{12} {v}=mathbf{1})
b) Montrer que:
(N=13×12 v+6×19 u) est une solution de ((S)).
2-a) Soit (n_{0}) une solution de ((S)).
Montrer que:
((S) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}n equiv n_{0}[19] \ n equiv n_{0}[12]end{array}right.)
b) Montrer que:
(left{begin{array}{l}n equiv n_{0}[19] \ n equiv n_{0}[12]end{array} ⇔n equiv n_{0}[12×19] .right.)
3-a) Trouver une solution de (19 u+12 v=1) puis calculer (N).
b) En déduire l’ensemble des solutions de ( ({S}) ) ( utiliser 2.b).
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2021 Bac Blan 1 Correction :
Examen Math bac 2 SM 2021 Bac Blanc 1- Corrigé –
Exercice 1:
Partie I:
On considère la fonction u définie sur (IR) par :
((∀x∈ IR), u(x)=frac{e^{2x-1}-1}{e^{2x}+1})
1-a-
Montrons que la fonction (boldsymbol{u}) est impaire :
On a (boldsymbol{D}_{boldsymbol{u}}=IR),
alors (∀x∈ D_{u},-x∈ D_{u})
et (u(-x)=frac{e^{-2 x}-1}{e^{-2 x}+1}
=frac{e^{-2 x}left(1-e^{2 x}right)}{e^{-2 x}left(1+e^{2 x}right)}
=-u(x)).
D’où la fonction (u) est impaire.
b-
Calculons (lim _{x➝+∞} u(x)),
puis interprétons géométriquement le résultat :
On (lim _{x➝+∞} u(x)=lim _{x➝+∞} frac{e^{2 x}-1}{e^{2x}+1}).
On pose (X=e^{2x}),
alors cette limite devient:
(lim _{x➝+∞} u(x)=lim _{X➝+∞} frac{X-1}{X+1}=1).
interprétation géométriquement du résultat :
On a (lim _{x➝+∞} u(x)=1)
alors la droite d’équation (y=1) est une asymptote verticale
à la courbe (C_{u}) au voisinage de (+∞).
2-a
Montrons que (u) est strictement croissante sur (IR) :
Soit x∈ IR.
La fonction (u) est dérivable sur (IR)
car
(boldsymbol{x} mapsto mathrm{e}^{2 x}-1)
et (boldsymbol{x} mapsto mathrm{e}^{2 x}+1)
sont dérivables (operatorname{sur} IR)
et (∀x∈ IR, e^{2 x}+1 neq 0)
Alors
(u^{prime}(x)=frac{2 e^{2x}left(e^{2 x}+1right)-2 e^{2 x}left(e^{2 x}-1right)}{left(e^{2 x}+1right)^{2}})
=(frac{4 e^{2 x}}{left(e^{2 x}+1right)^{2}})
Or
(∀boldsymbol{x}∈ IR, boldsymbol{u}^{prime}(boldsymbol{x})>mathbf{0})
alors (boldsymbol{u}) est strictement croissante sur (IR).
b-
Écrivons une équation de la tangente ((T))
à la courbe (C_{u}) au point d’abscisse 0:
On a ((T): y=u^{prime}(0) x+u(0) .)
c’est-à-dire ((T): y=x)
3-
Montrons que (u) admet une bijection réciproque de (u^{-1})
définie sur un intervalle J que l’on déterminera :
On a
(u) est dérivable sur (IR) alors elle continue sur (IR).
Or
(u) est strictement croissante sur (IR),
alors
(u) réalise une bijection de (IR) dans (J=u(IR)=]-1,[).
4-a
Traçons dans un repère orthonormé ((boldsymbol{O} ; overrightarrow{boldsymbol{i}}, overrightarrow{boldsymbol{j}})) les courbes (mathscr{C}_{boldsymbol{u}}) et (mathscr{C}_{boldsymbol{u}^{-1}}) :
4-b
Calculons en cm² la surface du secteur ( (Delta) )
tel que :
((Delta)=left{M(x, y) in mathscr{P} /(x, y) in[0, ln 2]^{2} text { et } u(x) leq y leq u^{-1}(x)right})
On a
(A_{(Delta)}=int_{0}^{ln 2}left|u(x)-u^{-1}(x)right| dx ).
Or (forall x in mathbb{R})
( u(x)=frac{mathrm{e}^{2 x}-1}{mathrm{e}^{2 x}+1})
(x in]-1,1[, u^{-1}(x)=frac{1}{2} ln (frac{1+x}{1-x}))
et (forall x in[0, ln 2], u^{-1}(x)-u(x) geq 0 )
Alors
(A_{(Delta)}=int_{0}^{ln 2}left(frac{1}{2} ln left(frac{1+x}{1-x}right)-frac{mathrm{e}^{2 x}-1}{mathrm{e}^{2 x}+1}right) dx )
=(frac{1}{2} int_{0}^{ln 2} ln left(frac{1+x}{1-x}right) d x-int_{0}^{ln 2} frac{mathrm{e}^{2 x}-1}{mathrm{e}^{2 x}+1} dx )
=…
Partie II :
Soit (f) fonction numérique définie par :
(left{begin{array}{l}f(0)=1 \ f(x)=frac{2 x}{x+u(x)}, text { si } x neq 0end{array}right.)
Justifions que :
({D}_{{f}}={IR}), puis Calculons (lim _{x rightarrow-infty} {f}({x})) :
On a
({x} in {D}_{{f}} quad Leftrightarrow {x} in {R})
et
({f}({x}) in {IR}) (Leftrightarrow x in {R})
et
([(x+u(x) neq 0) et (x neq 0)) ou (x=0]) (Leftrightarrow x in {R})
et
((x neq 0) ou (x=0)) (Leftrightarrow x in {IR})
D’où
(D_{f}={R}).
On a
(lim _{x rightarrow-infty} f(x)=lim _{x rightarrow-infty} frac{2 x}{x+frac{u(x)}{2}})
=(lim _{x rightarrow-infty} frac{u(x)}{1+frac{u(x)}{x}})
=2
car
(lim _{x rightarrow-infty} u(x)=-1 text { et } lim _{x rightarrow-infty} frac{u(x)}{x}=0)
b-
Montrons que:
la fonction ({f}) est paire, puis déduisons (lim _{{x} rightarrow+infty} {f}({x}):)
On a:
({D}_{{f}}={IR})
alors:
(forall x in D_{f},left{begin{array}{l}x in D_{f} \ f(-x)=frac{-2 x}{-x+u(-x)}=frac{-2 x}{-x-u(x)}=frac{2 x}{x+u(x)}=f(x)end{array}right.)
Donc:
(f) est une fonction paire.
Par suite (lim _{x rightarrow+infty} f(x)=lim _{x rightarrow-infty} f(x)=2)
2-
Montrons que
({f}) est continue sur ({IR}) :
La fonction ({x} mapsto 2 {x}) est une fonction polynôme
alors
elle est continue sur ({IR}) et en particulier sur ({IR}^{*})
Encore
La fonction ({x} mapsto {x}+{u}({x})) est une somme de deux fonctions continues sur ({IR})
et (forall {x} in {R}^{*}, {x}+{u}({x}) neq {0})
Donc
la fonction ({f}) est continue sur ({R}^{*}) (1).
Étudions sa continuité en ({0}) :
On a
(lim _{x rightarrow 0} f(x)=lim _{x rightarrow 0} frac{2 x}{x+u(x)})
=(lim _{x rightarrow 0} frac{2}{1+frac{u(x)}{x}}=1=f(0))
Car
(lim _{x rightarrow 0} frac{{u}({x})}{{x}}={u}^{prime}({0})={1} .)
Par suite (tilde{f}) est continue en ({0}) (2).
De (1) et (2)
on en déduit que ({f}) est continue sur ({R}).
3-a
Montrons que:
(left(forall {t} in {R}^{+}right), {u}^{prime}({t})={1}-({u}({t}))^{2}),
puis en déduisons que :
(left(forall {x} in {R}^{+}right), {x}-frac{{x}^{3}}{{3}} leq {u}({x})leq x .)
On a
((forall {t} in {R}^{+}), {u}^{prime}({t})=frac{4 {e}^{2 t}}{left({e}^{2t}+1right)^{2}})
=(frac{left({e}^{2 t}+1right)^{2}-left({e}^{2 t}-1right)^{2}}{left({e}^{2 t}+1right)^{2}})
=({1}-({u}({t}))^{2}.)
On a
(left(forall t in {R}^{+}right), {0} leq {u}({t})<{1})
soit
({0} leq {1}-({u}({t}))^{2}<{1})
C’est-à-dire
({0} leq {u}^{prime}({t})<{1} .)
alors
(left(forall {x} in {R}^{+}right), {0} leq int_{{0}}^{{x}} {u}^{prime}({t}) {d} {t}<int_{{0}}^{{x}} {d} {t}).
D’où (left(forall x in {R}^{+}right), {0} leq {u}({x})<{x} .)
Par suite
(left(forall {x} in {R}^{+}right), {u}({x}) leq {x}left(^{*}right)).
On a encore
(left(forall t in {R}^{+}right), {0} leq {u}({t})<{t}) soit ({1}-{t}^{2}<{1}-({u}({t}))^{2} leq {1})
Alors
(left(forall x in {R}^{+}right), int_{0}^{x}left(1-t^{2}right) d t<int_{0}^{x} u^{prime}(t) d t .)
C’est-à-dire
(left[t-frac{t^{3}}{3}right]_{0}^{x}<[u(t)]_{0}^{x})
D’où
({x}-frac{{x}^{3}}{{3}}<{u}({x}))
Par suite
(left(forall {x} in {R}^{+}right), {x}-frac{{x}^{3}}{{3}} leq {u}({x})(* *) .)
De (*) et (**) on en déduit que:
(left(forall {x} in {R}^{+}right), {x}-frac{{x}^{3}}{{3}} leq {u}({x})leq x .)
b-
Vérifions que :
(left(forall x in mathbb{R}^{*+}right), frac{{f}({x})-{f}({0})}{{x}}=frac{{x}-{u}({x})}{2 x^{2}} cdot f(x)),
puis en déduisons
que (f) est dérivable en 0
et que (f ^{prime}(0)=0) :
soit
(x in R^{*+}).
On a
(f(x)-f(0)=frac{2 x}{x+u(x)}-1=frac{2 x-x-u(x)}{x+u(x)}=frac{x-u(x)}{x+u(x)}=frac{x-u(x)}{2 x} cdot f(x) .)
Donc
(frac{f(x)-f(0)}{x}=frac{x-u(x)}{2 x^{2}} cdot f(x))
On a
(lim _{x rightarrow 0} frac{f(x)-f(0)}{x}=lim _{x rightarrow 0} frac{x-u(x)}{2 x^{2}} cdot f(x))
Or
(forall x in mathbb{R}^{+}, x-frac{x^{3}}{3} leq u(x) leq x) alors (0 leq frac{x-u(x)}{2 x^{2}} leq frac{x}{6})
par suite
(lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{x-u(x)}{2 x^{2}}=0)
Sachant que
(lim _{x rightarrow 0^{+}} f(x)=1),
on a donc
(lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{f(x)-f(0)}{x}=0)
D’où
(f) est dérivable à droite en ({0}) et ({f}_{{d}}^{prime}({0})={0}).
Or
({f}) est paire
alors
elle est dérivable à gauche en ({0})
et
({f}_{{g}}^{prime}({0})=-{f}_{{d}}^{prime}({0})
={0}).
Donc
({f}) est dérivable en ({0})
et ({f}^{prime}({0})={0}).
4-a
La fonction (x mapsto 2x) est une fonction polynôme
alors
elle est dérivable sur (R)
et en particulier sur (R^{*})
Encore La fonction (x mapsto x+u(x)) est une somme de deux fonctions dérivables sur (R)
et (forall x in R^{*}, x+u(x) neq 0)
Donc
la fonction (f) est dérivable sur (R^{*})
et on a
((forall x in R^{*+}),)
(f^{prime}(x) =frac{2(x+u(x))-2 xleft(1+u^{prime}(x)right)}{(x+u(x))^{2}})
= (2 times frac{x+u(x)-x-x u^{prime}(x)}{(x+u(x))^{2}})
= (2 times frac{u(x)-x u^{prime}(x)}{(x+u(x))^{2}})
b-
Soit ({x} in in mathbb{R}^{*+}).
On a
({u}) continue sur ([{0}, {x}]) et dérivable sur (]{0}, {x}[)
alors
d’après le théorème des accroissement finis (exists {c} in] {0}, {x}left[, {u}^{prime}({c})=frac{{u}({x})-{u}({0})}{{x}-{0}}=frac{{u}({x})}{{x}}right.).
On a :
({0}<{c}<{x} Rightarrow {0}<{u}({c})<{u}({x}))
(Rightarrow {0}<{u}^{2}({c})<{u}^{2}({x}))
(Rightarrow {1}-{u}^{2}({x})<{1}-{u}^{2}({c})<{l})
(Rightarrow {u}^{prime}({x})<{u}^{prime}({c})<{1})
(Rightarrow {u}^{prime}({x})<frac{{u}({x})}{{x}}<{1})
(Rightarrow {u}^{prime}({x})<frac{{u}({x})}{{x}})
(Rightarrow {u}({x})-{x} {u}^{prime}({x})>{0})
c-
On a
(left(forall {x} in mathbb{R}^{*+}right),)
({f}^{prime}({x})={2} times frac{{u}({x})-{x} {u}^{prime}({x})}{({x}+{u}({x}))^{2}})
Or
({u}({x})-{x} {u}^{prime}({x})>{0})
et (({x}+{u}({x}))^{2}>{0}),
alors
(left(forall {x} in mathbb{R}^{*+}, {f}^{prime}({x})>{0} .right.)
Donc ({f}) est strictement croissante sur (mathbb{R}^{+}).
Or
({f}) est paire alors elle strictement décroissante sur (mathbb{R}^{-})
D’où
(f(mathbb{R})=left[{f}({0}) ; lim _{x rightarrow-infty} f(x)left[cupleft[f(0) ; lim _{x rightarrow+infty} f(x)[=[1;2[right.right.right.)
Partie III :
Soit (F) la fonction numérique définie par :
F(0)=0
F(x)=(frac{1}{x} int_{0}^{x} ln (f(t)) d t, text { si } x neq 0)
1-a
Justifions soigneusement que :
(D_{F}=R)
Soit
({h}: {t} mapsto ln ({f}(t))).
On a
(t in {D}_{{h}} Leftrightarrow {t} in R)
et
( {f}({t}) in R^{*+} Leftrightarrow {t} in R)
car
( forall {t} in R, {f}({t}) in[1;2[)
Alors ({D}_{{h}}=R)
Donc ({D}_{{F}}=left{{x} in IR / {x} in {D}_{{h}}right.)et (left.{x} neq {0}right} cup{{0}}=IR^{*} cup{{0}}=IR)
b-
Montrons que (F) est paire
On a
(D_{F}=IR),
alors (forall x in D_{F},-x in D_{F})
et
F(x)=(frac{1}{x} int_{0}^{x} ln (f(t)) d t)
(on pose y=-t c-à-d t=-y et dt=-dy)
(=frac{1}{x} int_{0}^{-x}-ln (f(-y)) d y)
(=-frac{1}{x} int_{0}^{-x} ln (f(y)) d y)
car (f) est paire
(=frac{1}{-x} int_{0}^{-x} ln (f(t)) d t)
(=F(-x))
D’où F est une fonction paire.
2-a
Soit (x in IR^{*+})
On a la fonction (t mapsto ln (f(t))) est continue sur (IR)
et en particulier
(operatorname{sur}[0, x] .)
Alors
(exists c in[0, x], ln (f(c))=frac{1}{x} int_{0}^{x} ln (f(t)) d f)
C’est-à-dire
(exists c in[0, x], ln (f(c))=F(x)).
On a
(0 leq c leq x Rightarrow mathbf{1} leq f(c) leq f(x)(f) est croissante)
(Rightarrow 0 leq ln (f(c)) leq ln (f(x))) (la fonction (ln) est croissante ())
(Rightarrow 0 leq F(x) leq ln (f(x)))
D’où
(forall x in IR^{*+}, 0 leq F(x) leq ln (f(x)) star).
Pour (x in IR^{*-}),
alors (star) devient (forall x in IR^{*-}, 0 leq F(-x) leq ln (f(-x))).
Or les fonction (f) et (F) sont paires
alors
(forall x in IR^{*-}, 0 leq F(x) leq ln (f(x)) star star)
Donc de (star) et (star star),
on a
(forall x in IR^{*}, 0 leq F(x) leq ln (f(x))).
b-
En déduisons que (F) est continue en (0) :
On a
(forall x in IR^{*}, 0 leq F(x) leq ln (f(x)))
et (lim _{x rightarrow 0} ln (f(x))=ln 1=0).
Alors
(lim _{x rightarrow 0} F(x)=0=F(0) .)
Donc
(F) est continue en (0).
c-
Montrons que (F) est dérivable à droite en (0)
et donnons (F_{d}^{prime}(0)) :
On a
(forall x in IR^{*+}, 0 leq F(x) leq ln (f(x)))
soit (0 leq frac{F(x)}{x} leq frac{ln (f(x))}{x})
Alors
(lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{F(x)-F(0)}{x-0}=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{F(x)}{x})
(=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{ln (f(x))}{x})
(=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{ln (f(x))}{f(x)-1} times frac{f(x)-1}{x})
(=1 times 0)
=0
Donc F est dérivable à droite en 0
et (F_{d}^{prime}(0))
3-a
Vérifions que :
(left(forall t in IR^{*+}right), frac{2 t}{1+t} leq f(t) leq 2) :
Soit (t in IR^{*+} .)
On a :
(f(t)-2=frac{2 t}{t+u(t)}-2=frac{-2 u(t)}{t+u(t)})
Or
(left(forall t in IR^{*+}right), u(t)>0) alors (f(t)-2<0).
D’où
(left(forall t in IR^{*+}right), f(t) leq 2 ,) ①
Et on a:
(frac{2 t}{1+t}-f(t)=frac{2 t}{1+t}-frac{2 t}{t+u(t)}=2 tleft(frac{1}{1+t}-frac{1}{t+u(t)}right))
Or (left(forall t in IR^{*+}right), u(t)<1) alors (t+u(t)<t+1) soit (frac{1}{t+u(t)}>frac{1}{1+t} .)
Donc
(frac{2 t}{1+t}-f(t)<0)
Par suite
(left(forall t in IR^{*+}right), frac{2 t}{f{1 + t}} leq f(t) , )②
Donc de ① et ②
on en déduit que:
(left(forall t in IR^{*+}right), frac{2 t}{1} leq f(t) leq 2).
b-
On a
(left(forall t in mathbb{R}^{*+}right), frac{2 t}{1+t} leq f(t) leq 2).
Alors
(ln left(frac{2 t}{1+t}right) leq ln (f(t)) leq ln 2).
(left{begin{array}{l}int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d x leq int_{1}^{x} ln (f(t)) d x \ int_{0}^{x} ln (f(t)) d x leq int_{0}^{x} ln 2 d xend{array}right.)
(Rightarrowleft{begin{array}{l}frac{1}{x} int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d x leq frac{1}{x} int_{1}^{x} ln (f(t)) d x \ frac{1}{x} int_{0}^{x} ln (f(t)) d x leq ln 2end{array}right.)
Donc ∀x∈[1,+∞[, on a :
(frac{1}{x}left(int_{0}^{1} ln (f(t)) d t+int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d tright) leq F(x) leq ln 2)
c-
Soit (x in[1,+infty[).
En intégrant par partie, on a
(int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d t=left[t ln left(frac{2 t}{1+t}right)right]_{1}^{x}-int_{1}^{x} frac{d t}{1+t})
Soit
(int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d t=x ln left(frac{2 x}{1+x}right)-ln (1+x)+ln 2)
C.à.d
(int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d t=x ln left(frac{2 x}{1+x}right)+ln left(frac{2}{1+x}right) .)
Alors
(int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d t=x ln left(frac{2 x}{1+x}right)+ln left(frac{2 x}{1+x}right)-ln x)
D’où
(left(forall x inleft[1,+infty[), int_{1}^{x} ln left(frac{2 t}{1+t}right) d t=(x+1) cdot ln left(frac{2 x}{x+1}right)-ln x .right.right.)
d-
En déduisons:
(lim _{x ➝+infty} F(x)),
puis interprétons géométriquement le résultat
On a
(forall x in [1,+infty[),
(frac{1}{x}(int_{0}^{1} ln (f(t)) d t+int_{1}^{x} ln (frac{2 t}{1+t}) dt) leq F(x) leq ln 2)
et
(int_{1}^{x} ln (frac{2 t}{1+t}) d t=(x+1) cdot ln (frac{2 x}{x+1})-ln x)
(forall x in[1,+infty[,)
(frac{1}{x} int_{0}^{1} ln (f(t)) d t+frac{x+1}{x} cdot ln (frac{2 x}{x+1})-frac{ln x}{x} leq F(x) leq ln 2 …)
Or
(lim _{x ➝+infty} frac{1}{x} int_{0}^{1} ln (f(t)) d t=0, lim _{x ➝+infty} frac{x+1}{x} cdot ln (frac{2 x}{x+1})=ln 2)
et
(lim _{x ➝+infty} frac{ln x}{x}=0)
Alors
(lim _{x ➝+infty} frac{1}{x} int_{0}^{1} ln (f(t)) d t+frac{x+1}{x} cdot ln (frac{2 x}{x+1})-frac{ln x}{x}=ln 2 .)
Par suite
(lim _{x ➝+infty} F(x)=ln 2 .)
Donc
la courbe de la fonction (F) admet une asymptote d’équation (y=ln 2)
au voisinage de (+infty)
4-a
Soit (H(x)=int_{0}^{x} ln (f(t)) d t .)
On a
(H) est une primitive de la fonction (x mapsto ln (f(x))) étant continue sur (IR)
alors
({H}) est dérivable sur (IR) en particulier sur (IR^{*+}).
et on a
la fonction ({x} mapsto frac{1}{{x}}) dérivable sur (IR^{*+}).
Donc
({F}) est dérivable sur (IR^{*+}).
On pose (left(forall t in IR^{*+}right), {H}^{prime}({t})=ln ({f}({t}))).
On a
(left(forall x in IR^{*+}right),)
({F}({x})=frac{1}{{x}} int_{0}^{{x}} ln ({f}({t})) {d} {t}=frac{1}{{x}}({H}({x})-{H}(mathbf{0})) .)
Alors
(left(forall x in IR^{*+}right), {F}^{prime}({x})=-frac{1}{x^{2}}({H}({x})-{H}(mathbf{0}))+frac{1}{{x}} {H}^{prime}({x}) .)
Soit
(left(forall x in IR^{*+}right),)
(F^{prime}(x)=-frac{1}{x} F(x)+frac{1}{x} ln (f(t))=frac{ln (f(x))-F(x)}{x} .)
Dressons le tableau de variation de (F operatorname{sur} IR^{*+}) :
On a
(left(forall x in IR^{*+}right), F^{prime}(x)=frac{ln (f(x))-F(x)}{x})
et
(left(forall x in IR^{*}right), 0 leq F(x) leq ln (f(x)))
Alors
(left(forall boldsymbol{x} in IR^{*+}right), F^{prime}(boldsymbol{x}) geq 0 .)
Par suite
(F) est croissante sur (IR^{*+}).
Tableau de variations de (F) sur (IR^{*+}) :
c-
En déduisons que ((E)) admet au moins une solution de module (1) :
On a ((E)) admet trois solutions (z_{0}, z_{1}) et (z_{2}).
Alors(frac{1}{overline{z_{0}}}, frac{1}{overline{z_{1}}}) et (frac{1}{overline{z_{2}}})
sont aussi des solutions de ((boldsymbol{E})).
Par suite
(z_{0}=frac{1}{overline{z_{0}}})
(z_{1}=frac{1}{overline{z_{1}}})
(z_{2}=frac{1}{overline{z_{2}}}).
D’où
(z_{0} cdot overline{z_{0}}=1)
(z_{1} cdot overline{z_{1}}=1)
(z_{2} cdot overline{z_{2}}=1).
Donc
(left|z_{0}right|=1)
(left|z_{1}right|=1)
(left|z_{2}right|=1).
Exercice 2:
Soit (alpha) un nombre complexe non nul et l’équation (E):
(z^{3}+alpha z^{2}-overline{boldsymbol{alpha}} z-mathbf{1}=mathbf{0})
1-a
Montrons que si (z_{0}, z_{1}) et (z_{2}) sont les solutions de ((E))
alors(z_{0} z_{1} z_{2}=1) :
(z_{0}, z_{1}) et (z_{2}) sont les solutions de ((E))
(Rightarrowleft(z-z_{0}right)left(z-z_{1}right)left(z-z_{3}right)=0)
(Rightarrow z^{3}-z^{2}left(z_{0}+z_{1}+z_{2}right)+zleft(z_{0} z_{1}+z_{0} z_{2}+z_{1}z_{2}right)-z_{0} z_{1} z_{2}=0 )
(Rightarrowleft{begin{array}{l}{alpha}=z_{0}+z_{1}+z_{2}(overline{{alpha}}=z_{0} z_{1}+z_{0} z_{2}+z_{1} z_{2} \ -1=-z_{0} z_{1} z_{2}end{array}right.)
(Rightarrow z_{0} z_{1} z_{2}=1)
b-
Montrons que si (z) est solution de (({E}))
alors (frac{1}{bar{z}}) est aussi solution:
On a
(z) est solutions de (({E}))
(Rightarrow z^{3}+{alpha} z^{2}-overline{{alpha}} z-1=0)
(Rightarrow-z^{3}left(-1-frac{alpha}{z}+frac{bar{alpha}}{z^{2}}+frac{1}{z^{3}}right)=0)
(Rightarrow -1-frac{alpha}{z}+frac{bar{alpha}}{z^{2}}+frac{1}{z^{3}}=0)
(Rightarrow overline{-1-frac{alpha}{z}+frac{bar{alpha}}{z^{2}}+frac{1}{z^{3}}}=0)
(Rightarrow -1-frac{bar{alpha}}{bar{z}}+frac{alpha}{bar{z}^{2}}+frac{1}{bar{z}^{3}}=0)
(Rightarrow frac{1}{bar{z}^{3}}+frac{alpha}{bar{z}^{2}}-frac{bar{alpha}}{bar{z}}-1=0)
(Rightarrow frac{1}{bar{z}}) est solutions de (({E}))