Examen National Math Bac 2 Science Math 2011 Rattrapage

Exercice 1: (3.5 Pts)

Thème: Structures algébriques

Pour tout $x$ et $y$ de l’intervalle $I=]0,1[$
on pose: $x\ast y=\frac{xy}{xy+(1-x)(1-y)}$
1-a)Montrer que * est une loi de composition interne dans $I$
b) Montrer que la loi * est commutative et associative.
c) Montrer que $(I,\ast )$ admet un élément neutre que l’on déterminera.
2-Montrer que $(I,\ast )$ est un groupe commutatif.
3-On considère les deux ensembles $H=\{2^n/n\in Z\}$
et $K=\{\frac{1}{1+2^n}/n\in Z\}$
a) Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(I{R}_{+}^{\ast },\times )$
b) On considère l’application :
$\phi :H➝I$
x➝ $\frac{1}{1+x}$
montrer que $\phi$ est un homomorphisme de $(H,\times$ vers $(I,\ast )$
c)En déduire que $K$ est un sous-groupe de $(I,\ast )$

Exercice 2: (2.5 Pts)

Thème : Arithmétiques

Soit $x$ un nombre entier naturel tel que:
${10}^x\equiv 2[19]$
1-a) vérifier que:
${10}^{x+1}\equiv 1[19]$
b) Montrer que: ${10}^{18}\equiv 1[19]$
2- Soit $d$ le plus grand diviseur commun des deux nombres 18 et $x+1$
a) Montrer que : ${10}^d\equiv 1[19]$
b) Montrer que: $d=18$
c)En déduire que: $x\equiv 17[18]$

Exercice 3: (4 Pts)

Thème : Nombres complexes

Première partie :
On considère dans l’ensemble $ℂ$ l’équation (E):
$z^3-(1+2i)z^2+3(1+i)z-10(1+i)=0$
1 -Vérifier que:
$-2i$ est une solution de l’équation $(E)$
2-Déterminer les deux nombres complexes $\alpha$ et $\beta$
tels que ∀ z∈$ℂ$:
$z^3-(1+2i)z^2+3(1+i)z-10(1+i)=(z+2i)(z^2+\alpha z+\beta )$
3-a) Déterminer les deux racines carrées du nombre $5-12i$
b) Résoudre dans $ℂ$ l’équation $(E)$

Deuxième partie :
Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère les points $A$ et $B$ et $C$
d’affixes respectifs $a=-1+3i$ et $b=-2i$ et $c=2+i$
2-On considère:
la rotation $R_1$ de centre $B$
dont une mesure de l’angle est $\frac{\pi }{3}$
et la rotation $R_2$ de centre $A$
dont une mesure de l’angle est $(-\frac{2\pi }{3})$.
Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z$
et $M_1$ son image par la rotation $R_1$
et $M_2$ son image par la rotation $R_2$.
a) Vérifier que l’expression complexe de la rotation $R_1$ est:
$z^{\prime }=(\frac{1+i\sqrt{3}}{2})z-\sqrt{3}-i$
b) Déterminer $z_2$ l’affixe de $M_2$ en fonction de $z$
c) En déduire que:
$I$, le milieu du segment $[M_1{M}_2]$, est un point fixe.

Exercice 4: (6 Pts)

Thème: Analyse

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0,+\infty [$ par:
$f(x)=x+\ln x$
et $(C)$ sa courbe représentative
dans le plan muni d’un repère orthonormé
$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
(On prendra $\Vert \overrightarrow{i}\Vert =\Vert \overrightarrow{j}\Vert =1cm)$
1- calculer les limites suivantes:
$\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$;
$\underset{x➝0^{+}}{lim}f(x)$ ;
$\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$
et $\underset{x➝+\infty }{lim}(f(x)-x)$
2-a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
b) Montrer que:
$f$ est une bijection de l’intervalle $]0,+\infty [$
vers un intervalle $J$ que l’on déterminera
puis dresser le tableau de variation de la bijection réciproque $f^{-1}$
3) Calculer $f(1)$ et $f(e)$
puis construire $(C)$ et $(C^{\prime })$ la courbe représentative de $f^{-1}$
dans le même repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

4- a) Calculer l’intégrale:
${\int }_1^{e+1}{f}^{-1}(x)dx$
(on posera: $.t=f^{-1}(x))$
b) En déduire l’aire du domaine plan limité par $(C^{\prime })$
et les droites d’équations : $x=1$; $x=e+1$ et $y=x$
5- Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l’équation:
$(E_n)x+\ln x=n$
a) Montrer que:
l’équation $(E_n)$ admet une solution unique $x_n$.
b) Déterminer la valeur de $x_1$ puis montrer que:
$\underset{n➝+\infty }{lim}{x}_n=+\infty$
6-a) Montrer que:
$(\forall n\in I{N}^{\ast })f(x_n)\le f(n)$
en déduire que:
$(\forall n\in I{N}^{\ast })x_n\le n$
b) Montrer que:
$(\forall n\in I{N}^{\ast })$ $n-\ln (n)\le x_n$
c) Calculer $\underset{n➝+\infty }{lim}\frac{x_n-n}{n}$
et $\underset{n➝+\infty }{lim}\frac{x_n}{n-\ln (n)}$

Exercice 5: (4 Pts)

Thème: Suites Numériques

Soit $n$ un entier naturel non nul
et $f_n$ la fonction numérique définie sur $IR$ par:
$f_n(x)=-1+x+\frac{x^2}{2}+\dots +\frac{x^n}{n}$
1-Montrer que:
pour $n\ge 2$ il existe un réel unique ${\alpha }_n$ de l’intervalle $]0,1[.$
tel que : $f_n({\alpha }_n)=0$
2-Montrer que:
la suite $({\alpha }_n{)}_{n\ge 2}$ est strictement décroissante
en déduire qu’elle est convergente.
On pose $l=\underset{n➝+\infty }{lim}{\alpha }_n)$
3-a) Vérifier que pour $t\ne 1$ on a :
$1+t+t^2\dots \dots \dots .+t^{n-1}=\frac{1}{1-t}-\frac{t^n}{1-t}$
b) En déduire que :
${\alpha }_n+\frac{{\alpha }_n^2}{2}+\dots +\frac{{\alpha }_n^n}{n}=-\ln (1-{\alpha }_n)-{\int }_0^{{\alpha }_n}\frac{t^n}{1-t}dt$
4-a) Montrer que :
$(\forall n\ge 2)1+\ln (1-{\alpha }_n)=-{\int }_0^{{\alpha }_n}\frac{t^n}{1-t}dt$
b) Montrer que ∀$(n\ge 2)$ :
$0\le {\int }_0^{{\alpha }_n}\frac{t^n}{1-t}dt\le \frac{1}{(n+1)(1-{\alpha }_n)}$
c) En déduire que : $l=1-e^{-1}$

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