Exercice 1: (6 Pts)
Soit ((u_{n})_{n≥1}) la suite numérique définie par:
(u_{0}=5) et (u_{n+1}=frac{4 u_{n}-9}{u_{n}-2}) pour tout (n) de IN
1. Calculer (u_{1}) et (u_{2})
2.a. Montrer par récurrence que pour tout (n) de IN : (u_{n}>3)
2.b. Montrer que:
pour tout (n) de IN (u_{n+1}-u_{n}=-frac{(u_{n}-3)^{2}}{u_{n}-2})
2.c. En déduire que:
((u_{n})_{n≥1}) est une suite décroissante.
3. Montre que:
la suite ((u_{n})_{n≥1}) est convergente.
4.On pose pour tout (n) de IN : (v_{n}=frac{1}{u_{n}-3})
4.a. Calculer (v_{0})
4.b. Calculer (v_{n+1}-v_{n})
et en déduire que la suite ((v_{n})_{n≥1}) est arithmétique de raison 1
4.c. Montre que:
(v_{n}=frac{1}{2}+n); pour tout (n) de IN
5.a. Vérifier que:
pour tout n de IN: (u_{n}=frac{3 v_{n}+1}{v_{n}})
5.b. En déduire que:
pour tout n de IN: (u_{n}=frac{6 n+5}{2 n+1})
5.c. Calculer (lim_{n ➝+∞}u_{n})
Exercice 2: (10 Pts)
Partie A
On considère la fonction numérique (g) définie sur ]0;+∞[ par:
(g(x)=x^{2}+2-2 ln x)
1. Montrer que (g^{prime}(x)=2(frac{x^{2}-1}{x})) pour tout (x) de ] 0 ;+∞[
2. Etudier le signe de (g^{prime}(x)) sur ] 0 ;+∞[
3. Calculer (g(1)) et dresser le tableau de variations de (g) (Le calcul des limites n’est pas demandé)
4. Déduire du tableau de variations que (g(x)>0) pour tout (x) de ] 0 ;+∞[
Partie B
On considère la fonction numérique (f) définie sur ]0 ;+∞[ :
(f(x)=frac{x}{2}+1+frac{ln x}{x})
et soit ((C)) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O ; vec{i} ; vec{j}))
1. Montrer que (lim _{x ➝ 0 atop x>0} f(x)=-∞)
et donner une interprétation géométrique du résultat.
2.a. Calculer (lim _{x ➝+∞} f(x))
2.b. Calculer (lim _{x ➝+∞}(f(x)-(frac{x}{2}+1)))
puis donner une interprétation géométrique du résultat.
3.a. Calculer (f'(x)) pour tout (x) de ] 0 ;+∞[
3.b. Vérifier que:
(f^{prime}(x)=frac{g(x)}{2 x^{2}}) pour tout (x) de ] 0 ;+∞[
3.c. En déduire que:
(f) est croissante sur ]0 ;+∞[
4.Soit ((D)) la droite d’équation (y=frac{x}{2}+1)
4.a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ((D)) et de la courbe ((C))
4.b. Etudier le signe de ((f(x)-(frac{x}{2}+1))) sur (] 0 ;+∞[)
et en déduire la position relative de ((C)) par rapport à ((D))
5. Calculer (f(1)) et (f^{prime}(1))
et donner l’équation de la tangente à ((C)) au point d’abscisse (x_{0}=1)
6. Dans la figure ci-dessous ((C)) est la courbe représentative de (f)
et ((D)) la droite d’équation (y=frac{x}{2}+1)
dans le repère orthonormé ((O ; vec{i} ; vec{j}))
Soit (a) l’abscisse du point d’intersection de ((C))
avec l’axe des abscisses ((O ; vec{i}))
Donner à partir de la courbe ((C)) le signe de (f(x)) sur ]0 ;+∞[
Exercice 3:
On considère la fonction numérique (h) définie sur IR par:
(h(x)=left(x^{2}+1right) e^{x}-1)
1. Montrer que (h^{prime}(x)=(x+1)^{2} e^{x}) pour tout (x) de IR
2. Donner le signe de (h^{prime}(x)) sur IR
3. Calculer (h(0))
puis dresser le tableau de variations de (h)
(Le calcul des limites n’est pas demandé)
4. Etudier à partir du tableau de variations le signe de (h(x)) sur IR
Exercice 4:
Déterminer une primitive de chacune des fonctions (f_{1}, f_{2}, f_{3}) et (f_{4})
telles que:
1. (f_{1}(x)=frac{2 x}{x^{2}+1}) définie sur IR
2. (f_{2}(x)=3 x^{2}(x^{3}+1)^{2}) définie sur IR
(f_{3}(x)=2 x-frac{2}{x^{3}}) définie sur ]0;+∞[
4. (f_{4}(x)=frac{1+ln x}{x}) définie sur ]0;+∞