Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 33

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 33

Soient x et y deux nombres positifs.
Tels que:

Montrer que:

Solution

on a: 
on multiplier les deux inégalités par (x+1)(y+1)
➝ x(y+1)+y(x+1)=(x+1)(y+1)
➝xy+x+yx+y=xy+x+y+1
➝ xy=1 ①
* d’autre part
on a x²-y²=(x-y)(x+y)
➝ (x²-y²) / (x+y) =x-y (a)
Calcule de  x+y on utilisant ①
* x+y=x+1y=x+xyy=x+xy²= x(1+y²)
* x+y=1x+y=xyx+y=x²y+y= y(1+x²)
d’ou
(a) ➝ (x²-y²) / (x+y) = x-y
➝ [x² / (x+y) – y² / (x+y)] = x-y
➝ [x² / x(1+y²) – y² / y(1+x²)] = x-y
donc:
on a: 
on multiplier les deux inégalités par (x+1)(y+1)
➝ x(y+1)+y(x+1)=(x+1)(y+1)
➝xy+x+yx+y=xy+x+y+1
➝ xy=1 ①
* d’autre part
on a x²-y²=(x-y)(x+y)
➝ (x²-y²) / (x+y) =x-y (a)
Calcule de  x+y on utilisant ①
* x+y=x+1y=x+xyy=x+xy²= x(1+y²)
* x+y=1x+y=xyx+y=x²y+y= y(1+x²)

d’ou

(a) ➝ (x²-y²) / (x+y) = x-y
➝ [x² / (x+y) – y² / (x+y)] = x-y
➝ [x² / x(1+y²) – y² / y(1+x²)] = x-y
donc:
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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