Examen Math Bac 2 Science Math 2013 Rattrapage

Exercice 1: (3.5 pts)

Thème: Structures algébriques

I- Pour tout $x$ et $y$ de l’intervalle $G=]1,2[$ on pose :
$x\ast y=\frac{2(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)}{(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)}$
1-Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne dans $G$
2-On rappelle que $(7_{+}^{\ast },\times )$ est un groupe commutatif.
On considère l’application $fde\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}{}_{+}^{\ast }$ vers $G$ définie par:
$f(x)=\frac{x+2}{x+1}$
a) Montrer que $f$ est un isomorphisme $\mathrm{de}(I{R}_{+}^{\ast },\times )$ dans $(G,\ast )$
b) En déduire que $(G,\ast )$ est un groupe commutatif dont on déterminera l’élément neutre.

II-On rappelle que $(M_3(IR),+,\times )$ est un anneau unitaire dont le zéro est $O=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
et l’unité est $I=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ et que $(M_3(IR),+,\cdot )$ est un espace vectoriel réel
et on pose:
$A=\left(\begin{array}{lll}0& 3& 2\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
1-a) Vérifier que : $A^3=O$
et en déduire que $A$ est un diviseur de zéro dans l’anneau $(M_3(IR),+,\times )$
b) Vérifier que :
$(A^2-A+I)(A+I)=I$ en déduire que la matrice $A+I$ admet un inverse $\mathrm{dans}(M_3(IR),+,\times )$ que l’on déterminera.
2-Pour tout $a$ et $b$ de IR
on pose: $M(a,b)=aI+bA$
et l’on considère l’ensemble E={M(a, b) / (a, b)∈IR²}
Montrer que:
$(E,+,\cdot )$ est un espace vectoriel réel dont on déterminera une base.

Exercice 2: (3 pts)

Thème: Calcul des Probabilités

Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher.
I- On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l’urne. et on considère l a variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules noires tirées.
1- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$
2- Calculer $E(X)$ l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$
II-On réalise l’expérience aléatoire suivante en trois étapes:
Etape 1: On tire une boule de l’urne ,on marque sa couleur et on la remet dans l’urne.
Etape 2: On ajoute dans l’urne 5 boules de même couleur que la boule tirée à l’étape 1
Etape 3: On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne qui contient alors 12 boules après l’étape 2
On considère les événements suivants:
$N$ « la boule tirée à l’étape 1 est noire »
$R$ « la boule tirée à l’étape 1 est rouge »
$E$ « toutes les boules tirées à l’étape 3 sont noires « 
1) Montrer que: $p(E\cap N)=\frac{12}{55}$
2) Calculer $p(E)$
3) Calculer la probabilité de l’événement $R$ sachant que $E$ est realisé.

Exercice 3: (3.5 pts)

Thème : Nombres complexes

I-
Soit $a$ un nombre complexe différent de 1.
On considère dans l’ensemble $ℂ$ l’équation :
$(E):2z^2-2(a-1)z+(a-1{)}^2=0$
1) Montrer que :
$z_1=\frac{(a-1)}{2}(1+i)$ et $z_2=\frac{(a-1)}{2}(1-i)$
sont les deux solutions de l’équation $(E)$
2) On prend $a=e^{i\theta }$ avec $0<\theta <\pi$
a- Montrer que:
$a-1=2\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\left(\frac{\theta +\pi }{2}\right)}$
b-En déduire la forme trigonométrique de $z_1$ et $z_2$

II-
Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct
$(O,\overline{u},\overrightarrow{v})$
On admet que Re (a)<0
et on considère les points $A(a),B(-i),C(i)$ et $B^{\prime }(1)$
1) Déterminer en fonction de $a$,
les affixes des points $J$ et $K$ milieux respectifs de [AC] et [AB].
2) Soit $r_1$ la rotation de centre $J$ et d’angle $\frac{\pi }{2}$
et $r_2$ la rotation de centre $K$ et d’angle $\frac{\pi }{2}$
On pose $C^{\prime }=r_1(C)$ et $A^{\prime }=r_2(A)$ et soient $c^{\prime }$ l’affixe de $C^{\prime }$ et $a^{\prime }$ l’affixe de $A^{\prime }$ Montrer que: $a^{\prime }=z_1$ et $c^{\prime }=z_2$
3) Calculer: $\frac{a^{\prime }-c^{\prime }}{a-1}$
et en déduire que la droite (A B’) est une hauteur du triangle A’B’C’.

Exercice 4: (8.25 pts)

Thème: Analyse

1-Soit $f$ la fonction numérique définie sur [0,+\infty[ par :
$\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2{\ln }^{2}x}}\\ f(0)=1\end{array}$
a) Montrer que $f$ est continue à droite au point $0,$
puis calculer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
b)Etudier la dérivabilité de $f$ à droite au point 0
( On pourra utiliser le résultat $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x{\ln }^{2}x=0$ )
c) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$
et que : $(\mathrm{\forall }x>0);f^{\prime }(x)=\frac{-x\ln x(1+\ln x)}{{(1+x^2{\ln }^{2}x)}^{\frac{3}{2}}}$
d) Donner le tahleaı de variation de la fonction $f$.

2- Soit $F$ la fonction numérique définie sur [0,+\infty[ par:
$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$
et soit $(C_F)$ la courbe représentative de $F$
dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
a)Déterminer:
une primitive de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x\ln x}$ sur l’intervalle $[e,+\mathrm{\infty }[$
b) Montrer que:
$(\mathrm{\forall }t\ge e);t\ln t\le \sqrt{1+t^2{\ln }^{2}t}\le \sqrt{2}t\ln t$
c)Montrer que:
$(\mathrm{\forall }x\ge e);\frac{1}{\sqrt{2}}\ln (\ln x)\le {\int }_e^x\frac{1}{\sqrt{1+t^2{\ln }^{2}t}}dt\le \ln (\ln x)$
d)En déduire que:
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{F(x)}{x}=0$
e) Montrer que $(C_F)$ admet deux points d’inflexions dont on déterminera les abscisses.
f) Construire $(C_F)$.
(on prend $F(1)\backsimeq 0,5$ et $F(\frac{1}{e})\backsimeq 0,4)$.

3- Pour tout $x$ de $[0,+\mathrm{\infty }[$ on pose : $\phi (x)=x-F(x)$
a) Montrer que:
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi (x)=+\mathrm{\infty }$ et étudier les variations de $\phi$
b) Montrer que:
pour tout entier naturel $n$, l’équation $\phi (x)=n$ admet une seule solution ${\alpha }_n$ dans l’intervalle $[0,+\mathrm{\infty }[$
c) Montrer que: $(\mathrm{\forall }n\in IN);{\alpha }_n\ge n$
puis calculer: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_n$
4-a), Montrer que:
$(\mathrm{\forall }n\ge 1);0\le \frac{F\left({\alpha }_n\right)}{{\alpha }_n}\le \frac{F(n)}{n}+f(n)$
(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis)
b)Calculer: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\alpha }_n}{n}$.

Exercice 5: (1.75 pts)

Thème: Suites Numériques

Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose :
$u_n={\left(\frac{\arctan (n)}{\arctan (n+1)}\right)}^{n^2}$ et $v_n=\ln \left(u_n\right)$
1-Vérifier que:
$(\mathrm{\forall }n\ge 1);v_n=n²ln(arctan(n)-ln(arctan(n+1)$
2-En utilisant le théorème des accroissements finies,
Montrer que $(\mathrm{\forall }n\ge 1)(\mathrm{\exists }c\in ]n,n+1[):v_n=\frac{-n^2}{(1+c^2)\arctan (c)}$
3-Montrer que:
$(\mathrm{\forall }n\ge 1);\frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan (n)}<v_n<\frac{-n^2}{(1+(n+1{)}^2)\arctan (n+1)}$
4-Calculer: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$.

➲ Si vous souhaitez signaler une  erreur merci de nous envoyer un commentaire