Concours d’accès en 1ère année du cycle d’ingénieur ENSA 2019
Durée: 1h 30 mn
Remarques importantes:
– Une seule proposition est correcte par question:
Réponse juste = 1 point;
Réponse frusse =-1 point;
Plus d’une réponse cochée =-1 point;
Pas de réponse =0 point.
Q1:
Soient a, b>0, on considère la suite:
(left{begin{array}{c} u_{n+1}=frac{left(b^{2}+a b-a^{2}right) u_{n}-a^{2}}{b^{2} u_{n}+b^{2}-a b-a^{2}} \ u_{0}=frac{b}{a} end{array}right.)
En remarquant que la suite (v_{n}=frac{b}{b u_{n}-a}) est une suite arithmétique,
(u_{n}) est égal à :
(A: frac{an+b}{bn+a})
(B: frac{n+b}{bn+a})
(C: frac{a n-b}{bn-a})
(D: frac{an+b}{n+a})
Comme ce qu’est vrai en général est vrai en particulier,
alors je vais partir d’un cas particulier pour généraliser ensuite,
pour cela je vais calculer (u_{1})
(u_{0}=frac{b}{a})
Donc:
(u_{1}=frac{left(b^{2}+ab-a^{2}right) u_{0}-a^{2}}{b^{2} u_{0}+b^{2}-ab-a^{2}})
(u_{1}=frac{frac {b^{3}}{a}+b^{2}-ab-a^{2}}{frac {b^{3}}{a}+b^{2}-ab-a^{2}})
(u_{1}=1)
Je vais procéder par élimination des cas.
A:(u_{n}=frac{a n+b}{b n+a}=frac{2 n+3}{3 n+2} Rightarrow u_{1}=frac{5}{5}=1,) on garde pour le moment le A.
B:(u_{n}=frac{n+b}{b n+a}=frac{n+3}{3 n+2} Rightarrow u_{1}=frac{4}{5} neq 1,) on exclut le B.
C:(u_{n}=frac{a n-b}{b n-a}=frac{2 n-3}{3 n-2} Rightarrow u_{1}=frac{-1}{1}=-1 neq 1,) on exclut le C
D:(u_{n}=frac{a n+b}{n+a}=frac{2 n+3}{n+2} Rightarrow u_{1}=frac{5}{3} neq 1,) on exclut le D.
D’où la bonne réponse est : A.
Q2:
Pour (n in mathbb{N}^{*}), on considère la suite :
(u_{n}=sum_{k=1}^{n} frac{1}{2 k+n})
On a (u_{n} in I) avec:
A: (I=[0,frac{1}{3}[).
B: (I=[frac{1}{3},1[).
C: (I=[2,3[).
D: (I=[1,2[).
Réponse:
On a:
(forall n in IN^{*}forall k in{1,2, ldots, n})
(2+n leq 2 k+n leq 2 n+n)
(Rightarrow frac{1}{2 n+n} leq frac{1}{2 k+n} leq frac{1}{2+n})(Rightarrow sum_{k=1}^{n} frac{1}{3 n} leq sum_{k=1}^{n} frac{1}{2 k+n} leq sum_{k=1}^{n} frac{1}{2+n})(Rightarrow frac{1}{3 n} n leq sum_{k=1}^{n} frac{1}{2 k+n} leq frac{1}{2+n} n)(Rightarrow frac{1}{3} leq sum_{k=1}^{n} frac{1}{2 k+n} leq frac{n}{2+n} < 1)(Rightarrow u_{n} in[frac{1}{3},1[).D’où la bonne réponse est : B.
Q3:
On considère toujours la suite de la question 2 ci-dessus,
Pour (n in mathbb{N}^{*}) :
(u_{n}=sum_{k=1}^{n} frac{1}{2 k+n})
(lim _{n rightarrow+infty} u_{n}) est égale à :
A: (sqrt{3})
B: (ln(3))
C: (ln(sqrt{3}))
D: 0
Réponse:
On a:(,forall n in IN^{*}:)(lim _{n rightarrow+infty} sum_{k=1}^{n} frac{1}{2 k+n})
(=lim _{n rightarrow+infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{1}{1+2 frac{k}{n}})
(=int_{0}^{1} frac{1}{1+2 x} d x=left[frac{1}{2} ln (1+2 x)right]_{0}^{1})
(=frac{1}{2} ln 3=ln (sqrt{3}))
D’où la bonne réponse est : C.
Q4:
Sachant que:
(ln left(x+sqrt{4+x^{2}}right)^{prime}=frac{1}{sqrt{4+x^{2}}}.)
la valeur de l’intégrale (int_{0}^{1} sqrt{4+x^{2}} dx)
est:
A: (ln (frac{3+sqrt{5}}{2})-frac{sqrt{5}}{2})
B: (ln (frac{3+sqrt{5}}{2}-ln(frac{5}{2}))
C: (ln (frac{3+sqrt{5}}{2})-frac{5}{2})
D: (ln (frac{3+sqrt{5}}{2})+frac{sqrt{5}}{2})
On a :
(I=int_{0}^{1} sqrt{4+x^{2}} dx)
=(int_{0}^{1} x^{prime} sqrt{4+x^{2}} dx)
=(left[x sqrt{4+x^{2}}right]_{0}^{1}-int_{0}^{1} xleft(sqrt{4+x^{2}}right)^{prime} dx)
=(sqrt{5}-int_{0}^{1} x frac{2 x}{2 sqrt{4+x^{2}}} dx)
=(sqrt{5}-int_{0}^{1} frac{x^{2}}{sqrt{4+x^{2}}} dx)
Et comme
(int_{0}^{1} frac{x^{2}}{sqrt{4+x^{2}}} dx)
=(int_{0}^{1} frac{x^{2}+4}{sqrt{4+x^{2}}}-int_{0}^{1} frac{4}{sqrt{4+x^{2}}} dx)
=(I-4left[ln left(x+sqrt{4+x^{2}}right)right]_{0}^{1})
=(I-4 ln (1+sqrt{5})+4 ln 2)
Alors:
(I=sqrt{5}-I+4 ln (1+sqrt{5})-4 ln 2)
d’ou
(I=frac{sqrt{5}}{2}+2 ln left(frac{1+sqrt{5}}{2}right))
=(frac{sqrt{5}}{2}+ln left(frac{1+sqrt{5}}{2}right)^{2})
=(frac{sqrt{5}}{2}+ln left(frac{6+2 sqrt{5}}{4}right))
=(frac{sqrt{5}}{2}+ln left(frac{3+sqrt{5}}{2}right)).
Et par suite la bonne réponse est : D
Q5:
On considère l’équation trigonométrique suivante:
((E): cos ^{4}(3 x)+sin ^{4}(3 x)=1)
Les solutions de (E) sont de la forme:
A: (x=frac{pi}{2}+2 k pi, k in mathbb{Z})
B: (x=-frac{pi}{6}+2 k pi, k in mathbb{Z})
C: (C: x=frac{k pi}{3}, k in mathbb{Z})
D: (D: x=frac{k pi}{6}, k in mathbb{Z})
Réponse:
Partons du fait que (forall(a, b) in R^{2}):(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b)
on en déduit :(cos ^{4}(3 x)+sin ^{4}(3 x))
=(left(cos ^{2}(3 x)+sin ^{2}(3 x)right)^{2}-2 cos ^{2}(3 x) cdot sin ^{2}(3 x))=(1-frac{1}{2} sin ^{2}(6 x),)donc(cos ^{4}(3 x)+sin ^{4}(3 x)=1 Leftrightarrow sin (6 x)=0)(Leftrightarrow 6 x=k pi / k in Z)(Leftrightarrow x=frac{k pi}{6} / k in Z) Et par suite la bonne réponse est : D.
Q6:
Soit le réel
(lambda=sqrt[4]{frac{7+3 sqrt{5}}{2}}-sqrt[4]{frac{7-3 sqrt{5}}{2}})
En Calculant la valeur de (lambda) est:
A: (lambda=0)
B: (lambda=1)
C: (lambda=2)
D: (lambda=3)
Réponse:
Partons du fait que (forall(a, b) in R^{2}):((a-b)^{4}=a^{4}+b^{4}-4 a bleft(a^{2}+b^{2}right)+6 a^{2} b^{2})
on en déduit (lambda^{4}=frac{7+3 sqrt{5}}{2}+frac{7-3 sqrt{5}}{2})
(-4 sqrt[4]{left(frac{7+3 sqrt{5}}{2}right)left(frac{7-3 sqrt{5}}{2}right)}left(sqrt{frac{7+3 sqrt{5}}{2}}+sqrt{frac{7-3 sqrt{5}}{2}}right))
(+6 sqrt{frac{7+3 sqrt{5}}{2}} cdot sqrt{frac{7-3 sqrt{5}}{2}})
(lambda^{4}=7-4left(sqrt{frac{7+3 sqrt{5}}{2}}+sqrt{frac{7-3 sqrt{5}}{2}}right)+6 sqrt{frac{49-45}{4}})
=(7-4 times 3+6)=1En effet
((sqrt{frac{7+3 sqrt{5}}{2}}+sqrt{frac{7-3 sqrt{5}}{2}})^{2})
=(frac{7+3 sqrt{5}}{2}+frac{7-3 sqrt{5}}{2}+2 sqrt{frac{49-45}{4}})=9
(Rightarrow sqrt{frac{7+3 sqrt{5}}{2}}+sqrt{frac{7-3 sqrt{5}}{2}}=3)
D’où
(lambda=1,) car (lambda>0)
Et par suite la bonne réponse est : B.
Q7:
Soit (a>0), la valeur de l’intégrale
(int_{0}^{a} sqrt{a^{2}-x^{2}} dx)
est:
A: (frac{πa}{4})
B: (4πa)
C: (πa²)
D: (frac{πa²}{4})
Réponse:
On a:
(=int_{0}^{a} sqrt{a^{2}-x^{2}} d x)
=(a int_{0}^{a} sqrt{1-left(frac{x}{a}right)^{2}} d x)Posons :
(forall t in [0, frac{pi}{2}],forall x in[0, a])(frac{x}{a}=sin t) donc (d x=a cos t d t)On a:
(x=0 Leftrightarrow t=0) et (x=a Leftrightarrow t=frac{pi}{2})Donc:
(int_{0}^{a} sqrt{a^{2}-x^{2}} d x)
=(a int_{0}^{a} int_{1-left(frac{x}{a}right)^{2}} d x)(=aint_{0}^{frac{pi}{2}} sqrt{1-sin ^{2} t} a cos t d t)=(a^{2} int_{0}^{frac{pi}{2}} cos ^{2} t d t)=(a^{2} int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos (2 t)+1}{2})=(frac{a^{2}}{2}left[frac{1}{2} sin (2 t)+tright]_{0}^{frac{pi}{2}})=(frac{a^{2} pi}{4})
Et par suite la bonne réponse est D.
Q8:
On jette 3 fois un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 ,
et on note (a), b et c les résultats successifs obtenus.
On note (Q(x)=a x^{2}+bx+c).
La probabilité pour que Q admet une seule racine double est:
A: (frac{11}{216})
B: (frac{7}{216})
C: (frac{5}{216})
D: (frac{9}{216})
Réponse:
Soit (Omega) l’univers des éventualités de cette expérience aléatoire,
on a (Omega={1,2,3,4,5,6}^{3})
et (operatorname{card} Omega=6^{3})
Soit l’événement (A) : ” le polynôme Q a une racine double “
Q a une racine double équivaut (Delta=0) équivaut (b^{2}=4 a c,)
donc (A={(1,2,1) ;(2,4,2) ;((1,4,4) ;(4,4,1) ;(3,6,3))})On a:
(P(A)=frac{operatorname{card}(A)}{operatorname{card}(Omega)})
=(frac{5}{6^{3}})=(frac{5}{216})Et par suite la bonne réponse est C.
Q9:
Une urne contient 4 boules jaunes, 3 boules rouges et 3 boules bleues.
Les boules sont indiscernables au touché.
L’expérience consiste à tirer au hasard successivement deux boules
(une après l’autre) sans remise.
La probabilité d’obtenir la deuxième boule tirée de couleur rouge est:
A: (frac{27}{90})
B: (frac{25}{90})
C: (frac{29}{90})
D: (frac{23}{90})
Réponse:
L’urne: (4J 3R 3B)Soit l’événement:
A: “la 2 boule tirée est rouge ” (RR) ou (bar{R}R)On a :
(P(A)=frac{A_{3}^{2}+A_{7}^{1} A_{3}^{1}}{A_{10}^{2}})
=(frac{3 times 2+7 times 3}{10 times 9})=(frac{27}{90})Et par suite la bonne réponse est A.
Q10:
On considère toujours la même expérience.
La probabilité d’obtenir la première est jaune
sachant que la première la deuxième boule tirée est rouge
est:
A: (frac{4}{9})
B: (frac{5}{9})
C: (frac{6}{9})
D: (frac{7}{9})
Réponse:
Soit l’événement B: ” la 1 ère boule tirée est jaune “
Soit l’événement C: ” la 1 ère boule tirée est jaune sachant que la 2ème boule tirée est rouge”
On a:
(P(C)=P_{A}(B)=frac{P(B) P_{B}(A)}{P(A)})
=(frac{frac{4}{10} times frac{3}{9}}{frac{27}{90}})=(frac{4}{9})
Et par suite la bonne réponse est : A.
Q11:
Soit (z=-1+sqrt{2}+i)
arg (z) est égal a :
A: (frac{3π}{8})
B: (frac{5π}{8})
C: (frac{7π}{8})
D: (frac{π}{8})
(z=-1+i+sqrt{2})
=(sqrt{2}e^{i(frac{3 pi}{4})}+sqrt{2})
=(sqrt{2}(e^{i(frac{3 pi}{4})}+1))
=(sqrt{2} e^{i(frac{3 pi}{8})}) ((e^{i(frac{3 pi}{8})}+e^{-i(frac{3 pi}{8})})
=(2 sqrt{2} cos(frac{3 pi}{8}) e^i{(frac{3 pi}{8})})
Et comme : (frac{3 pi}{8} in] 0, frac{pi}{2}[)
➝(cos(frac{3 pi}{8}) >0)
alors
(|z|=2 sqrt{2} cos(frac{3 pi}{8}))
et (Arg(z)=frac{3 pi}{8})
Et par suite la bonne réponse est : A.
Q12:
En relation avec la question précédente,
la valeur de (cos(frac{5π}{8})) est:
A: (sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2}})
B: (-frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2})
C: (frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2})
D: (-sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2}})
On a d’une part: (z=(-1+sqrt{2})+1 i)
et d’autre part
(z=2 sqrt{2} cos ^{2}left(frac{3 pi}{8}right)+ileft(2 sqrt{2} cos left(frac{3 pi}{8}right) sin left(frac{3 pi}{8}right)right))
Donc par identification on a:
(cos ^{2}left(frac{3 pi}{8}right)=frac{-1+sqrt{2}}{2 sqrt{2}})
=(frac{2-sqrt{2}}{4})
(l’unicité de l’écriture algébrique)
Et comme (cos left(frac{3 pi}{8}right)>0)
alors
(cos left(frac{3 pi}{8}right)=frac{sqrt{2-sqrt{2}}}{2})
Et par suite la bonne réponse est C.
Q13:
Soit (a=cos(frac{pi}{5}) cos(frac{2 pi}{5})).
En calculant (a sin(frac{pi}{5}),) la valeur de (a) est:
A: (frac{1}{2})
B: (frac{1}{3})
C: (frac{1}{4})
D: (frac{1}{5})
On a
a (sin(frac{pi}{5}) =cos(frac{pi}{5}) sin(frac{pi}{5}) cos(frac{2 pi}{5}))
=(frac{1}{2} sin(frac{2 pi}{5}) cos(frac{2 pi}{5}))
=(frac{1}{4} sin(frac{4 pi}{5}))
=(frac{1}{4} sin(pi-frac{pi}{5}))
=(frac{1}{4} sin(frac{pi}{5}))
Et comme (sin(frac{pi}{5}) neq 0)
alors (a=frac{1}{4})
Et par suite la bonne réponse est C.
Q14:
A partir de l’expression de la valeur de (a) (question précédente)
la valeur de (b=sin left(frac{pi}{5}right) sin left(frac{2 pi}{5}right)) est :
A: (frac{5}{4})
B: (frac{sqrt{5}}{4})
C: (frac{1}{4})
D: (sqrt{frac{5}{4}})
On a:
(a+b=cos (frac{2 pi}{5}) cos(frac{pi}{5})+sin(frac{pi}{5}) sin(frac{2 pi}{5}))
=(cos(frac{2 pi}{5}-frac{pi}{5}))
=(cos(frac{pi}{5}))Et on a :
(a-b=cos(frac{2 pi}{5}) cos(frac{pi}{5})-sin(frac{pi}{5}) sin(frac{2 pi}{5}))
=(cos(frac{2 pi}{5}+frac{pi}{5}))
=(cos(frac{3 pi}{5})=cos(pi-frac{2 pi}{5}))
=-(cos(frac{2 pi}{5}))
Donc:
((a+b)(a-b)=-a cdot) d’où (a^{2}-b^{2}=-a)
et par suite (b^{2}=a^{2}+a)
Et comme (a=frac{1}{4}) (d’après (Q 13))
alors (b^{2}=frac{5}{16})
et par suite (b=frac{sqrt{5}}{4}) (car: b>0)
vu que (frac{pi}{5}) et (frac{2 pi}{5}) sont des éléments de (]0,frac{pi}{2}[) .
Et par suite la bonne réponse est B.
Q15:
Soient (A, B) deux points distincts du plan.
L’ensemble des points (M) tel que:
(overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}-4 overrightarrow{AM}.overrightarrow{BM}=0) est
A:Une droite
B: Un cercle
C: Une demi-droite
D: Un disque
On a:
(overrightarrow{AM} cdot overrightarrow{AM}-4 overrightarrow{AM} cdot overrightarrow{BM}=0)
(Leftrightarrow overrightarrow{AM}(overrightarrow{AM}-4 overrightarrow{BM})=0)
(Leftrightarrow overrightarrow{AM} cdot overrightarrow{GM}=0)
avec G=bar({(A,1);(B,-4)})
Donc cet ensemble est le cercle de diamètre [AG]
Et par suite la bonne réponse est B.
Q16:
L’expression simplifiée de
(u_{n}=prod_{k=0}^{n} frac{k^{2}+5 k+6}{k^{2}+5 k+4})
est:
A: (frac{6n+3}{n+4})
B: (frac{n+4}{3n+6})
C: (frac{n+4}{6n+3})
D: (frac{3n+6}{n+4})
On a:
(u_{n}=prod_{k=0}^{n} frac{(k+2)(k+3)}{(k+1)(k+4)}
=frac{not 2 times 3}{1 times A} times frac{not rho times A}{not 2 times not 8} times frac{A times not}{not supset times 6} times ldots times frac{(n+1)(n+2)}{h times(n+3)} times frac{(n+2)(n-3)}{(n+1)(n+4)})
=(frac{3(n+2)}{1 times(n+4)})
=(frac{3(n+2)}{n+4})
=(frac{3n+6}{n+4})
Et par suite la bonne réponse est D.
Q17:
Le concours des ENSA pour l’année (2019-2020)
se déroule le 23 Juillet 2019
Le nombre des unités de (23^{2019}) est:
A: 3
B: 9
C: 1
D: 7
On sait que tout entier naturel est congru à son chiffre des unités
dans la relation de congruence modulo 10
On a:
(a=23 equiv 3[10])
donc (23^{2019} equiv 3^{2019}[10] .)
or (3^{2019}=3 cdotleft(3^{2}right)^{1009})
et comme (3^{2} equiv-1[10]) et 1009 est impair
alors (23^{2019} equiv-3[10])
et comme (-3 equiv 7[10]) et (0 leq 7left<10right.)
alors 7 est le chiffre des unités de (23^{2019}).
Et par suite la bonne réponse est D.
Q18:
La valeur du produit suivant
(u_{n}=prod_{k=1}^{n}(e^{2 k}+e^{-2^{k})}).
est:
A: (frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}})
B: (frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}})
C: (frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}})
D: (frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}})
On a
(left(e-e^{-1}right) u_{n}=left(e^{2^{2}}-e^{-2^{2}}right)left(e^{2^{2}}+e^{-2^{2}}right)) (prod_{k=3}^{n}left(e^{2^{k}}+e^{-2^{k}}right))
=(left(e^{2^{3}}-e^{-2^{3}}right) prod_{k=4}^{n}left(e^{2^{k}}+e^{-2^{k}}right))
.
.
.
=(left(e^{2^{n}}-e^{-2^{n}}right)left(e^{2^{n}}+e^{-2^{n}}right))
=(e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}})
D’où :
(u_{n}=frac{e^{2^{2+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}})
D’où la bonne réponse est : A.
Q19:
Soient (f_{n}(x)=e^{x}+n x^{2}-3)
et (u_{n}) la solution de (f_{n}(x)=0 , (x geq 0, n>0)),
(u_{n}) est:
A: est croissante
B: est décroissante
C: est stationnaire
D: est périodique
On a:
(left(forall n in IN*right) f_{n}(x)=e^{x}+n x^{2}-3, u_{n})
désigne la solution de l’équation (f_{n}(x)=0) dans (IR^{+}).
On a:
((forall n in IN^{*})(forall x in IR^{+}))
(f_{n})(x)=e^{x}+2 n x>0)
donc toutes les fonctions (f_{n}) sont strictement croissantes sur (IR^{+})
On a :
(left(forall n in IN^{*}right)left(forall x in IR^{+}right) )
(f_{n+1}(x)-f_{n}(x)=x^{2} geq 0)
donc:
(left(forall n in IN^{*}right)left(forall x in IR^{+}right))
(f_{n+1}(x) geq f_{n}(x))
D’où :
(left(forall n in IN^{*}right) )
(f_{n+1}left(u_{n+1}right) geq f_{n}left(u_{n+1}right))
et comme
(left(forall n in IN^{*}right) f_{n+1}left(u_{n+1}right)=0)
et (f_{n}left(u_{n}right)=0)
Alors (left(forall n in IN^{*}right) f_{n}left(u_{n}right) geq f_{n}left(u_{n+1}right))
et comme (f_{n}) sont strictement croissantes sur (IR^{+})
alors (left(forall n in IN^{*}right) u_{n} geq u_{n+1},)
d’où (left(u_{n}right)_{n geq 1}) est décroissante.
Et par suite la bonne réponse est B.
Q20:
Suite à la question précédente,
(lim _{n rightarrow+infty} u_{n}) est égale à :
A: (frac{1}{2})
B: 0
C: 1
D: (frac{sqrt{1}}{2})
Comme la suite (left(u_{n}right)_{n geq 1}) est décroissante et minorée par 0.
alors
elle est convergente,
posons (l=lim _{n rightarrow+infty} u_{n})
On a :
(left(forall n in N^{*}right) f_{n}left(u_{n}right)=0)
(Leftrightarrowleft(u_{n}right)^{2}=frac{3-e^{u_{n}}}{n})
et comme
(l=lim _{n rightarrow+infty} u_{n})
et la fonction expest continue sur (IR)
Alors
(lim _{n rightarrow+infty} e^{u_{n}}=e^{l})
et par suite:
(lim _{n rightarrow+infty}left(u_{n}right)^{2}=lim _{n rightarrow+infty} frac{3-e^{u_{n}}}{n}=0,)
on en déduit que:
(lim _{n rightarrow+infty} u_{n}=0)
Et par suite la bonne réponse est B.