Concours ENSA 2019

Concours d’accès en 1ère année du cycle d'ingénieur ENSA 2019

Durée: 1h 30 mn

Remarques importantes:
– Une seule proposition est correcte par question:
Réponse juste = 1 point;
Réponse frusse =-1 point;
Plus d’une réponse cochée =-1 point;
Pas de réponse =0 point.

Q1:

Soient a, b>0, on considère la suite:
${\begin{matrix} u_{n + 1} = \frac{(b^{2} + a b - a^{2}) u_{n} - a^{2}}{b^{2} u_{n} + b^{2} - a b - a^{2}} \\ u_{0} = \frac{b}{a} \end{matrix}$
En remarquant que la suite $v_{n} = \frac{b}{b u_{n} - a}$ est une suite arithmétique,

$u_{n}$ est égal à :

$A : \frac{a n + b}{b n + a}$
$B : \frac{n + b}{b n + a}$
$C : \frac{a n - b}{b n - a}$
$D : \frac{a n + b}{n + a}$

Réponse:

Comme ce qu’est vrai en général est vrai en particulier,
alors je vais partir d’un cas particulier pour généraliser ensuite,
pour cela je vais calculer $u_{1}$
$u_{0} = \frac{b}{a}$
Donc:
$u_{1} = \frac{(b^{2} + a b - a^{2}) u_{0} - a^{2}}{b^{2} u_{0} + b^{2} - a b - a^{2}}$
$u_{1} = \frac{\frac{b^{3}}{a} + b^{2} - a b - a^{2}}{\frac{b^{3}}{a} + b^{2} - a b - a^{2}}$
$u_{1} = 1$
Je vais procéder par élimination des cas.
A: $u_{n} = \frac{a n + b}{b n + a} = \frac{2 n + 3}{3 n + 2} \Rightarrow u_{1} = \frac{5}{5} = 1,$ on garde pour le moment le A.
B: $u_{n} = \frac{n + b}{b n + a} = \frac{n + 3}{3 n + 2} \Rightarrow u_{1} = \frac{4}{5} \neq 1,$ on exclut le B.
C: $u_{n} = \frac{a n - b}{b n - a} = \frac{2 n - 3}{3 n - 2} \Rightarrow u_{1} = \frac{- 1}{1} = - 1 \neq 1,$ on exclut le C
D: $u_{n} = \frac{a n + b}{n + a} = \frac{2 n + 3}{n + 2} \Rightarrow u_{1} = \frac{5}{3} \neq 1,$ on exclut le D.
D’où la bonne réponse est : A.

Q2:

Pour $n \in N^{*}$ , on considère la suite :
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n}$
On a $u_{n} \in I$ avec:

A: $I = [0, \frac{1}{3} [$ .
B: $I = [\frac{1}{3}, 1 [$ .
C: $I = [2, 3 [$ .
D: $I = [1, 2 [$ .

Réponse:

On a:

\forall n \in I N^{*} \forall k \in {1, 2, \dots, n}

2 + n \leq 2 k + n \leq 2 n + n

\Rightarrow \frac{1}{2 n + n} \leq \frac{1}{2 k + n} \leq \frac{1}{2 + n}

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{3 n} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 + n}

\Rightarrow \frac{1}{3 n} n \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n} \leq \frac{1}{2 + n} n

\Rightarrow \frac{1}{3} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n} \leq \frac{n}{2 + n} < 1

\Rightarrow u_{n} \in [\frac{1}{3}, 1 [

D’où la bonne réponse est : B.

Q3:

On considère toujours la suite de la question 2 ci-dessus,
Pour $n \in N^{*}$ :
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n}$

$lim_{n \to + \infty} u_{n}$ est égale à :

A: $\sqrt{3}$
B: $l n (3)$
C: $l n (\sqrt{3})$
D: 0

Réponse:

On a:

\forall n \in I N^{*} :

lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n}

= lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + 2 \frac{k}{n}}

= \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + 2 x} d x = {[\frac{1}{2} \ln (1 + 2 x)]}_{0}^{1}

= \frac{1}{2} \ln 3 = \ln (\sqrt{3})

D’où la bonne réponse est : C.

Q4:

Sachant que:
$l n {(x + \sqrt{4 + x^{2}})}^{'} = \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} .$

la valeur de l’intégrale $\int_{0}^{1} \sqrt{4 + x^{2}} d x$
est:

A: $l n (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) - \frac{\sqrt{5}}{2}$
B: $\ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - l n (\frac{5}{2})$
C: $l n (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) - \frac{5}{2}$
D: $l n (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) + \frac{\sqrt{5}}{2}$

Réponse:

On a :
$I = \int_{0}^{1} \sqrt{4 + x^{2}} d x$
= $\int_{0}^{1} x^{'} \sqrt{4 + x^{2}} d x$
= ${[x \sqrt{4 + x^{2}}]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x {(\sqrt{4 + x^{2}})}^{'} d x$
= $\sqrt{5} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{2 \sqrt{4 + x^{2}}} d x$
= $\sqrt{5} - \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$
Et comme
$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$
= $\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 4}{\sqrt{4 + x^{2}}} - \int_{0}^{1} \frac{4}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$
= $I - 4 {[\ln (x + \sqrt{4 + x^{2}})]}_{0}^{1}$
= $I - 4 \ln (1 + \sqrt{5}) + 4 \ln 2$

Alors:
$I = \sqrt{5} - I + 4 \ln (1 + \sqrt{5}) - 4 \ln 2$
d’ou
$I = \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$
= $\frac{\sqrt{5}}{2} + \ln {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2}$
= $\frac{\sqrt{5}}{2} + \ln (\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4})$
= $\frac{\sqrt{5}}{2} + \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$ .

Et par suite la bonne réponse est : D

Q5:

On considère l’équation trigonométrique suivante:
$(E) : \cos^{4} (3 x) + \sin^{4} (3 x) = 1$

Les solutions de (E) sont de la forme:

A: $x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$
B: $x = - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$
C: $C : x = \frac{k π}{3}, k \in Z$
D: $D : x = \frac{k π}{6}, k \in Z$

Réponse:

Partons du fait que

\forall (a, b) \in R^{2}

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b

on en déduit :

\cos^{4} (3 x) + \sin^{4} (3 x)

{(\cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x))}^{2} - 2 \cos^{2} (3 x) \cdot \sin^{2} (3 x)

1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (6 x),

donc

\cos^{4} (3 x) + \sin^{4} (3 x) = 1 \Leftrightarrow \sin (6 x) = 0

\Leftrightarrow 6 x = k π / k \in Z

\Leftrightarrow x = \frac{k π}{6} / k \in Z

Et par suite la bonne réponse est : D.

Q6:

Soit le réel
$λ = \sqrt[4]{\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[4]{\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}}$

En Calculant la valeur de $λ$ est:

A: $λ = 0$
B: $λ = 1$
C: $λ = 2$
D: $λ = 3$

Réponse:

Partons du fait que

\forall (a, b) \in R^{2}

(a - b)^{4} = a^{4} + b^{4} - 4 a b (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2}

on en déduit

λ^{4} = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}

- 4 \sqrt[4]{(\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}) (\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2})} (\sqrt{\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}})

+ 6 \sqrt{\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}}

λ^{4} = 7 - 4 (\sqrt{\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}}) + 6 \sqrt{\frac{49 - 45}{4}}

7 - 4 \times 3 + 6

En effet

(\sqrt{\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}})^{2}

\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2} + 2 \sqrt{\frac{49 - 45}{4}}

\Rightarrow \sqrt{\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}} = 3

D’où

λ = 1,

car

λ > 0

Et par suite la bonne réponse est : B.

Q7:

Soit $a > 0$ , la valeur de l’intégrale
$\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$
est:

A: $\frac{π a}{4}$
B: $4 π a$
C: $π a ²$
D: $\frac{π a ²}{4}$

Réponse:

On a:

= \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

a \int_{0}^{a} \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}} d x

Posons :

\forall t \in [0, \frac{π}{2}] \forall x \in [0, a]

\frac{x}{a} = \sin t

donc

d x = a \cos t d t

On a:

x = 0 \Leftrightarrow t = 0

x = a \Leftrightarrow t = \frac{π}{2}

Donc:

\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

a \int_{0}^{a} \int_{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}} d x

= a \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} t} a \cos t d t

a^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t

a^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (2 t) + 1}{2}

\frac{a^{2}}{2} {[\frac{1}{2} \sin (2 t) + t]}_{0}^{\frac{π}{2}}

\frac{a^{2} π}{4}

Et par suite la bonne réponse est D.

Q8:

On jette 3 fois un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 ,
et on note $a$ , b et c les résultats successifs obtenus.
On note $Q (x) = a x^{2} + b x + c$ .

La probabilité pour que Q admet une seule racine double est:

A: $\frac{11}{216}$
B: $\frac{7}{216}$
C: $\frac{5}{216}$
D: $\frac{9}{216}$

Réponse:

Soit

Ω

l’univers des éventualités de cette expérience aléatoire,
on a

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{3}

card Ω = 6^{3}

Soit l’événement

A

: » le polynôme Q a une racine double «
Q a une racine double équivaut

Δ = 0

équivaut

b^{2} = 4 a c,

donc

A = {(1, 2, 1); (2, 4, 2); ((1, 4, 4); (4, 4, 1); (3, 6, 3))}

On a:

P (A) = \frac{card (A)}{card (Ω)}

\frac{5}{6^{3}}

\frac{5}{216}

Et par suite la bonne réponse est C.

Q9:

Une urne contient 4 boules jaunes, 3 boules rouges et 3 boules bleues.
Les boules sont indiscernables au touché.
L’expérience consiste à tirer au hasard successivement deux boules
(une après l’autre) sans remise.

La probabilité d’obtenir la deuxième boule tirée de couleur rouge est:

A: $\frac{27}{90}$
B: $\frac{25}{90}$
C: $\frac{29}{90}$
D: $\frac{23}{90}$

Réponse:

L’urne: (4J 3R 3B)

Soit l’événement:
A: « la 2 boule tirée est rouge »

R R

\bar{R} R

On a :

P (A) = \frac{A_{3}^{2} + A_{7}^{1} A_{3}^{1}}{A_{10}^{2}}

\frac{3 \times 2 + 7 \times 3}{10 \times 9}

\frac{27}{90}

Et par suite la bonne réponse est A.

Q10:

On considère toujours la même expérience.
La probabilité d’obtenir la première est jaune
sachant que la première la deuxième boule tirée est rouge
est:

A: $\frac{4}{9}$
B: $\frac{5}{9}$
C: $\frac{6}{9}$
D: $\frac{7}{9}$

Réponse:

Soit l’événement B: » la 1 ère boule tirée est jaune «
Soit l’événement C: » la 1 ère boule tirée est jaune sachant que la 2ème boule tirée est rouge »
On a:

P (C) = P_{A} (B) = \frac{P (B) P_{B} (A)}{P (A)}

\frac{\frac{4}{10} \times \frac{3}{9}}{\frac{27}{90}}

\frac{4}{9}

Et par suite la bonne réponse est : A.

Q11:

Soit $z = - 1 + \sqrt{2} + i$
arg (z) est égal a :

A: $\frac{3 π}{8}$
B: $\frac{5 π}{8}$
C: $\frac{7 π}{8}$
D: $\frac{π}{8}$

Réponse:

$z = - 1 + i + \sqrt{2}$
= $\sqrt{2} e^{i (\frac{3 π}{4})} + \sqrt{2}$
= $\sqrt{2} (e^{i (\frac{3 π}{4})} + 1)$
= $\sqrt{2} e^{i (\frac{3 π}{8})}$ $(e^{i (\frac{3 π}{8})} + e^{- i (\frac{3 π}{8})}$
= $2 \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{8}) e^{i} (\frac{3 π}{8})$
Et comme : $\frac{3 π}{8} \in] 0, \frac{π}{2} [$
➝ $\cos (\frac{3 π}{8}) > 0$
alors
$| z | = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{8})$
et $A r g (z) = \frac{3 π}{8}$

Et par suite la bonne réponse est : A.

Q12:

En relation avec la question précédente,
la valeur de $c o s (\frac{5 π}{8})$ est:

A: $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$
B: $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
C: $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
D: $- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Réponse:

On a d’une part: $z = (- 1 + \sqrt{2}) + 1 i$
et d’autre part
$z = 2 \sqrt{2} \cos^{2} (\frac{3 π}{8}) + i (2 \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{8}) \sin (\frac{3 π}{8}))$
Donc par identification on a:
$\cos^{2} (\frac{3 π}{8}) = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$
= $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$
(l’unicité de l’écriture algébrique)
Et comme $\cos (\frac{3 π}{8}) > 0$
alors
$\cos (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
Et par suite la bonne réponse est C.

Q13:

Soit $a = \cos (\frac{π}{5}) \cos (\frac{2 π}{5})$ .
En calculant $a \sin (\frac{π}{5}),$ la valeur de $a$ est:

A: $\frac{1}{2}$
B: $\frac{1}{3}$
C: $\frac{1}{4}$
D: $\frac{1}{5}$

Réponse:

On a
a $\sin (\frac{π}{5}) = \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{2 π}{5})$
= $\frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{5}) \cos (\frac{2 π}{5})$
= $\frac{1}{4} \sin (\frac{4 π}{5})$
= $\frac{1}{4} \sin (π - \frac{π}{5})$
= $\frac{1}{4} \sin (\frac{π}{5})$
Et comme $\sin (\frac{π}{5}) \neq 0$
alors $a = \frac{1}{4}$

Et par suite la bonne réponse est C.

Q14:

A partir de l’expression de la valeur de $a$ (question précédente)
la valeur de $b = \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{2 π}{5})$ est :

A: $\frac{5}{4}$
B: $\frac{\sqrt{5}}{4}$
C: $\frac{1}{4}$
D: $\sqrt{\frac{5}{4}}$

Réponse:

On a:
$a + b = \cos (\frac{2 π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{2 π}{5})$
= $\cos (\frac{2 π}{5} - \frac{π}{5})$
= $\cos (\frac{π}{5})$ Et on a :
$a - b = \cos (\frac{2 π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{2 π}{5})$
= $\cos (\frac{2 π}{5} + \frac{π}{5})$
= $\cos (\frac{3 π}{5}) = \cos (π - \frac{2 π}{5})$
=- $\cos (\frac{2 π}{5})$
Donc:
$(a + b) (a - b) = - a \cdot$ d’où $a^{2} - b^{2} = - a$
et par suite $b^{2} = a^{2} + a$
Et comme $a = \frac{1}{4}$ (d’après $Q 13)$
alors $b^{2} = \frac{5}{16}$
et par suite $b = \frac{\sqrt{5}}{4}$ (car: b>0)
vu que $\frac{π}{5}$ et $\frac{2 π}{5}$ sont des éléments de $] 0, \frac{π}{2} [$ .

Et par suite la bonne réponse est B.

Q15:

Soient $A, B$ deux points distincts du plan.
L’ensemble des points $M$ tel que:
$\vec{A M} . \vec{A M} - 4 \vec{A M} . \vec{B M} = 0$ est

A:Une droite
B: Un cercle
C: Une demi-droite
D: Un disque

Réponse:

On a:
$\vec{A M} \cdot \vec{A M} - 4 \vec{A M} \cdot \vec{B M} = 0$
$\Leftrightarrow \vec{A M} (\vec{A M} - 4 \vec{B M}) = 0$
$\Leftrightarrow \vec{A M} \cdot \vec{G M} = 0$
avec G=bar({(A,1);(B,-4)})
Donc cet ensemble est le cercle de diamètre [AG]
Et par suite la bonne réponse est B.

Q16:

L’expression simplifiée de
$u_{n} = \prod_{k = 0}^{n} \frac{k^{2} + 5 k + 6}{k^{2} + 5 k + 4}$
est:

A: $\frac{6 n + 3}{n + 4}$
B: $\frac{n + 4}{3 n + 6}$
C: $\frac{n + 4}{6 n + 3}$
D: $\frac{3 n + 6}{n + 4}$

Réponse:

On a:
$u_{n} = \prod_{k = 0}^{n} \frac{(k + 2) (k + 3)}{(k + 1) (k + 4)} = \frac{⧸ 2 \times 3}{1 \times A} \times \frac{ρ̸ \times A}{⧸ 2 \times ⧸ 8} \times \frac{A \times ⧸}{⊅ \times 6} \times \dots \times \frac{(n + 1) (n + 2)}{h \times (n + 3)} \times \frac{(n + 2) (n - 3)}{(n + 1) (n + 4)}$
= $\frac{3 (n + 2)}{1 \times (n + 4)}$
= $\frac{3 (n + 2)}{n + 4}$
= $\frac{3 n + 6}{n + 4}$

Et par suite la bonne réponse est D.

Q17:

Le concours des ENSA pour l’année $2019 - 2020$
se déroule le 23 Juillet 2019
Le nombre des unités de $23^{2019}$ est:

A: 3
B: 9
C: 1
D: 7

Réponse:

On sait que tout entier naturel est congru à son chiffre des unités
dans la relation de congruence modulo 10
On a:
$a = 23 \equiv 3 [10]$
donc $23^{2019} \equiv 3^{2019} [10] .$
or $3^{2019} = 3 \cdot {(3^{2})}^{1009}$
et comme $3^{2} \equiv - 1 [10]$ et 1009 est impair
alors $23^{2019} \equiv - 3 [10]$
et comme $- 3 \equiv 7 [10]$ et $0 \leq 7 ⟨ 10$
alors 7 est le chiffre des unités de $23^{2019}$ .

Et par suite la bonne réponse est D.

Q18:

La valeur du produit suivant
$u_{n} = \prod_{k = 1}^{n} (e^{2 k} + e^{- 2^{k})}$ .
est:

A: $\frac{e^{2^{n + 1}} - e^{- 2^{n + 1}}}{e - e^{- 1}}$
B: $\frac{e^{2^{n + 1}} + e^{- 2^{n + 1}}}{e - e^{- 1}}$
C: $\frac{e^{2^{n + 1}} - e^{- 2^{n + 1}}}{e + e^{- 1}}$
D: $\frac{e^{2^{n + 1}} + e^{- 2^{n + 1}}}{e + e^{- 1}}$

Réponse:

On a
$(e - e^{- 1}) u_{n} = (e^{2^{2}} - e^{- 2^{2}}) (e^{2^{2}} + e^{- 2^{2}})$ $\prod_{k = 3}^{n} (e^{2^{k}} + e^{- 2^{k}})$
= $(e^{2^{3}} - e^{- 2^{3}}) \prod_{k = 4}^{n} (e^{2^{k}} + e^{- 2^{k}})$
.
.
.

= $(e^{2^{n}} - e^{- 2^{n}}) (e^{2^{n}} + e^{- 2^{n}})$
= $e^{2^{n + 1}} - e^{- 2^{n + 1}}$
D’où :
$u_{n} = \frac{e^{2^{2 + 1}} - e^{- 2^{n + 1}}}{e - e^{- 1}}$

D’où la bonne réponse est : A.

Q19:

Soient $f_{n} (x) = e^{x} + n x^{2} - 3$
et $u_{n}$ la solution de $f_{n} (x) = 0 (x \geq 0, n > 0)$ ,
$u_{n}$ est:

A: est croissante
B: est décroissante
C: est stationnaire
D: est périodique

Réponse:

On a:
$(\forall n \in I N *) f_{n} (x) = e^{x} + n x^{2} - 3, u_{n}$
désigne la solution de l’équation $f_{n} (x) = 0$ dans $I R^{+}$ .
On a:
$(\forall n \in I N^{*}) (\forall x \in I R^{+})$
$f_{n}) (x) = e^{x} + 2 n x > 0$
donc toutes les fonctions $f_{n}$ sont strictement croissantes sur $I R^{+}$
On a :
$(\forall n \in I N^{*}) (\forall x \in I R^{+})$
$f_{n + 1} (x) - f_{n} (x) = x^{2} \geq 0$
donc:
$(\forall n \in I N^{*}) (\forall x \in I R^{+})$
$f_{n + 1} (x) \geq f_{n} (x)$
D’où :
$(\forall n \in I N^{*})$
$f_{n + 1} (u_{n + 1}) \geq f_{n} (u_{n + 1})$
et comme
$(\forall n \in I N^{*}) f_{n + 1} (u_{n + 1}) = 0$
et $f_{n} (u_{n}) = 0$
Alors $(\forall n \in I N^{*}) f_{n} (u_{n}) \geq f_{n} (u_{n + 1})$
et comme $f_{n}$ sont strictement croissantes sur $I R^{+}$
alors $(\forall n \in I N^{*}) u_{n} \geq u_{n + 1},$
d’où ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est décroissante.

Et par suite la bonne réponse est B.

Q20:

Suite à la question précédente,
$lim_{n \to + \infty} u_{n}$ est égale à :

A: $\frac{1}{2}$
B: 0
C: 1
D: $\frac{\sqrt{1}}{2}$

Réponse:

Comme la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est décroissante et minorée par 0.
alors
elle est convergente,
posons $l = lim_{n \to + \infty} u_{n}$
On a :
$(\forall n \in N^{*}) f_{n} (u_{n}) = 0$
$\Leftrightarrow {(u_{n})}^{2} = \frac{3 - e^{u_{n}}}{n}$
et comme
$l = lim_{n \to + \infty} u_{n}$
et la fonction expest continue sur $I R$
Alors
$lim_{n \to + \infty} e^{u_{n}} = e^{l}$
et par suite:
$lim_{n \to + \infty} {(u_{n})}^{2} = lim_{n \to + \infty} \frac{3 - e^{u_{n}}}{n} = 0,$
on en déduit que:
$lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$

Et par suite la bonne réponse est B.

Concours d’accès en 1ère année du cycle d'ingénieur ENSA 2019

Durée: 1h 30 mn

Remarques importantes: – Une seule proposition est correcte par question: Réponse juste = 1 point;Réponse frusse =-1 point;Plus d’une réponse cochée =-1 point;Pas de réponse =0 point.

Q1:

Soient a, b>0, on considère la suite:{un+1=(b2+ab−a2)un−a2b2un+b2−ab−a2u0=baEn remarquant que la suite vn=bbun−a est une suite arithmétique,un est égal à :

Q2:

Pour n∈N∗, on considère la suite :un=∑k=1n12k+nOn a un∈I avec:

A: I=[0,13[.B: I=[13,1[.C: I=[2,3[.D: I=[1,2[.

Q3:

On considère toujours la suite de la question 2 ci-dessus,Pour n∈N∗ :un=∑k=1n12k+n

limn→+∞un est égale à :

A: 3B: ln(3)C: ln(3)D: 0

Q4:

Sachant que:ln(x+4+x2)′=14+x2.la valeur de l’intégrale ∫014+x2dxest:

A: ln(3+52)−52B: ln⁡(3+52−ln(52)C: ln(3+52)−52D: ln(3+52)+52

Q5:

On considère l’équation trigonométrique suivante:(E):cos4⁡(3x)+sin4⁡(3x)=1Les solutions de (E) sont de la forme:

A: x=π2+2kπ,k∈ZB: x=−π6+2kπ,k∈ZC: C:x=kπ3,k∈ZD: D:x=kπ6,k∈Z

Q6:

Soit le réelλ=7+3524−7−3524En Calculant la valeur de λ est:

A: λ=0B: λ=1C: λ=2D: λ=3

Q7:

Soit a>0, la valeur de l’intégrale∫0aa2−x2dxest:

A: πa4B: 4πaC: ²πa²D: ²πa²4

Q8:

On jette 3 fois un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 ,et on note a, b et c les résultats successifs obtenus.On note Q(x)=ax2+bx+c.

La probabilité pour que Q admet une seule racine double est:

A: 11216B: 7216C: 5216D: 9216

Q9:

Une urne contient 4 boules jaunes, 3 boules rouges et 3 boules bleues.Les boules sont indiscernables au touché.L’expérience consiste à tirer au hasard successivement deux boules(une après l’autre) sans remise.

La probabilité d’obtenir la deuxième boule tirée de couleur rouge est:

A: 2790B: 2590C: 2990D: 2390

Q10:

On considère toujours la même expérience.La probabilité d’obtenir la première est jaunesachant que la première la deuxième boule tirée est rougeest:

A: 49B: 59C: 69D: 79

Q11:

Soit z=−1+2+iarg (z) est égal a :

A: 3π8B: 5π8C: 7π8D: π8

Q12:

En relation avec la question précédente,la valeur de cos(5π8) est:

A: 2−22B: −2−22C: 2−22D: −2−22

Q13:

Soit a=cos⁡(π5)cos⁡(2π5).En calculant asin⁡(π5), la valeur de a est:

A: 12B: 13C: 14D: 15

Q14:

A partir de l’expression de la valeur de a (question précédente)la valeur de b=sin⁡(π5)sin⁡(2π5) est :

A: 54B: 54C: 14D: 54

Q15:

Soient A,B deux points distincts du plan.L’ensemble des points M tel que:AM→.AM→−4AM→.BM→=0 est

A:Une droiteB: Un cercleC: Une demi-droiteD: Un disque

Q16:

L’expression simplifiée deun=∏k=0nk2+5k+6k2+5k+4est:

A: 6n+3n+4B: n+43n+6C: n+46n+3D: 3n+6n+4

Q17:

Le concours des ENSA pour l’année 2019−2020se déroule le 23 Juillet 2019Le nombre des unités de 232019 est:

A: 3B: 9C: 1D: 7

Q18:

La valeur du produit suivantun=∏k=1n(e2k+e−2k).est:

A: e2n+1−e−2n+1e−e−1B: e2n+1+e−2n+1e−e−1C: e2n+1−e−2n+1e+e−1D: e2n+1+e−2n+1e+e−1

Q19:

Soient fn(x)=ex+nx2−3et un la solution de fn(x)=0(x≥0,n>0),un est:

A: est croissanteB: est décroissanteC: est stationnaireD: est périodique

Q20:

Suite à la question précédente,limn→+∞un est égale à :

A: 12B: 0C: 1D: 12

Remarques importantes:
– Une seule proposition est correcte par question:
Réponse juste = 1 point;
Réponse frusse =-1 point;
Plus d’une réponse cochée =-1 point;
Pas de réponse =0 point.

Soient a, b>0, on considère la suite:
${\begin{matrix} u_{n + 1} = \frac{(b^{2} + a b - a^{2}) u_{n} - a^{2}}{b^{2} u_{n} + b^{2} - a b - a^{2}} \\ u_{0} = \frac{b}{a} \end{matrix}$
En remarquant que la suite $v_{n} = \frac{b}{b u_{n} - a}$ est une suite arithmétique,

$u_{n}$ est égal à :

Pour $n \in N^{*}$ , on considère la suite :
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n}$
On a $u_{n} \in I$ avec:

A: $I = [0, \frac{1}{3} [$ .
B: $I = [\frac{1}{3}, 1 [$ .
C: $I = [2, 3 [$ .
D: $I = [1, 2 [$ .

On considère toujours la suite de la question 2 ci-dessus,
Pour $n \in N^{*}$ :
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k + n}$

$lim_{n \to + \infty} u_{n}$ est égale à :

A: $\sqrt{3}$
B: $l n (3)$
C: $l n (\sqrt{3})$
D: 0

Sachant que:
$l n {(x + \sqrt{4 + x^{2}})}^{'} = \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} .$

la valeur de l’intégrale $\int_{0}^{1} \sqrt{4 + x^{2}} d x$
est:

A: $l n (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) - \frac{\sqrt{5}}{2}$
B: $\ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - l n (\frac{5}{2})$
C: $l n (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) - \frac{5}{2}$
D: $l n (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) + \frac{\sqrt{5}}{2}$

On considère l’équation trigonométrique suivante:
$(E) : \cos^{4} (3 x) + \sin^{4} (3 x) = 1$

Les solutions de (E) sont de la forme:

A: $x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$
B: $x = - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$
C: $C : x = \frac{k π}{3}, k \in Z$
D: $D : x = \frac{k π}{6}, k \in Z$

Soit le réel
$λ = \sqrt[4]{\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[4]{\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}}$

En Calculant la valeur de $λ$ est:

A: $λ = 0$
B: $λ = 1$
C: $λ = 2$
D: $λ = 3$

Soit $a > 0$ , la valeur de l’intégrale
$\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$
est:

A: $\frac{π a}{4}$
B: $4 π a$
C: $π a ²$
D: $\frac{π a ²}{4}$

On jette 3 fois un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 ,
et on note $a$ , b et c les résultats successifs obtenus.
On note $Q (x) = a x^{2} + b x + c$ .

A: $\frac{11}{216}$
B: $\frac{7}{216}$
C: $\frac{5}{216}$
D: $\frac{9}{216}$

Une urne contient 4 boules jaunes, 3 boules rouges et 3 boules bleues.
Les boules sont indiscernables au touché.
L’expérience consiste à tirer au hasard successivement deux boules
(une après l’autre) sans remise.

A: $\frac{27}{90}$
B: $\frac{25}{90}$
C: $\frac{29}{90}$
D: $\frac{23}{90}$

On considère toujours la même expérience.
La probabilité d’obtenir la première est jaune
sachant que la première la deuxième boule tirée est rouge
est:

A: $\frac{4}{9}$
B: $\frac{5}{9}$
C: $\frac{6}{9}$
D: $\frac{7}{9}$

Soit $z = - 1 + \sqrt{2} + i$
arg (z) est égal a :

A: $\frac{3 π}{8}$
B: $\frac{5 π}{8}$
C: $\frac{7 π}{8}$
D: $\frac{π}{8}$

En relation avec la question précédente,
la valeur de $c o s (\frac{5 π}{8})$ est:

A: $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$
B: $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
C: $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
D: $- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Soit $a = \cos (\frac{π}{5}) \cos (\frac{2 π}{5})$ .
En calculant $a \sin (\frac{π}{5}),$ la valeur de $a$ est:

A: $\frac{1}{2}$
B: $\frac{1}{3}$
C: $\frac{1}{4}$
D: $\frac{1}{5}$

A partir de l’expression de la valeur de $a$ (question précédente)
la valeur de $b = \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{2 π}{5})$ est :

A: $\frac{5}{4}$
B: $\frac{\sqrt{5}}{4}$
C: $\frac{1}{4}$
D: $\sqrt{\frac{5}{4}}$

Soient $A, B$ deux points distincts du plan.
L’ensemble des points $M$ tel que:
$\vec{A M} . \vec{A M} - 4 \vec{A M} . \vec{B M} = 0$ est

A:Une droite
B: Un cercle
C: Une demi-droite
D: Un disque

L’expression simplifiée de
$u_{n} = \prod_{k = 0}^{n} \frac{k^{2} + 5 k + 6}{k^{2} + 5 k + 4}$
est:

A: $\frac{6 n + 3}{n + 4}$
B: $\frac{n + 4}{3 n + 6}$
C: $\frac{n + 4}{6 n + 3}$
D: $\frac{3 n + 6}{n + 4}$

Le concours des ENSA pour l’année $2019 - 2020$
se déroule le 23 Juillet 2019
Le nombre des unités de $23^{2019}$ est:

A: 3
B: 9
C: 1
D: 7

La valeur du produit suivant
$u_{n} = \prod_{k = 1}^{n} (e^{2 k} + e^{- 2^{k})}$ .
est:

A: $\frac{e^{2^{n + 1}} - e^{- 2^{n + 1}}}{e - e^{- 1}}$
B: $\frac{e^{2^{n + 1}} + e^{- 2^{n + 1}}}{e - e^{- 1}}$
C: $\frac{e^{2^{n + 1}} - e^{- 2^{n + 1}}}{e + e^{- 1}}$
D: $\frac{e^{2^{n + 1}} + e^{- 2^{n + 1}}}{e + e^{- 1}}$

Soient $f_{n} (x) = e^{x} + n x^{2} - 3$
et $u_{n}$ la solution de $f_{n} (x) = 0 (x \geq 0, n > 0)$ ,
$u_{n}$ est:

A: est croissante
B: est décroissante
C: est stationnaire
D: est périodique

Suite à la question précédente,
$lim_{n \to + \infty} u_{n}$ est égale à :

A: $\frac{1}{2}$
B: 0
C: 1
D: $\frac{\sqrt{1}}{2}$