Baccalauréat Section sciences expérimentales Session Principal juillet 2020 Épreuve math PDF

Baccalauréat Section sciences expérimentales

Session Principal juillet 2020 Épreuve math Avec PDF

Duré de l’épreuve: 3 heures

Exercice 1: (3 points )

Exercice 2: (5 points )

Exercice 3: (5 points )

Exercice 4: (6 points )

* Exercice 1: (3 points ) *

Le tableau ci-dessous donne la répartition d’une population en trois catégories, selon l’indice de masse corporelle (IMC) exprimé en \(kg / m ^{2}\)

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline Catégorie & ( IMC <25) & (25 \leq IMC <30) & ( IMC \geq 30) \\
& P.P.N & P.S & P.O \\
\hline Pourcentage & 50\% & 30\% & 20\%\\
\hline
\end{array}

P.P.N: Personnes de poids normal

P.S: Personnes en surpoids

P.O: Personnes obèses

Une étude a montré que:

3\% des personnes de poids normal sont diabétiques.

7\% des personnes en surpoids sont diabétiques.

9 \(\%\) des personnes obèses sont diabétiques.

On choisit au hasard une personne de cette population

et on considère les événements suivants:

\(A:\) » La personne choisie est de poids normal »

\(B:\) » La personne choisie est en surpoids « .

\(C :\) » La personne choisie est obèse ».

\(D:(\text { La personne choisie est diabétique } y\)

1) a) Déterminer \(p(A \cap D), p(B \cap D)\) et \(p(C \cap D)\)

b) Montrer que \(p(D)=0.054\)

c) Calculer la probabilité que:

la personne choisie ne soit pas de poids normal sachant

qu’elle est diabétique. (On donnera le résultat arrondi à \(10^{-3}\) )

2) On choisit, au hasard, n personnes de cette même population.

On désigne par \(p_{n}\) la

probabilité qu’aucune personne n’est diabétique.

a) Exprimer \(p_{n}\) en fonction de \(n\)

puis calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} p_{n}\)

b) Déterminer le plus petit entier n pour lequel \(p_{n} \leq 0.1\)

* Exercice 2: (5 points ) *

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, ủ, v).

Dans la figure de l’annexe ci-jointe

on a placé les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives:

\(z_{A}=2 e^{i \frac{\pi}{6}}\) et \(z_{B}=\frac{1}{2} z_{A}^{2},\)

ainsi que le milieu I du segment \([A B]\)

1) a) Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes \(z_{A}\) et \(z_{B}\)

b) Vérifier que :

l’affixe du point I est \(z_{1}=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)(1+i)\)

2) On considère dans ℂ l’équation:

(E): \(z^{2}+2 z-2(1+\sqrt{3})(1+i)=0\)

Soit M et N deux points d’affixes respectives z et \(\frac{1}{2} z^{2}\)

oú z est un nombre complexe non nul et différent de 2

a) Montrer que:

le point I est le milieu de \([ MN ],\) si et seulement si, \(z\) est une solution de (E).

b) Justifier que \(z_{A}\) est une solution de (E).

3) Soit \(z_{c}\) la deuxième solution de (E), \(C\) le point d’affixe \(z_{c}\)

et \(K\) le point d’affixe (-2)

a) Donner la valeur de \(z_{A}+z_{C}\)

b) Montrer que: le quadrilatère OAKC est un parallélogramme.

Construire alors le point C.

c) Soit le point \(D\) d’affixe \(z_{D}=\frac{1}{2} z_{C}^{2} .\)

Construire dans l’annexe le point \(D\)

4) a) Ecrire \((1+i)\) sous forme exponentielle.

En déduire que \(z_{A} \cdot z_{C}=2(\sqrt{2}+\sqrt{6}) e^{i\left(\frac{5 \pi}{4}\right)}\)

b) Montrer que les points \(0, A\) et \(D\) sont alignés.

* Exercice 3: (5 points ) *

Dans la figure ci-contre,

OABCDEFG et OABCD’E’F’G’ sont deux cubes identiques d’arête 1.

On munit l’espace du repère orthonormé direct (O,OA,OC,OD).

Les points K et L sont définis par \(\overrightarrow{ OK }= a \overrightarrow{ OD }\)

et \(\overrightarrow{ E ^{\prime} L }=(1- a ) \overrightarrow{ OC }\)

où a est un réel de l’intervalle ] 0,1[

1) a) Donner les coordonnées des points \(C, B, F\) et \(K\)

b) Montrer que \(\overrightarrow{ BC } \wedge \overrightarrow{ BK }= a \overrightarrow{ OC }+\overrightarrow{ OD }\)

c) Calculer le volume du tétraèdre FBCK.

2) Soit P le plan ( BCK).

Montrer qu’une équation de P est \(a y+z-a=0\)

3) a) Donner les coordonnées de \(E\) ‘. En déduire que \(L (1,1- a ,-1)\)

b) Montrer que B est le projeté orthogonal du point L sur le plan P.

4) Soit

(S) I’ensemble des points \(M(x, y, z)\) de l’espace tels que

\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2(a-1) y+2 z+1-2 a=0\)

a) Montrer que:

(S) est la sphère de centre Lest de rayon \(R=\sqrt{2+a^{2}}\)

b) Montrer que:

(S) et \(P\) se coupent suivant un cercle dont on précisera le centre et le rayon

* Exercice 4: (7 points ) *

1) Soit la fonction g définie sur \(R\) par \(g(x)=x^{2}+e^{-x}\)

a) Calculer \(g^{\prime}(x)\) pour tout \(x \in R\)

On a dressé ci-contre, le tableau de variation

de \(g^{\prime}\) la fonction dérivée de \(g\)

b) Montrer que l’équation \(g^{\prime}(x)=0\) admet dans \(R\) une solution unique \(\beta\)

et vérifier que \(0.3<\beta<0.4\)

c) Déterminer le signe de \(g^{\prime}(x), x \in R\)

Dans la suite, on considère la fonction \(f\) définie sur \(R\) par:\(f(x)=\sqrt{g(x)}\)

On désigne par \(C_{f}\) sa courbe représentative dans un repère

orthonormé \((0, \vec{i}, \vec{j})\)

2) Justifier que:

pour tout \(x \in R , g^{\prime}(x)\) et \(f^{\prime}(x)\) ont même signe.

3) a) Déterminer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\)

b) Montrer que:

\(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=-\infty\). Interpréter graphiquement le résultat.

c) Vérifier que:

pour tout réel \(x>0, \quad f(x)-x=\frac{e^{-x}}{f(x)+x}\)

d) Montrer que la droite \(\Delta: y=x\) est une asymptote a \(C_{f}\) au voisinage de \(+\infty\)

e) Montrer que \(C_{f}\) est au-dessus de la droite \(\Delta\)

4) a) Dresser le tableau de variation de \(f\)

b) Tracer la courbe \(C_{f}\) dans le repère \((0, \vec{i}, \vec{j})\).

(On prendra \(\beta \approx 0.35\) )

5) Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

On désigne par a \(_{n}\) l’aire en (u.a) de la partie du plan limitée par la courbe \(C _{ f },\)

la droite \(\Delta\) et les droites d’équations \(x =1\) et \(x = n\)

a) Montrer que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geq 2}\) est croissante.

b) Soit \(n \geq 2,\) montrer que pour tout \(x \in[1, n], \frac{e^{-x}}{n+f(n)} \leq f(x)-x \leq \frac{e^{-x}}{1+f(1)}\)

c) En déduire que:

pour tout \(n \geq 2, \frac{e^{-1}-e^{-n}}{n+f(n)} \leq a_{n} \leq \frac{e^{-1}-e^{-n}}{1+f(1)}\)

d) Montrer que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geq 2}\) est convergente.

6) a) Déterminer:

une valeur approchée à \(10^{-4}\) de chacun des nombres \(\frac{e^{-1}-e^{-2}}{2+f(2)}\) et \(\frac{e^{-1}}{1+f(1)}\)