Exercices Corrigés Arithmétiques dans Z
* Série 1 *
* Exercice 1 *
Quels sont les entiers divisés par 11 qui donnent un quotient égal au reste?
* Exercice 2 *
1/ Donner sans explication la liste des diviseurs positifs de 1067,
Rangés dans l’ordre croissant.
2/ Développer le produit (x-2)(y+1)
3/ Déterminer tous les couples (x, y) d’entiers naturels vérifiant:
x+x y-2 y=1069
* Exercice 3 *
n désigne un entier relatif. On pose a=2n+1 et b=n+3.
1/ a- Calculer 2b-a.
b- Montrer que dans IN:
les seuls diviseurs communs a et b sont 1 et éventuellement 5.
2/ Démontrer que:
a et b sont des multiples de 5 si et seulement si (n-2) est divisible par 5.
3/ Déterminer toutes les valeurs de n pour les quelles:
1 n’est pas le seul diviseur positif commun à a et b.
* Exercice 4 *
Résoudre dans Z×Z l’équation (E): 3 x-2 y=1.
2/ Soit n un entier naturel.
a) Montrer que: (14n+3;21n+4) est une solution de (E).
b) En déduire que (21 n+4)∧(14 n+3)=1.
3\Soit \(d=(2 n+1)∧(21 n+4)\)
(a) Montrer que d=1 ou d=13.
b) Montrer que n≡6[13]⇔d=13
4\ Soit n un entier naturel supérieur ou égal a 2.
On pose:
\(A=21 n^{2}-17n-4\) et \(B=28 n^{3}-8 n^{2}-17n-3\).
a) Montrer que (n-1)/A et (n-1)/B.
b) En déduire suivant n: A∧B.
* Exercice 5 *
1\ On considère l’équation (E): 6x-5 y=7.
dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
a) On suppose que le couple d’entiers (x, y) vérifie 6 x-5 y=7.
Démontrer que x≡2[5].
b) En déduire:
tous les couples d’entiers, solutions de l’équation (E).
2\ Application:
dans le plan muni d’un repère \((0;\vec{i} \vec{j}\)
on note (Δ) la droite d’équation: 6 x-5 y=7.
Déterminer le nombre de points de (Δ)
dont les coordonnées sont des entiers naturels
et dont l’abscisse est inférieure à 500 .
3\ On considère à présent l’équation (F): 6 x²-5 y²=7.
dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier que:
si le couple (x ; y) est solution de (F) alors x²≡2[5].
b) Démontrer que:
pour tout entier α, α² est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.
c) Quel est l’ensemble solution de l’équation (F)?
* Correction *
* Exercice 1 *
Soit n un entier relatif.
Effectuons la division euclidienne de n par 11
Alors il existe un unique couple (q, r) d’entiers
tel que n=11q+r avec 0≤r<11
l’entier n, divisé par 11 et donne un quotient égal au reste.
⇔ n=11q+r & q=r & n=11q+r
⇔ n=12r avec 0≤r<11
⇔ n=12r avec 0≤r<11
⇔ n=12r avec r∈{0,1,2,3,…,9,10}
⇔ n∈{0,12,24,36,48,60,72,84,96,108,120}
* Exercice 2 *
Les diviseurs positifs de 1067 sont 1,11,97 et 1067
2 \ (x-2)(y+1)=x y+x-2 y-2
3 \ On remarque d’abord que:
x+x y-2 y=1069
⇔ x y+x-2 y-2=1069-2
⇔ (x-2)(y+1)=1067 (question 2/)
* Analyse :
on suppose qu’il existe un couple (x,y) d’entiers naturels vérifiant:
(x-2)(y+1)=1067. Puisque: y+1≥1 (car y≥0)
⇒ (x-2) est un diviseur positif de 1067.
On déduit de la question 1/ le tableau suivant:
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline(x-2) & (y+1) & (x) & (y) \\
\hline 1 & 1067 & 3 & 1066 \\
\hline 11 & 97 & 13 & 96 \\
\hline 97 & 11 & 99 & 10 \\
\hline 1067 & 1 & 1069 & 0 \\
\hline
\end{array}
\hline 1 & 1067 & 3 & 1066 \\
\hline 11 & 97 & 13 & 96 \\
\hline 97 & 11 & 99 & 10 \\
\hline 1067 & 1 & 1069 & 0 \\
\hline
\end{array}
* Vérification:
posons x=13 et y=96
Alors x+x y-2 y=13+13×96-2× 96=13+1248-192=1069
Les trois autres vérifications sont identiques.
Conclusion: l’équation x+x y-2 y=1069:
admet quatre couples solutions dans IN×IN qui sont:
(3,1066) ; (13,96) (99,10) (1069,0)
* Exercice 3 *
Par hypothèse n∈Z, a=2n+1, b=n+3.
1 \a( 2b-a=2(n+3)-(2n+1)=2 n+6-2n-1=5.
b) Soit d un diviseur positif commun à a et b
Alors d divise toute combinaison linéaire du type au+bv (u∈Z et v∈Z)
En particulier u=-1 et v=2 ⇒ d divise (-1)a+2 b=2b-a=5.
Donc d divise 5.
Or les seuls diviseurs positifs de 5 sont 1 et 5
Par conséquent d=1 ou d=5.
2 \ On suppose que a et b sont des multiples de 5.
Alors 5 divise b
Donc il existe k∈Z tel que b=5 k.
Donc n+3=5 k
d’ou n=5 k-3\et n-2=5k-3-2=5k-5=5(k-1)\) avec (k-1) entier.
Par conséquent (n-2) est divisible par 5.
Réciproquement,
supposons que (n-2) est divisible par 5
Alors il existe q∈Z tel que (n-2)=5q
d’où n=5q+2 Or a=2 n+1
donc a=2(5q+2)+1=10q+5=5(2q+1) avec (2q+1) entier.
De plus b=n +3 donc b=(5q+2)+3=5q+5=5(q +1) avec (q+1) entier.
Ainsi a et b sont divisibles par 5
3 \ 1 n’est pas le seul diviseur positif commun à a et b
⇔ a et b sont divisibles par 5 (d’après 1/ b)
⇔ n-2 est divisible par 5
⇔ il existe q∈Z tel que n-2=5q
⇔ n=5q+2 avec q∈Z
* Exercice 4*
a- * Analyse:
On suppose que le couple(x,y) vérifie 6x-5y=7.
Alors 6x=7+5y
donc 6x=7[5].
Or 6≡1[5] (car 6=1+5×1).
Donc \(6 x ≡ x\) (5).
De plus 7≡2[5] car (7=2+5×1).
En conséquence x≡2[5].
b- On déduit de la question précédente,
qu’il existe un entier relatif k tel que: x=2+5k
Or 6x-5y=7
Donc 5y=6x-7=6(2+5 k)-7=12+30k-7=5+30k=5(1+6 k).
Ainsi y=1+6k
* Vérification :
posons x=2+5k et y=1+6 k (avec k∈Z).
Alors 6 x-5 y=6(2+5 k)-5(1+6 k)=12+30 k-5-30 k=12-5=7
Conclusion : l’équation \((F)\) admet pour ensemble solution:
S={(2+5 k;1+6 k) avec k∈Z}.
2/ Chercher les points de (Δ) dont les coordonnées sont des entiers naturels
et dont l’abscisse est inférieure à 500
Revient a chercher les couples d’entiers (x;y) solutions de (E) tels que:
0≤x≤500 et 0≤y.
On est amené à déterminer le nombre de solutions du :
x=2+5k & y=1+6k (k∈Z) (avec 0≤x≤500 et 0≤y)
⇔ x=2+5k & y=1+6k (k∈Z) (avec 0≤2+5k≤500 et 0≤1+6k)
Or
k∈Z: 0≤2+5k≤500 et 0≤1+6k
⇔ k∈Z: \(\frac{-2}{5}≤k≤\frac{498}{5}\) et \(\frac{-1}{6}≤k\)
⇔ k∈Z:0 ≤k≤99.
Il y a donc exactement 100 point qui conviennent.
3\a- si le couple (x;y) est solution de (F)
alors 6 x²≡7+5y² avec y²∈IN.
donc 6x²≡7 [5].
Or \(6≡1 [5].
Donc 6 x²≡x² [5].
De plus 7≡2 [5].
Ainsi x²≡2 [5]
b- Soit α un entier fixé.
D’après le théorème de la division euclidienne,
il existe un unique couple (q;r) d’entiers tel que: α=5q+r avec 0≤r<5
Donc α≡r [5] avec \(r∈{0;1;2;3;4}
puis α²=r² [5].
Si r=0 alors α²≡0 [5] donc α²≡0 [5].
Si r=1 alors α²≡1 [5] donc α²≡1 [5].
Si r=2 alors α²≡4 [5] donc α²≡4 [5].
Si r=3 alors α²≡9 [5] donc α²≡4 [5] (car 9=5×1+4).
Si r=4 alors α²≡16 [5] donc α²≡1 [5](car 16=5×3+1).
c- On suppose l’équation (F) admet un couple solution (x;y).
Alors, d’après (3\ a-) x²=2[5] ce qui est impossible d’après (3\ b-)
puisque le carré d’un entier est congru soit 0,1 ou 4 modulo 5.
Par conséquent l’équation (F) n’admet aucune solution.
* Exercice 5*
Soit n∈IN, n fixe.
On a: \(2×7^{2 n+1}=2×(7^{2})^{n}×7=14×49^{n}\)
Or 49=2×23+3 donc 49≡3 [23]
puis \(49^{n}≡3^{n}\) [23].
D’oú \(14×49^{n}=14×3^{n}\) [23].
Ainsi \(2×7^{2 n+1}≡14×3^{n}\) [23].
D’autre part: 3^{n+2}=3^{n}×3^{2}=9×3^{n}\) [23].
Alors \(3^{n+2}≡9×3^{n}\)[23]
En ajoutant membre a membre les deux congruences encadrées,
il vient: \(2×7^{2 n+1}+3^{n+2}\) [23].≡\(14 ×3^{n}+9×3^{n}\) [23].
≡\((14+9)×3^{n}\) [23].
≡\(23×3^{n}\) [23].
≡\(0×3^{n }\) [23].
≡0 [23].
ce qui signifie que 23 divise \(2×7^{2 n+1}+3^{n+2}\).
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