Baccalauréat Section Economie et Gestion Session Principal
juillet 2020 Épreuve math PDF
Duré de l’épreuve: 2 heures
Exercice 1: (5 points )
Exercice 2: (5 points )
Exercice 3: (4 points )
Exercice 4: (6 points )
* Exercice 1: (5 points ) *
Un médecin part quotidiennement de son domicile D pour amener ses deux filles ;
l’une à son école E et l’autre au collège \(C\), son enfant au lycée \(L\)
et sa femme à son lieu de travail T avant de rejoindre son travail à l’hôpital H à 8 heures du matin.
Le graphe pondéré (G) ci-dessous:
représente le réseau routier tenant compte du temps de parcours (en minutes).
1) Justifier que le graphe (G) est connexe.
2) a) Recopier et compléter le tableau suivant:
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline sommet & C & D & E & H & L & T \\
\hline degré & & & & & & \\
\hline
\end{array}
b) Montrer que le graphe (G) n’admet pas un cycle eulérien.
c) Prouver que:
(G) admet une chaîne eulérienne et donner un exemple.
3) Déterminer:
la matrice associée au graphe (G) en respectant l’ordre C-D-E-H-L-T.
4) Si le médecin part de son domicile à 7 heures et 25 minutes,
en empruntant chaque route de son parcours une seule fois,
peut-il arriver à l’heure à son travail ?
Expliquer.
* Exercice 2: (5 points ) *
On considère les matrices:
\(A=\left(\begin{array}{lll}4 & 5 & 7 \\ 3 & 3 & 5 \\ 6 & 5 & 9\end{array}\right)\)
et \(B=\left(\begin{array}{ccc}2 & -10 & 4 \\ 3 & -6 & 1 \\ -3 & 10 & -3\end{array}\right)\)
1) a) Calculer le déterminant de la matrice \(A\) et déduire qu’elle est inversible.
b) Déterminer:
la matrice \(A \times B\), en déduire la matrice \(A^{-1}\) inverse de \(A\).
2) Un menuisier fabrique des argentières suivant trois modèles.
La conception de chaque modèle nécessite le passage par trois postes de travail.
Les coûts unitaires de fabrication sont :
500 dinars pour le modèle 1, 350 dinars pour le modèle 2 et 650 dinars pour le modèle 3.
Le tableau suivant indique le nombre d’heures nécessaires par poste pour la
fabrication d’une argentière de chaque modèle.
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline Poste & & & \\
Modèle & Poste \;p _{1} & Poste \;p _{2} & \;Poste p _{3} \\
\hline Modèle 1 & 8 heures & 10 heures & 14 heures \\
\hline Modèle2 & 6 heures & 6 heures & 10 heures \\
\hline Modèle3 & 12 heures & 10 heures & 18 heures \\
\hline
\end{array}
Soient \(x, y\) et \(z\) les coûts horaires respectifs par postes \(p_{1}, p_{2}\) et \(p_{3}\)
a) Montrer que la situation se traduit par le système
\(( S )\)
\(\left\{\begin{array}{l}4 x+5 y+7 z=250 \\ 3 x+3 y+5 z=175 \\ 6 x+5 y+9 z=325\end{array}\right.\)
b) Donner l’écriture matricielle de (S).
c) Résoudre alors le système (S).
* Exercice 3: (4 points ) *
On considère la suite réelle \(\left(u_{n}\right)\) définie sur \(N\) par \(:\left\{\begin{array}{c}u_{0}=0 \\ u_{n+1}=\frac{3 u_{n}+2}{u_{n}+4} ; n \in N \end{array}\right.\)
1) a) Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) on a \(: u_{n+1}-1=\frac{2\left(u_{n}-1\right)}{u_{n}+4}\)
b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) on \(a: 0 \leq u_{n} \leq 1\)
c) Vérifier que : \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{\left(u_{n}+2\right)\left(1-u_{n}\right)}{u_{n}+4}\) et déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est
Croissante.
d) Justifier que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente.
2) Soit \(\left(v_{n}\right)\) la suite définie sur \(N\) par: \(v_{n}=\frac{\left(u_{n}-1\right)}{u_{n}+2},\) pour tout entier naturel \(n\)
a) Montrer que \(\left(v_{n}\right)\) est une suite géométrique de raison \(\frac{2}{5}\)
b) Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\) et prouver que pour tout entier naturel \(n,\) on a:
\(u_{n}=\frac{2-2\left(\frac{2}{5}\right)^{n}}{2+\left(\frac{2}{5}\right)^{n}}\)
c) Calculer alors \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\)
c) Calculer alors \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\)
* Exercice 4: (6 points ) *
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0,+\infty\left[\text { par }: f(x)=(x+1) e^{-x}\right.\right.\)
1) a) Montrer que, pour tout \(x \in\left[0,+\infty\left[\text { on a }: f(x)=\frac{x}{e^{x}}+\frac{1}{e^{x}}\right.\right.\)
b) Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\)
2) a) Montrer que, pour tout \(x \in\left[0,+\infty\left[, f^{\prime}(x)=-x e^{-x}\right.\right.\)
b) Dresser le tableau de variation de \(f\)
c) Montrer que l’équation \(f(x)-\frac{1}{2}\) admet une unique solution \(\alpha \in[0,+\infty[\)
(On prendra \(\alpha=1,7)\)
3) On note \(g\) la fonction définie sur \(\left[0,+\infty\left[, \text { par: } g(x)=-(x+2) e^{-x}\right.\right.\)
a) Montrer que \(g\) est une primitive de \(f\) sur \([0,+\infty[\)
b) montrer que valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l’intervalle [1,4] est \(\bar{f}=\frac{e^{3}-2}{e^{4}}\)
4) Une entreprise produit chaque jour \(x\) milliers de pièces avec \(x \in[1,4]\)
Le prix de revient d’une pièce, en dinars, est égal à \(f(x)\)
a) Calculer:
le prix de revient moyen à \(10^{-3}\) prés d’une pièce pour une
production entre 1000 et 4000 pièces.
b) A-partir de quelle quantité de pièces produites,
le prix de revient d’une pièce est inférieur à 0,5 dinars?
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