Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Trouver
toutes les solutions entières de l’équation:
x²+y² = 3(u²+v²)
On a:
x²+y² = 3(u²+v²)
➝ 3 divise x²+y² ①
On montre d’abord un premier résultat : si 3 divise x²+y² alors 3 divise x et 3 divise y.
En effet, soit x∊z
on a 3 cas x≡0 ou 1 ou 2[3]
➝ x²≡0 ou 1[3]
de même pour y²≡0 ou 1[3]
* les carrés modulo 3 valent toujours 0 ou 1.
* Ainsi ① la somme de deux carrés vaut zéro modulo 3 si et seulement si les deux carrés sont congrus à zéro modulo 3.
* le résultat. Soient x, y, u, v des entiers non tous nuls. Alors 3 divise x² + y², donc x et y sont divisibles par 3 par le résultat précédant.
➝ x=3a & y=3b
* x²+y²=3(u²+v²)
9(a²+b²)=3(u²+v²)
u²+v²=3(a²+b²)
donc u et v sont divisibles par 3 (par le résultat précédant).
➝ x, y, u, v sont divisibles par 3.
*Ainsi x’=x/3,y‘=y/3,u‘=u/3,v‘=v/3 satisfont la même équation. Ainsi ces quatre entiers sont divisibles par trois par le même raisonnement, et ainsi de suite.
*Ainsi x, y, u,v peuvent être divisés par 3ⁿ ∀n∈IN.
* donc ils sont tous nuls.
(Principe de descente infinie)
➡️La seule solution est alors (0, 0, 0, 0).
Autre Réponse:
on peut procéder par la méthode de descente infini
soit E= { |z|∈IN* / il existe |w|∈IN* ; |z|² = 3* |w|² }
supposons que E est non vide
alors il admet un plus petit élément .
on le note |m|= min (E) avec m=x+iy et w=u+iv .
il est évident que |m|² = 3* |w|² càd x²+y²= 3 * (u²+v²) (*)
on a (x+iy)^3 = x-iy [3]
(application du théorème de Fermat)
on appelle ça la fonction de Frobenius
pour ce qui maîtrisent bien le théorème de Galois)
et qui sert à décomposer l’idéal premier (3)
en terme d’idéaux premiers de Z[i] au dessus de (3)…
en tout cas
on a x²+y² = 0 [3]
==> (x+iy)^4 = 0 [3]
==> (x+iy)=0 [3]==> x+iy = 3 * (u’ +iv’)
==> |x+iy|² = |3 * (u’ +iv’)|²
==> x²+y²=9 * (u’²+v’²)
==> 3 * (u²+v²)= 9 * (u’²+v’²)
==> u²+v²= 3 * (u’² + v’²)
alors il existe |t|∈IN* tel que |w|²=3*|t|² où ( t=u’ +iv’ )
ainsi, on a trouvé un certain |w|∈E avec |w|<|m|
ce qui est absurde
donc E est l’ensemble vide
conclusion : l’équation (*) admet une solution en entiers
si, et seulement si x=y=u=v=0.
2éme méthode
note z=x+iy et w=u+iv avec x, y, u et v sont des entiers
on suppose que l’équation x²+y²= 3 * (u²+v²) admet une solution non trivial,
autrement dit u²+v² # 0
alors
3 = (x²+y²)/ (u²+v²) = |z|²/|w|²
=|z/w|²=A’²+B’²A’ et B’
sont des rationnels vérifiant A’²+B’²=3
donc il va exister un triple d’entières A,B et C
tels que A²+B²=3C²
d’où A²=-B² [3]si B # 0[3] ceci entraîne que (A/B)²=-1[3]
comme 3 ne divise pas A/B
alors d’après le théorème de Fermat (A/B)²=1[3] ce qui est absurde ( car 1 # -1 [3] )
donc S={(0,0,0,0)}
By F.El Maftouhi
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