Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Fonction Exercice 06
Trouver les fonctions f : IN → IN
Tel que:
pour tout entier naturel n, on a :f(f(n)) = n + 1
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on a: f(f(n)) = n + 1 ∀n ∈ IN ①
* Soit f une éventuelle solution.
on prend n ∈ IN f(f(n)) = n + 1.
En composant l’équation fonctionnelle par f :
➝ f(f(f(n))) = f(n + 1)
remplaçant n➝f(n):
➝ f(f(f(n)))= f(n) + 1.
➝ f(n+1)=f(n)+1
n=0 ➝ f(1)=f(0)+1
n=1 ➝f(2)=f(1)+1
. . . f(n)=f(n-1)+1
somme des termes:
➝ f(n)=n+f(0).
remplaçant n➝f(n)
➝ f(f(n))=f(n)+f(0)=n+f(0)+f(0)=n+2f(0)
* d’autre part d’après ①: f(f(n))=n+1
* donc : n+2f(0)=n+1
2f(0)=1
➡️ Or f(0) étant entier, 2f(0) ne peut pas être égal à 1.
(il n’existe aucun fonction)
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