\(\left\{\begin{array}{l}4^{5n}+4^{n}+n=0[11] \\ n=2[10]\end{array}\right.\)
Et par suite \(45^{52}=1[53]\).
b) \(45^{52}=1[53]\)
alors \((45^{52})^{2}=1153\)
⇔ \(45^{104}=11531\)
⇔ \(45^{106} ≡ 45^{2}[53]\)
⇔ \(45^{106}=(-8)^{2}[53]\)
⇔ \(45^{106}=11[53]\)
3) \(N=1+45+45^{2}+…+45^{105}\)
\(=\sum_{k=0}^{k=105} 45^{k}\)
\(=1.\frac{45^{106}-1}{45-1}\)
(somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
de raison q=45 et de 1ér terme =1).
Alors \(44N=45^{106}-1\)
Or \(45^{106} ≡ 11[53]\)
alors \(45^{106}-1=10[53]\)
D’où 44 \(N=10[53]\)
b) On a :
44N=10[53] ⇔ 47×44N=470[53]
⇔ \(N=46[53]\)
1) Soit d un diviseur commun de a et b.
2)
a∧b=3 ⇔ \(\left\{\begin{array}{l}a=0[3] \\ b≡0|3|\end{array}
⇔ \\ \{\begin{array}{l}5 n^{2}+7=0[3] \\ n^{2}+2=0[3]\end{array}\right.\)
⇒\(n^{2}+2≡0[3]\)
(en effectuons la différence)
⇒\(4n^{2}+2 ≡ 0[3]\)
⇒\(n^{2}=-2[3] n^{2}≡1[3] \).
Réciproquement:
montrons que
si n²=1[3] alors a∧b=3
n² ≡ 1[3] ⇒ 5n²=5[3]
⇒ 5n²+7≡12[3] ⇒ a≡0[3] ⇒ 3 divise a.
n²≡1[3] ⇒ n²+2≡3[3] ⇒ b=0[3]⇒ 3 divise b.
donc a ∧ b=3.
3) PGCD(a;b) suivant les valeurs de n ?
donc
\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
\hline n ≡ ? & 0 & 1 & 2 & {[3]} \\
\hline n ^{2}=? & 0 & 1 & 1 & {[3]} \\
\hline
\end{array}\)
\(8^{0}=1[10];8^{1}=8[10];8^{2}=4[10]\)
\(8^{3}=2[10];8^{4}=6[10];8^{5}=8[10]\)
\(8^{6}=4[10];8^{7}=2[10];8^{8}=6[10]\).
donc on résume:
\(8^{341}=8^{4 × 85+1}\) donc \(8^{341} ≡ 8[10]\)
2 ≡ -8[10] ⇒ \(2^{192} ≡ (-8)^{192}[10]\)
\(≡ 8^{4 × 48}[10] ≡ 6[10]\)
3) On a:
\( 8^{4 n}≡ 6[10]\) ⇒ 3 × 8^{4 n}≡18[10] ≡ 8[10]\)
et \(2^{12 n+9}≡2^{3(4 n+3)}(10] \)
Ainsi: \(8^{4 n}+2^{12 n+9}=8+2[10]=0|10|\).
On a:
1) Soit d un diviseur commun de a et b.
\(\left\{\begin{array}{l} d / a \\ d / b \end{array}\right.\)
⇔\(\left\{\begin{array}{l} a=0[3] \\ b≡0[3] \end{array}\right.\)
1) On a: α=(2n²-6n+4)(n+3)-10=(2n²-6 n+4)β-10.
Soit d=α∧β et d’=β∧10.
\(\left\{\begin{array}{l} d \mid α \\ d \mid \beta \end{array}\right.\)⇒ \(\left\{\begin{array}{l} d \mid (2n^{2}-6n+4) \beta \\ d \mid \beta \end{array}\right.\)
⇒\(\left\{\begin{array}{l} d \mid 10 \\ d \mid \beta \end{array}\right.\)⇒\(d \mid d’\)
\(\left\{\begin{array}{l} d’ \mid 10 \\ d’ \mid \beta \end{array}\right.\)⇒ \(\left\{\begin{array}{l} d’ \mid (2n^{2}-6n+4) \beta \\ d’ \mid \beta \end{array}\right.\)
⇒\(\left\{\begin{array}{l} d’ \mid α \\ d’ \mid \beta \end{array}\right.\)⇒\(d’ \mid d\)
Conclusion: d’ = d
b) \(d=\alpha ∧ \beta=\beta ∧ 10 \Rightarrow d∈D_{10}^{+}=11;2;5;10\)
c) \(d=5 \Leftrightarrow 10 ∧ \beta=5 \Rightarrow \beta=5 k\) et \(k\) impair
donc \(\beta=5(2p+1) \Rightarrow n+3=10 p+5\)
\(\operatorname{ainsi} n=10p+2 \operatorname avec p∈N\)
Réciproquement:
on vérifie que si \(n=10 p+2\) alors \(\alpha ∧ \beta=5\)
donc on a le tableau suivant:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline n ≡ ? & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & {[5]} \\
\hline 4^{n}=? & 1 & 4 & 5 & 9 & 3 & {[11]} \\
\hline
\end{array}\).
b)
\(\left\{\begin{array}{l}4^{5 n}+4^{n}+n=0[11] \\ n=2[10]\end{array}\right.\)
\(\underbrace{4^{5(2 p+2)}}_{\equiv 1[11]}+\underbrace{4^{5(2 p)+2}}_{\equiv 5[11]}+10 p+2 \equiv 0[11]\)
⇒ 10 p+8 ≡ 0[11] ⇒ 10 p ≡ 3[11]
⇒ -p=3[11] ⇒ p ≡ -3[11] ⇒ p ≡ 8[11]
⇒ p=11k+8 ⇒ n=10(11k+8)+2
⇒n=110 k+82 ⇒ n=82[110]
* Exercice 20 *
1) Soit n un nombre impair,
alors il s’écrit n=2p+1 avec p∈IN
Maintenant n²=(2p+1)²=4p²+4p+1=4 p(p+1)+1.
Donc n²=1[8].
2) Si n est pair alors il existe p∈IN tel que n=2p .
Et n²=4p²
*Si p est pair alors \(p^{2}\) est pair
et donc n²=4p² est divisible par 8
donc n² ≡ 0[8] .
*Si p est impair alors p² est impair
et donc n²=4p² est divisible par 4 mais pas par 8.
donc n² ≡ 4[8].
3) Comme a est impair
alors d’après la première question a²≡ 1[8],
et de même c²≡ 1[8], c² ≡ 1[8].
Donc a²+b²+c²≡ 1+1+1≡ 3[8].
Pour l’autre reste,
écrivons a=2p+1. et b=2q+1, c=2r+1.
alors 2ab=2(2p+1)(2q+1)=8pq+4(p+q)+2.
Alors 2(ab+bc+ca)=8pq+8qr+8pr+8(p+q+r)+6.
donc 2(ab+bc+ca) ≡ 6[8].
4) Montrons par l’absurde que:
le nombre a²+b²+c² n’est pas le carré d’un nombre entier.
Supposons qu’il existe n∈IN tel que a²+b²+c²=n².
Nous savons que a²+b²+c²≡ 3[8]
Si n est impair alors n²≡ 1[8]
et si n est pair alors n² ≡ 0[8] ou n² ≡ 4[8].
Dans tous les cas n² n’est pas congrue a 3 modulo 8.
Donc il y a une contradiction.
La conclusion est que l’hypothèse de départ est fausse
donc a²+b²+c² n’est pas un carré.
Le même type de raisonnement est valide pour 2(ab+bc+ca).
Pour ab+bc+ca il faut raffiner un peut l’argument.
Si ab+bc+ca=n² alors selon la parité de n
nous avons 2(ab+bc+ca)=2n²=2[8] ou à 0[8].
Nous remarquons enfin que ab, bc, ca sont trois nombres impairs,
et donc leur somme est impaire.
Par conséquent n est impair (si non n² serait pair),
donc ab+bc+ca=n²≡ 1[8]
Ce qui aboutit à une contradiction.
Nous avons montrer que ab+bc+ca n’est pas un carre.