Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 1

? Exercice 1 :
1) Déterminer les entiers n qui divise n+12.
2) Déterminer tous les entiers n tels que 3n+4 divise n+6.
? Exercice 2 :
Soit x et y deux entiers naturels tel que x > y.
1) Montrer que si x²-y²=15 alors x-y et x+y sont des diviseurs de 15.
2 ) Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2-y2=15.
? Exercice 3 :
Soit n un entier naturel .
1) Montrer que

7^{2 n + 3}

est divisible par 4.
2) Montrer que

4^{4 n + 2} - 3 n + 3

est divisible par 11.
3)

3^{2 n + 1} + 2 \equiv 0 [7]

? Exercice 4 :
Pour tout n∈IN,

on note

r_{n}

le reste de la division euclidienne de

2^{n}

par 9.
1) a Compléter le tableau suivant :

n	0	1	2	3	4	5	6
$r_{n}$

Quelle semble être la période de la suite ( $r_{n}$ ).
b) En déduire ( $r_{n}$ ) pour tout n∈IN.
2) Déterminer le reste de la division euclidienne

65^{n}

par 9 suivant les valeurs de n.

3) Quel est le reste dans la division euclidienne de

65^{2018}

par 9.
? Exercice 5 :
Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.
1) Si n ≡ 9 [7] alors (9n+4)Λ(2n-1)=17.
2) Montrer que Pour tout entier naturel non nul n,

2^{n}

3^{n}

5^{n}

(mod 6).

3) Un entier congru à 7 modulo 8

peut être égal à la somme de trois carrés.
4) Montrer que:

555^{2017}

2016^{2016}

≡ 1 [37].

? Exercice 6 :
1) Écrire suivant les valeurs de l’entier n,
le reste de la division euclidienne de

2^{n}

par 5.
2) En déduire le reste de la division de

2917^{541}

par 5.
? Exercice 7 :
1) Prouver les équivalences suivantes:
a) 3x ≡ 8 [10] ⇔ x ≡ 6 [10]
b) x² ≡ 6 [10] ⇔ x ≡ 4 [10] ou x ≡ 6 [10]
2) Montrer que pour tout n ∈ IN:
n²+(n+1)²+(n + 2)² ≡ 6 [10] ⇔ (n + 1)²≡ 6 [10].
3) Déterminer tous les multiples naturels de 10 inférieurs à 5000;
qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs.

? Exercice 8 :
1) a) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de

3^{n}

.
b) En déduire le reste de la division de

2018^{128}

par 7.
2) a) Déterminer les restes de la division par 4 de

3^{n}

avec n∈IN.
b) En déduire que

3^{1998}

- 1 est divisible par 28.
? Exercice 9 :
1) Déterminer selon les valeurs de l’entier naturel n,
le reste de la division de

2^{n}

par 10.
2) Déterminer selon les valeurs de n,
le chiffre des unités de l’écriture décimale de 2n.
3) Déterminer le chiffre des unités de

3548^{9}

2534^{31}

.
? Exercice 10 :
1) a) Déterminer les restes possibles de la division euclidienne

d’un entier x par 5.
b) En déduire les solutions dans Z de l’équation : 3x+4 ≡ 0 [5].

2) Résoudre dans Z, l’équation: x²-x+4 ≡ 0 [5].

➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire

Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 1