Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 1
📑 Exercice 1 :
1) Déterminer les entiers n qui divise n+12.
2) Déterminer tous les entiers n tels que 3n+4 divise n+6.
📑 Exercice 2 :
Soit x et y deux entiers naturels tel que x > y.
1) Montrer que si x²-y²=15 alors x-y et x+y sont des diviseurs de 15.
2 ) Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2-y2=15.
📑 Exercice 3 :
Soit n un entier naturel .
1) Montrer que \(7^{2n+3}\) est divisible par 4.
2) Montrer que \(4^{4n+2}-3n+3\) est divisible par 11.
3) \(3^{2n+1}+2 ≡ 0[7]\)
📑 Exercice 4 :
Pour tout n∈IN,
1) Déterminer les entiers n qui divise n+12.
2) Déterminer tous les entiers n tels que 3n+4 divise n+6.
📑 Exercice 2 :
Soit x et y deux entiers naturels tel que x > y.
1) Montrer que si x²-y²=15 alors x-y et x+y sont des diviseurs de 15.
2 ) Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2-y2=15.
📑 Exercice 3 :
Soit n un entier naturel .
1) Montrer que \(7^{2n+3}\) est divisible par 4.
2) Montrer que \(4^{4n+2}-3n+3\) est divisible par 11.
3) \(3^{2n+1}+2 ≡ 0[7]\)
📑 Exercice 4 :
Pour tout n∈IN,
on note \(r_{n}\) le reste de la division euclidienne de \(2^{n}\) par 9.
1) a Compléter le tableau suivant :
1) a Compléter le tableau suivant :
Quelle semble être la période de la suite (\(r_{n}\)).
b) En déduire (\(r_{n}\)) pour tout n∈IN.
2) Déterminer le reste de la division euclidienne
de \(65^{n}\) par 9 suivant les valeurs de n.
3) Quel est le reste dans la division euclidienne de \(65^{2018}\) par 9.
📑 Exercice 5 :
Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.
1) Si n ≡ 9 [7] alors (9n+4)Λ(2n-1)=17.
2) Montrer que Pour tout entier naturel non nul n,
📑 Exercice 5 :
Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.
1) Si n ≡ 9 [7] alors (9n+4)Λ(2n-1)=17.
2) Montrer que Pour tout entier naturel non nul n,
\(2^{n}\)+\(3^{n}\)=\(5^{n}\) (mod 6).
3) Un entier congru à 7 modulo 8
peut être égal à la somme de trois carrés.
4) Montrer que:
4) Montrer que:
\(555^{2017}\)+\(2016^{2016}\) ≡ 1 [37].
📑 Exercice 6 :
1) Écrire suivant les valeurs de l’entier n,
le reste de la division euclidienne de \(2^{n}\) par 5.
2) En déduire le reste de la division de \(2917^{541}\) par 5.
📑 Exercice 7 :
1) Prouver les équivalences suivantes:
a) 3x ≡ 8 [10] ⇔ x ≡ 6 [10]
b) x² ≡ 6 [10] ⇔ x ≡ 4 [10] ou x ≡ 6 [10]
2) Montrer que pour tout n ∈ IN:
n²+(n+1)²+(n + 2)² ≡ 6 [10] ⇔ (n + 1)²≡ 6 [10].
3) Déterminer tous les multiples naturels de 10 inférieurs à 5000;
qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs.
📑 Exercice 8 :
1) a) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de \(3^{n}\).
b) En déduire le reste de la division de \(2018^{128}\) par 7.
2) a) Déterminer les restes de la division par 4 de \(3^{n}\) avec n∈IN.
b) En déduire que \(3^{1998}\)- 1 est divisible par 28.
📑 Exercice 9 :
1) Déterminer selon les valeurs de l’entier naturel n,
le reste de la division de \(2^{n}\) par 10.
2) Déterminer selon les valeurs de n,
le chiffre des unités de l’écriture décimale de 2n.
3) Déterminer le chiffre des unités de \(3548^{9}\)×\(2534^{31}\).
📑 Exercice 10 :
1) a) Déterminer les restes possibles de la division euclidienne
1) a) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de \(3^{n}\).
b) En déduire le reste de la division de \(2018^{128}\) par 7.
2) a) Déterminer les restes de la division par 4 de \(3^{n}\) avec n∈IN.
b) En déduire que \(3^{1998}\)- 1 est divisible par 28.
📑 Exercice 9 :
1) Déterminer selon les valeurs de l’entier naturel n,
le reste de la division de \(2^{n}\) par 10.
2) Déterminer selon les valeurs de n,
le chiffre des unités de l’écriture décimale de 2n.
3) Déterminer le chiffre des unités de \(3548^{9}\)×\(2534^{31}\).
📑 Exercice 10 :
1) a) Déterminer les restes possibles de la division euclidienne
d’un entier x par 5.
b) En déduire les solutions dans Z de l’équation : 3x+4 ≡ 0 [5].
b) En déduire les solutions dans Z de l’équation : 3x+4 ≡ 0 [5].
2) Résoudre dans Z, l’équation: x²-x+4 ≡ 0 [5].
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