Exercices Corrigés Arithmétiques dans Z
* Série 3 *
* Exercice 11 *
Montrer que, pour tout n∈IN: \(3^{2n}≡2^{n}[7] \).
Que peut-on déduire pour le nombre \(3^{2n}-2^{n}\).
* Exercice 12 *
Déterminer les entiers naturels n tels que: N=n²-3 n+6 soit divisible par 5.
* Exercice 13 *
Démontrer que, pour tout n∈IN, \(7^{2n}-1\) est divisible par 4.
* Exercice 14 *
a) Démontrer que pour tout k de IN on a: \(2^{3k}≡1[7]\).
b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 2009 par 7?
2) Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a≠0.
On considère le nombre N=a×10^{3}+b
On rappelle qu’en base 10, ce nombre s’écrit sous la forme \(N=\overline{a00b}\)
On se propose de déterminer:
parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a Vérifier que: \(10^{3}≡-1[7]\).
b) En déduire tous les nombres entiers N cherchés.
* Exercice 15 *
1) Restitution organisée de connaissances
Pré-requis:
Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel non nul.
a≡b[n] ⇔ a-b est un multiple de n.
a) Montrer à l’aide du pré-requis que a≡b[n] ⇔ a=b+kn, k∈Z.
b) En déduire que:la relation de congruence est compatible avec la multiplication,
c’est-à-dire que si a≡b[n] et a’≡b'[n] alors aa’≡bb'[n].
2) Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n,
le reste de la division euclidienne de \(4^{n}\) par 7.
a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 851 par 7.
b) En déduire alors, suivant les valeurs de l’entier naturel n,
le reste de la division euclidienne de \(A=851^{3 n}+851^{2 n}+851^{n}\) par 7
4) On considère le nombre B s’écrivant en base 4:\(B=\overline{2103211}\).
Déterminer, dans le système décimal,le reste de la division euclidienne de B par 4.
* Correction *
* Exercice 11 *
On procède par disjonction des cas.
On étudie les cas \(n ≡ r \mid 5] .\) pour 0≤r<5.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline r & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline n ^{2} ≡…[5] & 0 & 1 & 4 & 4 & 1 \\
\hline n ^{2}- 3n+6 ≡…[5] & 1 & 4 & 4 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}\)
On en déduit que \(n^{2}-3n+6\) est divisible par 5 pour \(n≡4[5]\)
L’ensemble des solutions est {4+5 k, k∈Z }.
* Exercice 12 *
\(7^{2}=49=1[4] \)
On en déduit que, pour tout n∈IN:
\(7^{2 n}=(7^{2})^{n}≡1^{n}[4]≡1[4]\)
On en déduit que:
\(7^{2 n}-1≡0[4]\)
Donc: \(7^{2 n}-1\) est divisible par 4 pour tout n∈IN.
* Exercice 13 *
1) a) \(2^{3}=8 ≡1[7]\).
On en déduit que, pour tout k∈IN:
\(2^{3 k}=(2^{3})^{k}≡ 1^{k}[7]=1[7]\).
b) \(2009=3 × 669+2\) donc:
\(2^{2009}=2^{3×669+2}=2^{3×669}×2^{2}\)
\(=1×2^{2}[7] ≡ 4[7] .\)
Le reste cherché est donc 4.
2) a) 10=3[7]
donc \(10^{3}≡3^{3}[7]=27[7]≡-1[7] \)
donc \(10^{3}≡-1[7]\).
b) \(N=a×10^{3}+b ≡a×(-1)+b[7]≡b-a[7]\)
donc N≡b-a[7]
N est divisible par 7 si, et seulement si N≡b-a[7]
⇔b-a≡0[7]
⇔ a≡b[7]
On en déduit que a=b ou a-b=7 où-7.
La liste des nombres N possibles est:
{1001;1008;2002;2009;3003;4004;5005;6006;7000;7007;8001;8008;9002;9009}
* Exercice 14 *
1) a) Soient n,a,b,c et d des entiers tels que n≥0, a≡b[n] et c≡ d[n]
D’après le pré-requis:
a=b[n] si, et seulement si, il existe un entier k tel que a-b=k n.
c≡d[n] si, et seulement si, il existe un entier k’ tel que c-d=k’n.
Alors:
ac=(b+kn)(d+k’n)=bd+n(bk’+dk+k k’n).
Or, bk’+dk+k k’n∈Z,
par conséquent ac≡bd[n]
2)
\(4^{0}≡1[7]\);\(4^{1}≡4[7]\);\(4^{2}≡16≡2[7]\);\(4^{3}≡64≡1[7]\);
On conjecture donc que:
pour tout entier naturel n:
*si n=0 [3] alors 4n=1 [7].
*si n=1 |3] alors 4n=4 [7].
*si n=2 [3] alors 4n=2 [7].
Montrons alors cette conjecture:
*si n=0 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k.
Par conséquent \(4n=4^{3k}=(4^{3})^{k}\)≡1^{k} [7] ≡ 1[7]\)
*si n=1 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+1.
Par conséquent \(4n=4^{3k+1}=(4^{3})^{k}×4\)≡1^{k}×4 [7] ≡ 4[7]\)
*si n=2 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+2.
Par conséquent \(4n=4^{3k+2}=(4^{3})^{k}×4^{2}\)≡1^{k}×16 [7] ≡ 2[7]\)
De plus, 1,4 et 2 sont des entiers des l’intervalle [0;7[.
Par conséquent, d’après la division euclidienne,
le reste r la division euclidienne de \(4^{n}\) par 7
est:
r=1 si n≡0 [3].
r=4 si n≡1 [3].
r=2 si n≡2 [3].
3) a) 851=7×121+4 et \(0≤4<7\).
Le reste de la division euclidienne de 851 par 7 est donc 4.
b) Soit n un entier naturel.
\(A=851^{3n}+851^{2n}+851^{n}≡4^{3 n}+4^{2n}+4^{n} [7] \).
\(A≡1+4^{2 n}+4^{n} [7] \).
D’après les questions précédentes:
*si n=0, alors A≡1+1+1| [7]≡3 [7].
*si n=1, alors A≡1+4²+4| [7]≡1+2+4 [7] ≡0 [7].
*si n=2, alors A≡1+2²+2 [7]≡7 [7] ≡0 [7].
Or, 0 et 3 sont des entiers naturels de l’intervalle [0;7[.
Par conséquent, le reste dans la division euclidienne de A par 7 est 0 où 3:
0 si (n≡0 [3] où n≡2 [3])
3 si n≡0 [3].
4) On considère le nombre B s’écrivant en base 4 :
B=\(\overline{2103211}^{4}\)
Alors
\(B=1+4+2×4^{2}+3×4^{3}+4^{5}+2×4^{6}\)
B=1+4×k avec K=\((1+2×4+3×4^{2}+4^{4}+2×4^{5})\)∈Z
B≡1 [7]
De plus 0≤1<4 .
Donc le reste dans la division euclidienne de B par 4 est 1.
* Exercice 15 *
\((x_{0} ; y_{0})\)=(1;1) est une solution particulière de (E)
\((x ; y)\) solution de (E)⇔3 x-2y=1
⇔\(3x-2y=3 x_{0}-2 y_{0}\)⇔\(3(x-x_{0})=2(y-y_{0})\)
⇔ 3(x-1)=2(y-1)(x) ①
⇒ \(\left\{\begin{array}{l}3 \mid 2(y-1) \\ 3 ∧ 2=1\end{array}\right.\)
⇒ 3 \ (y-1)
⇒ ∃ k∈Z tel que: y-1=3k ⇒ ∃ k∈Z tel que: y=3 k+1.
on remplace dans ① on obtient: x=2k+1.
Réciproquement
∀ k∈Z; on a: 3(2k+1)-2(3k+1)=1.
Ainsi \(S_{Z^{2}}\)={(2k+1;3k+1)}; k∈Z.
2) a) On a:
3(14n+3)-2(21n+4)=42n+9-42n-8=1
donc (14 n+3 ; 21 n+4)\) est une solution de (E)
(b) Comme 3(14n+3)-2(21n+4)=1.
donc d’après Bézout \((14 n+3)\) et \((21 n+4)\) sont premiers entre eux.
3) a)Soit \(d=(21n+4) ∧(2n+1)\)
Algorithme d’Euclide:
Ona: 21n+14=10(2n+1)+n-6 et 2n+1=2(n-6)+13
donc d=(21n+4)∧(2n+1)=(2n+1)∧(n-6)=(n-6)∧13.
Donc d divise 13 et par suite d=1 ou d=13.
b) si d=13,
comme d=(n-6)∧13 donc 13/(n-6) ⇔ n=6[13].
4) a) soit:
\(\left\{\begin{array}{l}A=P(n)=21n^{2}-17n-4 \\ B=Q(n)=28n^{3}-8 n^{2}-17n-3\end{array}\right.\)
On remarque que P(1)=Q(1)=0.
On remarque que P(1)=Q(1)=0.
donc 1 est une racine commune de P et Q.
A=P(n)=(n-1)(21n+4) et B=Q(n)=(n-1)(28n²+20n+3)
et par suite A et B sont divisible par (n-1).
b)On a: A=(n-1)(21n+4)
et B=(n-1)(28n²+20 n+3)=(n-1)(2n+1)(14n+3).
si c∧a=1\) alors ∀ b∈Z; on a: a∧bc=a∧b
Soit p=(21n+4) ∧(2 n+1)(14n+3).
On a:(14n+3) ∧(21n+4)=1.
donc
(21n+4) ∧(2n+1)=(21n+4) ∧(2n+1)(14n+3).
d’où: p=(21n+4)∧(2n+1).
et par suite p=1 ou p=13
* premier cas : si p=13
donc n=6 [13]
et on a : (21n+4) ∧(2n+1)(14 n+3)=13
donc:
(n-1)(21n+4)∧(n-1)(2n+1)(14n+3)=13(n-1)⇔A ∧ B=13(n-1).
* deuxième cas: si p=1.
donc n≠6 [13]
On a : (21n+4) ∧(2 n+1)(14 n+3)=1.
donc(n-1)(21n+4) ∧(n-1)(2n+1)(14n+3)=(n-1).
et par suite A ∧ B=(n-1).
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