Calcule Sur les Logarithmes
Exercice 1:
Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\)
dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=\ln (x+2)\)
2) \(f(x)=\ln (x^{2}-5 x)\)
3) \(f(x)=\ln |x+1|\)
4) \(f(x)=\ln ^{2} x-3 ln x\)
5) \(f(x)=\ln ((x-1)^{2})\)
6) \(f(x)=x.\sqrt[3]{2-ln x}\)
7) \(f(x)=\ln (x+2)+\ln (x-1)\)
8) \(f(x)=\ln ((x+2)(x-1))\)
9) \(f(x)=\ln (ln x)\)
10) \(f(x)=\ln (\frac{x+2}{3-x})\)
11) \(f(x)=\frac{\ln (x^{2}+4)}{x}\)
12) \(f(x)=\frac{x}{\ln ^{2} x}+\frac{2}{\ln (x-3)}-\frac{1}{1+\ln |x|}\)
Exercice 2:
Calculer en fonction de \(a=\ln 5\) et \(b=\ln 4\) ce qui suit:
\(\alpha=\ln 2\)
\(\beta=\ln (100)\)
\(\gamma=\ln (1000)\)
\(\lambda=\ln (\frac{8}{125})\)
\(\mu=\ln (0,64)\)
Exercice 3:
Soit \(a, b\) et \(c\) trois réels strictement positifs.
On pose \(A=\ln a\) et \(B=\ln b\) et \(C=\ln c\)
Exprimer ce qui suit en fonction de \(a, b\) etc :
\(X=\ln (a^{8} b^{9} c^{\frac{3}{2}})\)
\(Y=\ln (\frac{a}{b^{7}})+\ln (\frac{a^{-1}}{c^{3}})\)
\(Z=\ln (\sqrt{a b c .\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{b}})\)
\(T=\ln (\sqrt[3]{\sqrt{a} .\sqrt[3]{b^{-2}}.\sqrt{c}})\)
Exercice 4:
Simplifier les écritures sulvantes :
\(A=\ln (7+4 \sqrt{3})^{15}+\ln (7-4 \sqrt{3})^{15}\)
\(B=\ln 2+\ln (2+\sqrt{2+\sqrt{2}})+\ln (2-\sqrt{2+\sqrt{2}})\)
Exercice 5:
Soit les équations suivantes :
1) \(ln x=0\); 2) \(ln x=1\)
3) \(ln x=5\)4) \(ln x=3 \ln 2\);
5)\(2 ln x=\ln 3+\ln 27\)6) \(7 ln x=-3\) 7) \(2 ln x=\ln (x^{2})\)
8) \(\ln ^{2} x=4\)
Résoudre dans IR les équations précédentes.
Exercice 6:
1) \(\ln (x^{2}-x)=\ln (x+1)\)
2) \(\ln (7 x-1)=\ln (5 x+1)\)
3) \(3(ln x)^{2}-7 ln x+10=0\)
4) \(\frac{8+ln x}{1+2 ln x}=ln x\)
5) \(\ln (x-1)+\ln (x+3)=\ln (x^{2}+4 x+9)\)
6) \(2 \ln (2 x-3)-3 \ln (2-x)=0\)
7) \(\ln (\frac{x+5}{x+2})+2 \ln (x+2)=\ln (3 x+9)\)
8) \(\sqrt[3]{\ln ^{2} x}-5 \sqrt[3]{ln x}+6=0\)
9)\((\ln (x+3))^{2}=25\)
10) \(\ln (\sqrt{2 x+1})=-\frac{1}{2} ln x\)
Résoudre dans IR ces équations.
Exercice 7:
Soit \(g\) la fonction définie par:
\(g(x)=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})\)
1) Déterminer le domaine de définition de \(g\).
2) Montrer que la fonction \(g\) est impaire.
Exercice 8:
Soit \(a\) et \(b\) deux réels strictement positlfs.
1) Montrer que : \(\frac{1}{2}(\ln a+\ln b)≤ \ln (\frac{a+b}{2})\)
2) On suppose dans cette question que
\(\ln (\frac{a+2 b}{3})=\frac{1}{2}(\ln a+\ln b),\)
et on pose \(\lambda=\frac{a}{b}\)
Montrer que:
\(\lambda-3 \sqrt{\lambda}+2=0\)
puis déterminer les valeurs du réel \(\lambda\)
Exercice 9:
Résoudre dans IR² les systèmes suivants
\(\{\begin{array}{l}x+y=10 \\ ln x+\ln y=4 \ln 2\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}4 x+5 y=8 \\ ln x+\ln y=2 \ln 2-\ln 5\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}ln x-\ln y=1 \\ \ln ^{2} x+\ln ^{2} y=13\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}ln x \times \ln (\frac{x}{y})=3 \\ ln x-\ln y=2\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}\ln (x y)=-5 \\ ln x .\ln y+14=0\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}x+y=e \\ ln x+\ln y=2+\ln 3\end{array}.\)
\(\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=25 \\ ln x+\ln y=2 \ln 2+\ln 3\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}2 ln x-\ln y=5 \\ ln x+\ln y=7\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}x y=2 \\ \ln ^{2} x+\ln ^{2} y=\frac{5}{9} \ln ^{2} 2\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}\ln (x^{5})+\ln (y^{2})=16 \\ \ln (x^{3})+\ln (y^{3})=15\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}ln x^{2}+\ln y=11 \\ \ln ^{2} x-2 \ln (x y)=6\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}\ln (x y^{2} \sqrt{x})=10 \\ \ln (\frac{x}{y \sqrt{y}})=1\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}\ln (x^{3} y^{2})=5 \\ ln x-4 \ln \sqrt{y}=-3\end{array}\)
\(\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=52 \\ \ln (-x)+\ln (-y)=\ln 24\end{array}\)
Exercice 10:
1)
Résoudre dans IR les équations suivantes:
\(\ln (\sqrt{x-1})=\ln (3-x)-\frac{1}{2} \ln (x-1) \)
\(\ln ^{3} x-3 \ln ^{2} x-6 ln x+8=0\)
\(\ln |x-1|+\ln |x+2|=\ln \mid 4 x^{2}+3 x-7\)
2)
Résoudre les inéquations suivantes:
\(\ln (x^{2}-2 x)≤ ln x\)
\(\ln ^{2} x+ln x-2>0\)
\(\ln (\frac{3 x-7}{4 x+5}) \geq 0\)
\(\frac{\ln |x-2|}{3+ln x}>0\)
\(\ln |3 x^{2}+7 x+3| \geq 0\)
\(\ln |x|<-\ln |3 x+2|\)
3)
Déterminer le plus petit entier naturel \(n\)
vérifiant l’inégalité suivante:
\(25(1+\frac{7}{100})^{n} \geq 4\)
Calcul des Limites
Exercice 11:
Déterminer \(\lim_{x ➝+∞} f(x)\)
dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=\frac{\ln (x-1)}{2 x-3}\)
2) \(f(x)=\ln (\frac{3 x^{4}+5}{x^{2}+4})\)
3) \(f(x)=\frac{\ln (x+2)}{x^{2}+3}\)
4) \(f(x)=\ln (\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}})\)
5) \(f(x)=3 x-5 ln x\)
6) \(f(x)=ln x-5 x^{2}\)
7) \(f(x)=\ln (2 x+3)-lnx;\)
8) \(f(x)=\frac{\ln ^{2} x}{1-ln x}\)
9) \(f(x)=\ln (x^{2}+1)-3 x\)
10) \(f(x)=x \ln (\frac{x-2}{x+3})\)
Exercice 12:
Trouver les limites suivantes:
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{\ln ^{2} x}{x^{5}}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{\ln ^{3} x}{\sqrt{x}}\)
\(\lim _{x ➝+∞}(\ln ^{3} x-\sqrt{x})\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{x}{\ln ^{2} x}\)
\(\lim _{x ➝-∞} \frac{\ln (x^{2}+1)}{x^{3}+1}\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{\ln (1+x^{3})}{x^{2}}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} \sqrt[3]{x} .\ln ^{2} x\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} x \sqrt{|ln x|}\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{\ln (\cos x)}{x}\)
\(\lim _{x ➝+∞}(x^{3}-5 x-ln x)\)
\(\lim _{x ➝-∞} \frac{\ln (x^{2}-3 x+7)}{2 x+3}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{\ln (x+1)}{\ln (5 x+3)}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} \frac{\ln (1+\sqrt[3]{x})}{x}\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{\sin (x)}{\ln (1+x)}\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{1}{x} \ln (\frac{2-3 x}{2+5 x})\)
\(\lim _{x ➝ 2^{+}}(\frac{3 x}{x-2}+\ln (x-2))\)
\(\lim _{x ➝-1^{+}}(x+1) \ln (x^{2}+x)\)
\(\lim _{x ➝+∞} \ln (\sqrt{x^{2}+3}-x)\)
\(\lim _{x ➝+∞} x \ln (1+\frac{3}{x})\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{\ln ^{2} x-4 ln x}{1+5 ln x}\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}\)
\(\lim _{x ➝ 2} \frac{\ln (2 x-3)}{x^{2}-4}\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{\ln (x^{2}+x+\sqrt{x+4})}{3 x}\)
Exercice 13:
Calculer :
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{4 x-3 ln x}{2 x+5 ln x}\)
\(\lim _{x ➝ 2} \frac{x}{x-2} \ln (\frac{x}{2})\)
\(\lim _{x ➝ 1} \frac{ln x}{x^{4}-1}\)
\(\lim _{x ➝ ∈fty} x \ln (\frac{x+2}{x+3})\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} x \ln (2 x+\sqrt{x})\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{Arctanx}{\ln (1+x)}\)
\(\lim _{x ➝ 2^{+}}(x-2) \ln (x^{3}-8)\)\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\cos x})\)
\(\lim _{x ➝ 0} \frac{1}{x} \ln (\frac{1+5 \sin x}{1+3 \tan x})\)
\(\lim _{x ➝ 2^{-}} \ln (2-x) .\cos (\frac{π}{4} x)\)
\(\lim _{x ➝-∈fty} \frac{\sqrt[1]{1+\ln (x^{2})}}{x}\)
\(\lim _{x ➝ 1^{+}}(x^{\frac{2}{3}}-1)^{3} .\ln (x^{2}-1)\)
\(\lim _{x ➝ 1^{-}} \cos (\frac{π}{2} x) .\ln (1-x)\)
\(\lim _{x ➝ \frac{π}{4}} \frac{\ln (2 \tan x .\sqrt[3]{\tan x}-1)}{\tan x-1}\)
\(\lim _{x ➝ 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{1-\ln (e-x)}\)
Exercice 14:
Soit \(f\) la fonction définie par:
\(f(x)=\frac{1-2 ln x}{1-ln x}\)
1) Déterminer le domaine de définition de \(f\).
2) Montrer que
\(f\) admet un prolongement par continuité en 0
et donner ce prolongement.
3) Calculer les limites suivantes
\(\lim_{x ➝ e^{-f(x))\
\(\lim _{x ➝ c^{+}} f(x) )\
\(\lim _{x ➝+∞} f(x))\
Exercice 15:
On considère la fonction \(f\) définie par:
\(f(x)=2 x-x \ln (1+\frac{2}{x})\
Et soit (C) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O\vec{i}, \vec{j})\)
Montrer que
la droite \(D\) d’équation \(y=2(x-1)\) est un asymptote oblique
à la courbe (C) au voisinage de +∞.
Exercice 16:
On considère la fonction numérique \(f\) définie par:
Et soit (C) sa courbe représentative dans un orthonormée
\((O\vec{i}, \vec{j})\)
1) Montrer que \(f\) est continue à droite en 0.
2) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) à droite en 0 ,puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.
3) Calculer les limites:
\(\lim _{x ➝ 1} f(x)\) et \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\),
puis interpréter graphiquement les résultat obtenus.
Calcule des Fonction des Dérivées
Exercice 17:
Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction \(f\)est dérivable et calculer sa fonction dérivée dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=x ln x\)
2) \(f(x)=\ln |x-1|+ln x\)
3) \(f(x)=\ln (x^{2}-2 x)\)
4) \(f(x)=\ln \mid x^{2}-8 x+12\)
5) \(f(x)=\ln (ln x)\)
6) \(f(x)=x^{3} \sqrt{ln x}\)
7) \(f(x)=\frac{\ln ^{5} x}{x}\)
8) \(f(x)=\ln (\frac{x^{2}-6 x+5}{2 x^{2}+3 x+1})\)
9) \(f(x)=\ln |\cos x|\)
10) \(f(x)=\sqrt{1-\ln (x-3)}\)
11) \(f(x)=\sqrt{1-\frac{1}{\ln ^{2} x}}\)
12) \(f(x)=x^{2}(2-\frac{3}{ln x})^{4}\)
13) \(f(x)=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})\)
14) \(f(x)=\sqrt{1-\ln ^{2} x}\)
15) \(f(x)=\ln (x-2+\sqrt{x^{2}-4 x+5})\)
16) \(f(x)=\ln (\sqrt{e+x}+\sqrt{e-x})\)
17) \(f(x)=\ln \mid \frac{x^{2}-4 x}{x+4}\)
Calcul des Primitives
Exercice 18:
Pour chacun des cas suivants, déterminer les primitives de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I\) :
1) \(f(x)=-\frac{5}{x}\) I=] 0;+∞[
2) \(f(x)=-\frac{1}{x}\) I=]-∞;0[
3) \(f(x)=\frac{1}{x+2}\) I=]-2;+∞[
4) \(f(x)=\frac{3 x-5}{2 x+1}\) I=[0;+∞[
5) \(f(x)=\frac{2 x}{4+x^{2}}\) I=IR
6) \(f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+x+4}\) I=IR
7) \(f(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-5}\)
I=]2;5[
8) \(f(x)=\frac{2 x^{3}+x^{2}+x-7}{x}\)
I=]-∞;0[
Exercice 19:
Pour chacun des cas suivants,
déterminer les primitives de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(I\) :
1) \(g(x)=x^{2}-2+\frac{4}{5 x+1}\)
I=[0;+∞[
2) \(g(x)=\frac{ln x}{x}+\frac{1}{x ln x}\)
I=]1;+∞[
3) \(g(x)=\frac{5}{x \sqrt{1-ln x}}\)
I=]0;e[
4) \(g(x)=\tan x\)
\(I=]-\frac{π}{2};\frac{π}{2}[\)
5) \(g(x)=\frac{1}{(1+x^{2})Arctan x \)
I=] 0;+∞[
6) \(g(x)=\frac{1}{\sin (2 x)}\)
\(I=] 0;\frac{π}{2}[\)
7) \(g(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x}}\)
\(I=] 0;+∞[\)
Exercice 19:
Pour chacun des cas suivants, déterminer
les primitives de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(I\) :
1) \(g(x)=x^{2}-2+\frac{4}{5 x+1}\)
I=[0;+∞[
2) \(g(x)=\frac{ln x}{x}+\frac{1}{x ln x}\)
I=]1;+∞[
3) \(g(x)=\frac{5}{x \sqrt{1-ln x}}\)
I=]0;e[
4) \(g(x)=\tan x\)
\(I=]-\frac{π}{2};\frac{π}{2}[\)
5) \(g(x)=\frac{1}{(1+x^{2})Arctan x \)
I=] 0;+∞[
6) \(g(x)=\frac{1}{\sin (2 x)}\)
\(I=] 0;\frac{π}{2}[\)
7) \(g(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x}}\)
\(I=] 0;+∞[\)
Variations et Etude des Fonction
Exercice 20:
Étuier les variations des fonctions définies par:
\(f(x)=\ln (-3 x+2)\)
\(g(x)=\ln (\frac{2 x}{x-1})\)
\(h(x)=\ln |x^{2}-9|\)
\(k(x)=\ln |x+\sqrt{x^{2}-1}|\)
\(u(x)=x^{2}-2 x+3 \ln (x^{2}-1)\)
\(v(x)=\frac{x}{ln x}\)
Exercice 21:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur IR*+ par :
\(f(x)=\frac{ln x}{x}-\frac{3}{2 x}+\frac{1}{2} x-1\)
\(g(x)=x^{2}+5-2 ln x\)
1)
a) Étudier les variations de la fonction \(g\) sur IR*+.
b) En déduire le signe de \(g(x)\) sur IR*+.
2) Etudier les variations de la fonction \(f\).
Exercice 22:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR*+ par:
\(f(x)=(1-\frac{1}{x^{2}}) ln x\)
1) Montrer que:
\(∀x ∈IR*+: x^{3} f'(x)=2 ln x+x^{2}-1\)
2) Montrer que la fonction \(f\) est
décroissante sur \(] 01]\)
et croissante sur [1+∞[.
Exercice 23:
1) Montrer que la fonction \(g\) définie sur IR+ par:
\(g(x)=\frac{x}{x+1}+\ln (x+1)\)
et strictement croissante sur IR+.
2) Soit \(f\) la fonction définie par:
\(f(x)=\sqrt{x \ln (1+x)}\)
a) Déterminer le domaine de définition de \(f\).
b) Calculer : \(\lim _{x ➝ 1^{+}} f(x)\) et \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
c) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) en 0 .
d) Étudier les variations de la fonction \(f\).
Exercice 24:
Soit \(f\) la fonction numérique définie par:
\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-\ln ^{2} x}}\)
Et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O\vec{i}, \vec{j})\)
1) Déterminer \(D_{f}\), le domaine de définition de \(f\).
2) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x ∈ D_{f}\)
puis étudier les variations de la fonction \(f\).
3) Déterminer l’équation de la tangente
a la courbe \((C)\) au point d’abscisse \(e\).
4) Étudier la position relative de la courbe \((C)\)
et la drolte \(Δ) d’équation \(y=x\)
5) Construire la courbe \((C)\).
Exercice 25:
On considère la fonction numérique \(f\) définie par:
\(\{\begin{array}{l}f(x)=x^{2} .\sqrt{-ln x}0<x≤ 1 \\f(x)=(x-1) \ln (x-1)x>1 \\f(0)=0\end{array}.\)
soit \((C)\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O\vec{i}, \vec{j})\)
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction\(f\) à droite de 0.
2) Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en 0.
3) Étudier les variations de la fonction \(f\).
4) Étudier la branche infinie de la courbe \((C)\) au voisinage de +∞.
5) Construire la courbe \((C)\).
Exercice 26:
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
1) Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur IR*+ par:
\(f(x)=x^{n}-ln x\)
2) En déduire que : ∀x ∈IR*+: \(ln x ≠x^{n}\)
Fonction Logarithme de base a
Exercice 27:
Simplifier les expressions suivantes :
\(\log _{4}(2)+\log _{2}(16)+\log _{8}(4)\)
\(\log _{2}(8)-\log _{2}(\sqrt[3]{32})+\log _{2}(9)-\log _{2}(3)\)
\(\log _{3}(\frac{15}{4})+\log _{2}(\frac{1}{27})+\log _{2}(\frac{4}{5})\)
\(\log 100-\log (10^{2017})+\log (\frac{1}{10^{100}})\)
\(\frac{\log (0,008)-4 \log (0,3)}{\log 9-\log 8}\)
Exercice 28:
1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
\(5(\log _{2} x)^{2}-\log _{2} x-4=0(\log x)^{2}-2 \log x=0\)
\(-3(\log _{\frac{5}{4}} x)^{2}+\log _{\frac{5}{4}} x+10=0\)
2) Résoudre le système suivant:
\(\{\begin{array}{l}\log _{3}(\frac{1}{x^{2}})-\log _{3} y^{4}=-4 \\\log _{3}(x^{3} y^{5})=3\end{array}.\)
Exercice 29:
1) Résoudre les équations suivantes :
\(\log x)^{3}+3(\log x)^{2}-25 \log x+21=0\)
\(\log _{\sqrt{2}} x) \cdot(\log _{2} x) \cdot(\log _{2 \sqrt{2}} x) \cdot(\log _{4} x)=54\)
\(\log _{2} x=1-(x-2)^{2}\)
\(\log _{2} x=\frac{1}{2}+\log _{4}(4 x+10)\)
2) Résoudre les inéquations suivantes :
\(\log _{2} x≤ \log _{8}(5 x-4)\)
\(\log _{x}(x^{2}-\frac{1}{4})>4\)
3) Résoudre le système suivant
\(\{\begin{array}{l} x y=256 \\ 7(\log _{x}(y)+\log _{y}(x))=50 \end{array}.\)