Suite Numérique 2 Bac SM Exercices d'Applications

Limite des Suites Numérique:

Exercice 1:

$(u_{n})$ , $(v_{n}$ et $(w_{n})$ suites définies par :
$u_{n} = \frac{1}{\sqrt{2 + n}}$
$v_{n} = \frac{3 n + 1}{n - 1}$
$w_{n} = n \sqrt{n}$
Montrer en utilisant la définition que :
$lim_{n ➝ + \infty} u_{n} = 0$
$lim_{n ➝ + \infty} v_{n} = 3$
$lim_{n ➝ + \infty} w_{n} = + \infty$

Exercice 2:

Calculer les limites suivantes : $lim_{n ➝ + \infty} (n^{3} - 5 n^{2} - 6 n + 7$
$lim_{n ➝ + \infty} \frac{3 n^{2} - 6 n^{4}}{2 n^{2} + 5}$ $lim_{n ➝ + \infty} \frac{3 n^{2} - 5 n + 2}{4 - n^{3}}$
$lim_{n ➝ + \infty} \frac{2 - 8 n^{2} + 5 n^{3}}{7 n^{3} - 3}$ $lim_{n ➝ + \infty} \frac{3 n^{2} - 5 n + 2}{4 - n^{3}}$ $lim_{n ➝ + \infty} \frac{2 - 8 n^{2} + 5 n^{3}}{7 n^{3} - 3}$ $lim_{n ➝ + \infty} (\sqrt[3]{n^{3} - n + 4} - n$
$lim_{n ➝ + \infty} A r c t a n (\sqrt[3]{n + 6})$ $lim_{n ➝ + \infty} (n^{2} - n - \sqrt[3]{n} + 1$
$lim_{n ➝ + \infty} (\sqrt[3]{n + 1} - \sqrt[3]{n - 1})$ $lim_{n ➝ + \infty} (n^{\frac{2}{3}} - n^{- \frac{1}{3}})$ $lim_{n ➝ + \infty} \frac{n^{\frac{3}{5}} + n^{\frac{6}{7}}}{n^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{4}{9}}}$

Exercice 3:

Trouver la limite de chacune des suites suivantes:
$a_{n} = (- \frac{1}{2})^{n} + (\frac{3}{2})^{n}$ $b_{n} = (\frac{5}{3})^{n} + (\frac{2}{9})^{n}$ $c_{n} = \frac{7^{n} - 5^{n}}{3^{n}}$
$d_{n} = \frac{2^{n} - 1}{7^{n} + 1}$ $e_{n} = \frac{2^{n} - 5^{n}}{4^{n} + 9^{n}}$
$u_{n} = (\frac{7}{3})^{n} - (2017)^{n}$
$v_{n} = \frac{4^{n} - (- 2)^{n}}{3^{n} + (- 2)^{n}}$
$w_{n} = \sqrt[5]{2^{n}} - \sqrt[3]{2^{n}}$ $x_{n} = \frac{2^{n + 1} + 3^{n + 1}}{3^{2 n - 1}}$

Critère de Convergence:

Exercice 4:

$(u_{n})$ suite numérique définie par:
$(u_{n})_{n \geq 2}$ suite numérique définie par:
$u_{n} = 3 + \frac{\sqrt{n}}{n + (- 1)^{n}}$
1) Établir que pour tout n ≥ 2:
$\frac{\sqrt{n}}{n + 1} \leq u_{n} - 3 \leq \frac{\sqrt{n}}{n - 1}$
2) En déduire $lim u_{n}$

Exercice 5:

O pose $(u_{n})_{n \geq 1}$ la suite définie par:
$u_{n} = \frac{\cos (3 n)}{\sqrt{n}}$
1) Vérifier que:
∀n ≥ 1, $| u_{n} | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$
2) En déduire la limite de la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$

Exercice 6:

Calculer la limite de :
$a_{n} = (\frac{3}{4})^{n} \sin (n)$
$b_{n} = \frac{n - \sin n}{n + \sin n}$ $c_{n} = n + 1 - \sin (2 n)$
$d_{n} = 2 (- 1)^{n} + 4 n^{2} + 3$ $u_{n} = \frac{3 n}{5 + \cos n}$
$v_{n} = \frac{n - \cos n}{n^{2} + 2 n}$
$x_{n} = \frac{2^{n + 1} + 3^{n + 1}}{3^{2 n - 1}}$
$y_{n} = \frac{3 n + E (n)}{n + 5}$
$z_{n} = \frac{1}{n (3 - \sin n)}$

Exercice 7:

$(u_{n})_{n \geq 1}$ est une suite numérique définie par:
$u_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1} + \frac{n}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n}$
1) Montrer que:
∀n ∈IN* $\frac{n}{n + 1} \leq u_{n} \leq \frac{n^{2}}{n^{2} + 1}$
2) En déduire $lim u_{n}$ .

Exercice 8:

$(u_{n})$ suite numérique définie par:
$u_{0} = \frac{1}{2}$
$u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 1}{u_{n} + 1}$ pour tout n∈IN1) Montrer par récurrence que:
pour tout n∈IN*: $1 \leq u_{n} \leq 2$ 2) Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.3) En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

Exercice 9:

$(u_{n})$ suite numérique définie par:
$u_{0} = 2$
$u_{n + 1} = \frac{1}{2} (1 + u_{n})^{2}$ pour tout n∈IN1)
Montrer que:
la suite $(u_{n})$ est croissante.2) a) Montrer que:
$\forall n \in I N u_{n + 1} - u_{n} \geq \frac{5}{2}$ b) En déduire que:
$\forall n \in I N u_{n} \geq 2 + \frac{5 n}{2}$ Préciser alors la limite de la suite $(u_{n})$

Exercice 10:

pour tout n∈IN*
On considère la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ indéfinie par:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots + \frac{1}{n^{3}}$
1) Montrer que la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ est croissante.
2) Montrer que pour tout $n \in I N : u_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}$
3) En déduire que la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ est convergente

Exercice 11:

$u_{0} = 1$
$u_{n + 1} = \sqrt[3]{3 u_{n} + 1} - 1$ pour tout n∈IN
1) Montrer que pour tout n∈IN: $0 \leq u_{n} \leq 1$
2) Étudier la monotonie de la suite $(u_{n})$
3) En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

Suites de Type: $U_{n + 1} = a U_{a} + b$ :

Exercice 12:

$u_{0} = 1$
$u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n} + \frac{2}{3}$ pour tout $n \in I N$
On pose: $v_{n} = 2 - u_{n}$ pour tout $n \in I N$
1) Montrer que $(v_{n})$ est géométrique et déterminer saraison et son premier terme.
2) a) Déterminer $v_{n}$ et $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b) Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$
3) On pose pour tout $n \in I N : S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}$
Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n .$
Préciser $lim_{n a r r o w + \infty} S_{n}$

Suites de Type: $U_{n} = f (n)$

Exercice 13:

Déterminer la limite de chacune des suites sulvantes:
$a_{n} = \sqrt{\frac{3 n - 4}{2 n + 1}}$
$b_{n} = n^{2} \sin (\frac{1}{n})$
$c_{n} = \sqrt{3^{n} - 2^{n}}$ $u_{n} = \cos (\frac{n π - 3}{2 n + 1})$
$v_{n} = 4^{n} (1 - \cos (- \frac{1}{2})^{n})$

Exercice 14:

1) Montre que pour tout $x \in] 0, + \infty [$
$A r c t a n (\frac{1}{1 + x + x^{2}}) = A r c t a n (\frac{1}{x}) - A r c t a n (\frac{1}{1 + x})$
2) Posons pour tout $n \in I N^{*}$ :
$u_{n} = A r c t a n (\frac{1}{1 + n + n^{2}})$
$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k}$
a) Calculer $lim u_{n}$
b) Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ . Préciser $lim S_{n}$ .

Suites de Type: $U_{n + 1} = f (U_{n})$

Exercice 15:

$f$ la fonction définie sur $I = [0; \frac{1}{4}]$ par:
$f (x) = x^{2} + \frac{3}{4} x$
1) Déterminer $f (I)$ .
2) Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par:
$u_{0} = \frac{1}{5}$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n \in I N$
a) Montrer que :
∀n ∈IN : $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{4}$
b) Étudier la monotonie de la suite $(u_{n})$ .
c) En déduire que $(u_{n})$ est convergente.
d) Calculer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Exercice 16:

$g$ la fonction définie sur $I =] 1; + \infty [$ par :
g(x)=\frac{x^{2}-3 x+6}{x-1}
1) Montrer que pour tout $x \in I : g (x) \geq 3$
2) On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = g (u_{n})$ pour tout $n \in I N$
a) Montrer que : $(\forall n \in I N^{*}) u_{n} \geq 3$
b) Montrer que la suite $(u_{n})$ est monotone.
c) En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente
puis calculer sa limite.

Exercice 17:

$u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = u_{n} + u_{n}^{2}$ pour tout $n \in I N$
1) Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
2) Montrer par l’absurde que $(u_{n})$ n’est pas majorée.
3) Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$

Suites Adjacentes:

Exercice 18:

Dans chacun des cas suivants, montrer que les suites $(u_{n}) e t (v_{n})$ sont adjacentes:
1) $u_{n} = \frac{2 n}{n + 2}$
$v_{n} = 2 + \frac{1}{n!}$
2) $u_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!}$
$v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n, n!}$
3) $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k^{2} (k + 1)^{2}}$
$v_{n} = u_{n} + \frac{1}{3 n^{2}}$

Exercice 19:

$(u_{n})_{n \geq 1}$ et $(v_{n})_{n \geq 1}$ deux suites définies par:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}$
$v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n}$
Montrer que:
$(u_{n})_{n \geq 1}$ et $(v_{n})_{n \geq 1}$ sont convergentes et on la même limite.

Exercice 20:

On considère les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par:
$u_{0} = a$
$u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}}, n \in I N$
$v_{0} = 2 a$ $v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}, n \in I N$
$a$ est un réel strictement positif.
1) Montrer que:
pour tout n ∈IN: $0 < u_{n} < v_{n}$
2) Montrer que:
la suite $(u_{n})$ est croissante et que la suite $(v_{n})$ est décroissante.
3) Montrer que:
les suites $(u_{n}) e t (v_{n})$ sont adjacentes.

Exercice 21:

$(u_{n})_{n \geq 2}$ et $(v_{n})_{n \geq 2}$ deux suites définies par:
$u_{n} = 2^{n + 1} \sin \frac{π}{2^{n + 1}}$
$v_{n} = 2^{n + 1} \tan \frac{π}{2^{n + 1}}$
Montrer que:
$(u_{n})_{n \geq 2}$ et $(v_{n})_{n 22}$ sont adjacentes.