Comparaison et ordre
Exercice 1:
(x=4,23×10^{-2}\) et \(y=3,5×10^{-3}\)
a) Déterminer les signes de \(x+y, x y\) et \(\frac{x}{y}\). b) Comparer \(x\) et \(y\).
c) Comparer \(-x\) et \(-y\).
d) Comparer \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{y}\)
Exercice 2:
Soit \(x=-3,8×10^{2}\) et \(y=1,17×10^{2}\)
a) Déterminer les signes de \(x+y, x y\) et \(\frac{x}{y}\).
b) Comparer \(x\) et \(y\).
c) Comparer \(-x\) et \(-y\).
d) Ranger les nombres \(x+y ; x-y ;-x+y\).
e) Comparer \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{y}\).
Exercice 3:
Soit \(a=-5,24×10^{-3}\) et \(b=0,00464\)
a) Comparer a et b.
b) Comparer \(a+b\) et \(a-b\).
c) Comparer \(\frac{1}{a}\) et \(\frac{1}{b}\).
d) Comparer \(a^{2}\) et \(b^{2}\).
Exercice 4:
On considère les deux nombres a et tel que :
\(a=-\frac{7}{13}\) et \(b=-\frac{4}{7}\)
a) Donner le signe de chacun des réels \(a+b ; a b ; \frac{a}{b}\).
b) Comparer a et b.
c) Comparer \(a+b\) et \(-(a+b)\).
d) Comparer \(a+b\) et \(a+2 b\).
e) Comparer \(\frac{1}{a}\) et \(\frac{1}{b}\).
f) Comparer \(a^{2}\) et \(b^{2}\)
Exercice 5:
Comparer les nombres \(x\) et y dans chacun des cas suivants :
a) \(x=\frac{496}{55}\) et \(y=9\).
b) \(x=\frac{526}{187}\) et \(y=\frac{23}{8}\).
Exercice 6:
Comparer les deux nombres a et b dans chaque cas:
a) \(a=4 \sqrt{2} \) et \(b=5,65\)
b) \(a=\frac{1}{14 \sqrt{5}}\) et \(b=\frac{1}{31}\)
c) \(a=x \sqrt{x+1}\) et \(b=(x+1) \sqrt{x}\)
où \(x\) est un réels strictement positif.
Exercice 7:
On pose:
\(a=\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \) et \(b=\frac{4+\sqrt{2}}{7}\)
a) Montrer que: \(b-a=\frac{8-5 \sqrt{2}}{14}\)
b) Comparer a et b.
Exercice 8:
Montrer que:
\(\frac{1}{50}<\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+\frac{1}{104}<\frac{1}{25}\)
(Noter que : \(4×\frac{1}{100}=\frac{1}{25}\) )
Exercice 9:
On considère les deux nombres \(x\) et \(y\) tels que:
\(x=3 \sqrt{18}-\sqrt{72}+2 \sqrt{\frac{9}{2}}\)
\(y=\sqrt{28}+\sqrt{32}-2 \sqrt{2}\)
1) Montrer que: \(x-y=4 \sqrt{2}-2 \sqrt{7}\)
2) Comparer \(x\) et \(y\)
Exercice 10:
Comparer les deux nombres:
\(a=10 \sqrt{51}\) et \(b=70+\sqrt{2}\)
Comparaison difficile par la calculatrice
Exercice 11:
On considère les nombres \(x=333 \sqrt{51}\) et \(y=2378,095667\)
a) En utilisant une calculatrice, calculer \(x\). Peut-on dire que \(x\) et \(y\) sont égaux?
b) A l’aide de la calculatrice, calculer \(x^{2}\) et \(y^{2}\).
2) Montrer que \(x^{2}\) est un nombre entier naturel et que \(y^{2}\) n’est pas un entier naturel.
En déduire que \(x≠ y\).
3) Calculer la valeur exacte du nombre \(\mathrm{y}^{2}\) en posant \(y^{2}=(2378+0,095667)^{2}\)
4) Comparer \(x\) et \(y\).
Exercice 12:
Comparer \(x\) et y dans chaque cas:
a) \(x=a^{3}\) et \(y=(a+b)^{3}\) où \(a ∈ I R\) et \(b ∈ I R^{+}\).
b) \(x=a\) et \(y=\frac{a+b}{2}\) où \(a≤ b\)
c) \(x=\frac{1}{a+1}\) et \(y=\frac{1}{a+2} \) où a est un réel positif
Exercice 13:
Ranger par ordre croissant chacune des listes suivantes:
a) \(\frac{23}{97} ; \frac{97}{23} ; 1\)
b) \(\frac{35}{36} ; \frac{50}{37} ; \frac{33}{36} ; \frac{49}{37}\).
c) \(\frac{8}{5} ; \frac{52}{54} ; \frac{6}{5} ; \frac{48}{54}\)
Exercice 14:
Soient a et b deux nombres réels tels que \(a^{2}+b^{2}=2\)
a) Montrer que \((a+b)^{2}=2(1+a b)\)
b) Sachant que a et b sont strictement positifs, déduire de ce qui précède que \(a+b>\sqrt{2}\).
Exercice 15:
a, b et c sont des nombres réels inférieurs ou égaux à 1 .
a) Montrer que \(a b c≤ b c, a b c≤ c a \) et \(a b c≤ a b\).
b) En déduire que \(3 a b c≤ a b+b c+c a\).
Exercice 16:
Ranger par ordre croissant les nombres suivants:
\(-\sqrt{21} ;-3 \sqrt{21} ; 0 ; 2 \sqrt{21} ; 49 \sqrt{3}\)
Exercice 17:
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels strictement positifs et distincts. Donner le signe du quotient :
\(\frac{x-y}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} (x≠ y)\)
Exercice 18:
Montrer que \(: \sqrt{2}-\frac{655857}{470832}<10^{-1}\)
Valeur absolue – Distance
Exercice 19:
Calculer la distance entre les deux nombres dans chaque cas:
a) 5,2 et 7
b) \(-\frac{37}{18}\) et \(\frac{11}{6}\)
c) 0,3 et -0,33
d) -5,3 et -7 .
Exercice 20:
Calculer les valeurs exactes des réels suivants:
a) \(|π-4|\)
b) \(|3-π|\)
c) \(|-π \sqrt{2}-1|\)
d) \(|2^{-3}|\)
Exercice 21:
Parmi les nombres suivants,
déterminer le plus proche du nombre 1 :
1,1 ; \frac{17}{18} ; 0,99 ; \frac{13}{12} ; \frac{28}{27}
Exercice 22:
Soient \(x\) et y deux nombres réels. On pose:
\(A=|x|-|-2-y|\)\(B=|x|+|-2-y|\)
\(C=|x|+x\)\(D=|x(2+y)|-|x||y+2|\)
\(E=-2-y+|2+y|\) \(F=2+y-|y+2|\)Calculer A,B, C, D,E et F.dans chaque cas suivant:a) \(x=-2\) et \(y=2\)
b) \(x=\sqrt{3} \) et \(y=-2+\sqrt{3}\)
Exercice 23:
Simplifier les expressions suivantes selon le signe de ce qui est « intérieur » à la valeur absolue.
a) \(x+|x|\)
b) \(3 x-3|x|\)
c) \(|\frac{x}{3}|-\frac{x}{3}\)
d) \(\frac{|-7 a|}{21}-\frac{a}{3}\)
e) \(\frac{|x y|}{6}\)f) } \(\frac{\sqrt{(y-1)^{2}}}{y-1}\) où y≠ 1
Exercice 24:
Sur une droite graduée, exprimer ce qui suit en utilisant des distances, puis résoudre géométriquement les équations suivantes :
a) \(|x|=1\) ;
b) \(|x-2|=1\)
c) \(|3-x|=2\)
d) \(|x+2|=3\)
e) \(|2 x-3|=6\)
Exercice 25:
Sur une droite graduée, donner une interprétation géométrique de chaque nombre suivant:
a) \(|x+y|\);
b) \(2|x-y| ;\) c) \(|x-1|+|x+1|\)
d) \(|x|+|x+2|\)
e) \(2|x-3|+3|x+1|\)
Exercice 26:
Soient a et b deux nombres réels tels que:
\(a ≥-2 ; b≤ -1 ; a-b=6\)
1) Calculer
\(A=\sqrt{(a+2)^{2}}+\sqrt{(b+1)^{2}}\)
2) Montrer que \(a≤ 5\) et \(-8≤ b\).
3) Déterminer la valeur numérique de l’expression B telle que :
\(B=|a+b-4|+|a+b+10|\)
Intervalles
Exercice 27:
Sur une droite graduée, représenter les nombres réels \(x\)
qui vérifient l’inégalité proposée dans chacun des cas suivants:
a) \(x ≥ 2\)
b) \(x<\frac{1}{2}\)
c) \(x>3,5\)
d) \(x≤ 10^{-2}\)
e) \(x<-0,1\)
f) \(x<0\)
Exercice 28:
Déterminer, dans chacun des cas suivants, l’intervalle auquel appartient le nombre réel a :
a) \(a ≥ 5\)
b) \(a≤ -7\)
c) \(a>\frac{3}{5}\)
d) \(a ≥ 0\)
e) \(a>\sqrt{2}\)
f) \(a<-1-\sqrt{3}\)
Exercice 29:
Ecrire l’intervalle ou la réunion d’intervalles
auxquels appartient le réel \(x\) dans chacun des cas suivants:
a) \(-5≤ x≤ -3\)
b) \(x<7\) ou \(x>10\)
c) \(x ≥ 0\) et \(x≤ 7,5\)
d) \(x=-2\) ou \(x ≥ 3\)
e) \(x≠ 0\) et \(-2<x<1 ;\) f) \(x≤ 1\) et \(x>-3\)
Exercice 30:
Ecrire, sous forme d’intervalle ou d’une réunion d’intervalles,
l’ensemble auquel appartient le réel t dans chaque cas:
a) \(-1<t<7\)
b) \(3 ≥ t>-2\)
c) \(t<-1\) et \(t<1\)
d) \(t>+1\) ou \(t<-1\)
Exercice 31:
Donner les inégalités qui déterminent l’appartenance
d’un réel à chacun des intervalles suivants:
a) \([-3 ; 2]\)
b) \(]-2 ; 0]\)
c) \(]-∞; [3\)
d) \(] \sqrt{2} ;+∞\)
e) \(]-∞;-0,1[\)f) \([5 ; \frac{13}{2}[\)
Inégalités Encadrements
Exercice 32:
Représenter les ensembles suivants sur une droite graduée,
et préciser ceux qui représentent des intervalles.
a) \([-8;2] ∩[-5;5]\)
b) \([-\frac{3}{2} ; 3[∪[1;4[\)c) \([4 ;+∞[∩]-4 ; 5[\)d) \(]-∞ ;-3[∩]-6 ;+∞[\)
e) \([-2 ; 5] ∪[8 ;+∞[\)
f) \([-1 ;+∞[∩[6 ;+∞[\)
g) \([6 ;+∞[∩[-3 ; 19[∩]-∞;-1[\)
Exercice 33:
Déterminer un nombre rationnel r compris entre a et b dans chacun des cas suivants:
a) \(a=1,1\) et \(b=1,2\)
b) \(a=π \) et \(b=\frac{22}{7}\)
c) \(a=\frac{1}{5}\) et \(b=\frac{1}{3}\)
d) \(a=\frac{1}{3} \) et \(b=\frac{1}{2}\)
e) \(a=-\frac{1}{2}\) et \(b=-\frac{1}{3}\)
f) \(a=2-\sqrt{2}\) et \(b=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Exercice 34:
On sait que \(:-6≤ x≤ 5\) et \(-2≤ y≤ 1\)
Donner un encadrement de \(x-y\).
Exercice 35:
a et b sont deux nombres réels tels que :
\(2≤ a≤ 4 \text { et }-3≤ b≤ 3\)
Donner un encadrement de \(b-a\).
Exercice 36:
On sait que \(: 3≤ x≤ 4\) et \(2≤ y≤ 5\)
Trouver un encadrement de chacun des réels :
\(x+y ; x-y ; 2 x-3 y ;-4 x+3 y-5\)
Exercice 37:
(x\) et y sont deux nombres réels tels que :
\(-3≤ x≤ 2 \text { et }-7≤ y≤ 1\)
Trouver un encadrement de chacun des réels :
\(x+2 y ;-x-y ; 5 x+3 y ;-5 x+6 y-8\)
Exercice 38:
On sait que :
\(1,01≤ x≤ 1,02 et -4≤ y≤ -3,8\)
a) Donner un encadrement de \(-y\).
b) Encadrer \(x y\).
Exercice 39:
On sait que \(:-2,19≤ x≤ -2,14\) et \(-0,36≤ y≤ -0,34\).
a) Donner un encadrement de chacun des réels \(-x\) et \(-y\).
b) Donner un encadrement de \(xy\).
Exercice 40:
On sait que \(3≤ x≤ 3,5\) et \(-0,4≤ y≤ 0,2\)
a) Donner un encadrement du réel \(xy\)
dans chacun des deux cas suivants:
\(-0,4≤ y≤ 0\) et \(0≤ y≤ 2\)
b) Trouver alors un encadrement du réel \(xy\).
Exercice 41:
On sait que : \(4≤ x≤ 8\) et \(6≤ y≤ 11\).
Donner un encadrement de chacun des deux réels
\(\frac{y}{x}\) et \(\frac{x}{v}\).
Exercice 42:
Si \(x\) est un nombre réel tel que \(-7<x<5\),
Déterminer l’intervalle ou la réunion d’intervalles
auquel appartient \(x^{2}\) et \(\frac{1}{x} (x≠ 0)\)
Exercice 43:
On considère deux nombres réels a et b tels que :
\(\frac{1}{2}≤ a≤ \frac{3}{2}\) et \(0≤ b≤ 3\)
a) Encadrer les deux réels \(2 a\) et \(\frac{1}{2 a}\).
b) Encadrer \(b-2 a\) et en déduire un encadrement de \((b-2 a)^{2}\)
Exercice 44:
Soient a et b deux réels vérifiant:
\(0≤ a≤ 2 \text { et }-4≤ b≤ 1\)
Montrer que \(:-20≤ 2 a^{2}+b^{2}+2 a-4 b≤ 28\)
Exercice 45:
On sait que: \(-2<a<3\) et \(-4<b<1\)
Montrer que: \(-5≤ a^{2}+b^{2}-2 a+4 b<13\)
Exercice 46:
On sait que : \(1≤ x≤ 2\) et \(\frac{1}{2}≤ y≤ \frac{3}{2}\)
On pose \(: E=x^{2}-y^{2}+x+y\)
a) Donner un encadrement du réel E.
b) Vérifier que: \(E=(x+y)(x-y+1)\)
En déduire un autre encadrement de E.
c) En déduire que: \(\frac{3}{4}≤ E≤ \frac{29}{4}\)
On sait que \(:-3≤ x≤ 2\) et \(-1≤ y≤ 3\)
Montrer que \(:-33≤ x^{2}-3 y^{2}-5 x≤ 24\)
Exercice 47:
On sait que \(:-3≤ x≤ 2\) et \(-1≤ y≤ 3\)
Montrer que \(:-33≤ x^{2}-3 y^{2}-5 x≤ 24\)
Exercice 48:
On donne: \(-2<a<-1\) et \(-1<b<2\)
et on pose \(E=4 a^{2}+4 a-b^{2}+2 b-3\)
a) Donner un encadrement de E.
b) Vérifier que: \(E=(2 a+1)^{2}-(b-1)^{2}-3\)
c) Donner un autre encadrement de E.
d) Comparer les amplitudes des deux encadrements précédents.
Exercice 49:
Soient \(x\), \(y\) deux nombres réels tels que :\(2,20<x<2,21 \text { et } 3,44<y<3,45\)
Comparer les deux réels: \(3 y-x+2\) et \(3 x-y+7\)
Approximations
Exercice 50:
Trouver un encadrement du nombre \(\frac{1}{7}\) d’amplitude 0,1,
et un autre encadrement d’amplitude \(0,05\)
Exercice 51:
Trouver un encadrement du nombre \(\sqrt{2}\) d’amplitude 1,
et un autre encadrement d’amplitude 0,1.
Exercice 52:
Trouver un encadrement du nombre \(\sqrt{131}\) d’amplitude 1, et un autre encadrement d’amplitude 0,5
Exercice 53:
Montrer, dans chaque cas, que
A est une valeur approchée du nombre \(x\) à \(r\) près
a) \(x=\frac{7}{6} ; A=1,1666 ; r=5×10^{-4}\)
b) \(x=\frac{1}{3} ; A=0,4 ; r=8×10^{-2}\)
Exercice 54:
On sait que \(: 0,1<x<0,3\).
a) Donner un encadrement de \(x^{2}\) ?
b) En déduire que 0,05 est une valeur approchée de \(x^{2}\) à 0,04 près.
Exercice 55:
a) Comparer \(2 \sqrt{7}\) et \(3 \sqrt{3}\)
b) Développer \((3 \sqrt{3}-2 \sqrt{7})^{2}\)
c) Soit \(a=\sqrt{55-12 \sqrt{21}}\). Simplifier a.
d) Sachant que \(2,6<\sqrt{7}<2,7\) et \(1,7<\sqrt{3}<1,8\)
donner des approximations de a à 0,5 près par défaut et par excès.
Exercice 56:
Donner une valeur approchée de \(\frac{25}{7}\) à \(10^{-10}\) près
et une valeur approchée de \(\frac{25}{35}\) à \(10^{-10}\) près.
Exercice 57:
Déterminer l’encadrement correspondant à chacun des propositions suivantes:
a) 0,05 est une valeur approchée du réel \(x\) à \(10^{-2}\) près.
b) -0,02 est une valeur approchée du réel \(t\) à \(10^{-2}\) près par défaut
Exercice 58:
Est-ce que \(\frac{22}{7}\) est une valeur approchée du nombre \(π\) à \(2×10^{-8} ?\)
Exercice 59:
\(x\) est un nombre réel tel que \(|\sqrt{5}-3 x|<10^{-3}\). Sachant que \(2,236<\sqrt{5}<2,237,\) trouver un encadrement du réel \(x\), par deux nombres décimaux, et dont l’amplitude est \(10^{-3}\).
Exercice 60:
\(x\) est un nombre réel tel que \(1,9≤ x≤ 2,1\).
a) Donner un encadrement du réel \(x-2\)
b) Montrer que\(2 x-2\) est une valeur approchée du réel \(x^{2}-2 x+2\) à 0,01 près.
Exercice 61:
On sait que : \(8,54384≤ t≤ 8,54388\) Donner des approximations par défaut et par excès des réels t
et à \(10^{-2}, 10^{-3}\) et \(10^{-4}\) près.