Limite des Suites Numérique:
Exercice 1:
\((u_{n})\),\((v_{n}\) et \((w_{n})\) suites définies par :
\(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{2+n}}\)
\(v_{n}=\frac{3 n+1}{n-1}\)
\(w_{n}=n \sqrt{n}\)
Montrer en utilisant la définition que :
\(\lim _{n ➝+∞} u_{n}=0\)
\(\lim _{n ➝+∞} v_{n}=3\)
\(\lim _{n ➝+∞} w_{n}=+∞\)
Exercice 2:
Calculer les limites suivantes :\(\lim _{n ➝+∞}(n^{3}-5 n^{2}-6 n+7\)
\(\lim _{n ➝+∞} \frac{3 n^{2}-6 n^{4}}{2 n^{2}+5}\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{3 n^{2}-5 n+2}{4-n^{3}}\)
\(\lim _{n ➝+∞} \frac{2-8 n^{2}+5 n^{3}}{7 n^{3}-3}\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{3 n^{2}-5 n+2}{4-n^{3}}\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{2-8 n^{2}+5 n^{3}}{7 n^{3}-3}\)\(\lim _{n ➝+∞}(\sqrt[3]{n^{3}-n+4}-n\)
\(\lim _{n ➝+∞} Arctan(\sqrt[3]{n+6})\)\(\lim _{n ➝+∞}(n^{2}-n-\sqrt[3]{n}+1\)
\(\lim _{n ➝+∞}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1})\)\(\lim _{n ➝+∞}(n^{\frac{2}{3}}-n^{-\frac{1}{3}})\)\(\lim _{n ➝+∞} \frac{n^{\frac{3}{5}}+n^{\frac{6}{7}}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{4}{9}}}\)
Exercice 3:
Trouver la limite de chacune des suites suivantes:
\(a_{n}=(-\frac{1}{2})^{n}+(\frac{3}{2})^{n}\)\(b_{n}=(\frac{5}{3})^{n}+(\frac{2}{9})^{n}\)\(c_{n}=\frac{7^{n}-5^{n}}{3^{n}}\)
\(d_{n}=\frac{2^{n}-1}{7^{n}+1}\) \(e_{n}=\frac{2^{n}-5^{n}}{4^{n}+9^{n}}\)
\(u_{n}=(\frac{7}{3})^{n}-(2017)^{n}\)
\(v_{n}=\frac{4^{n}-(-2)^{n}}{3^{n}+(-2)^{n}}\)
\(w_{n}=\sqrt[5]{2^{n}}-\sqrt[3]{2^{n}}\) \(x_{n}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{3^{2 n-1}}\)
Critère de Convergence:
Exercice 4:
\((u_{n})\) suite numérique définie par:
\((u_{n})_{n ≥ 2}\) suite numérique définie par:
\(u_{n}=3+\frac{\sqrt{n}}{n+(-1)^{n}}\)
1) Établir que pour tout n ≥ 2:
\(\frac{\sqrt{n}}{n+1}≤ u_{n}-3≤ \frac{\sqrt{n}}{n-1}\)
2) En déduire \(\lim u_{n}\)
Exercice 5:
O pose \((u_{n})_{n ≥ 1}\) la suite définie par:
\(u_{n}=\frac{\cos (3 n)}{\sqrt{n}}\)
1) Vérifier que:
∀n ≥ 1, \(|u_{n}|≤ \frac{1}{\sqrt{n}}\)
2) En déduire la limite de la suite \((u_{n})_{n≥1}\)
Exercice 6:
Calculer la limite de :
\(a_{n}=(\frac{3}{4})^{n} \sin (n)\)
\(b_{n}=\frac{n-\sin n}{n+\sin n}\)\(c_{n}=n+1-\sin (2n)\)
\(d_{n}=2(-1)^{n}+4 n^{2}+3\)\(u_{n}=\frac{3 n}{5+\cos n}\)
\(v_{n}=\frac{n-\cos n}{n^{2}+2 n}\)
\(x_{n}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{3^{2 n-1}}\)
\(y_{n}=\frac{3 n+E(n)}{n+5}\)
\(z_{n}=\frac{1}{n(3-\sin n)}\)
Exercice 7:
\((u_{n})_{n ≥ 1}\) est une suite numérique définie par:
\(u_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+…+\frac{n}{n^{2}+n}\)
1) Montrer que:
∀n ∈IN* \( \frac{n}{n+1}≤ u_{n}≤ \frac{n^{2}}{n^{2}+1}\)
2) En déduire \(\lim u_{n}\).
Exercice 8:
\((u_{n})\) suite numérique définie par:
\(u_{0}=\frac{1}{2}\)
\(u_{n+1}=\frac{2 u_{n}+1}{u_{n}+1}\) pour tout n∈IN1) Montrer par récurrence que:
pour tout n∈IN*: \(1≤ u_{n}≤ 2\)2) Montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante.3) En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente.
Exercice 9:
\((u_{n})\) suite numérique définie par:
\(u_{0}=2\)
\(u_{n+1}=\frac{1}{2}(1+u_{n})^{2}\) pour tout n∈IN1)
Montrer que:
la suite \((u_{n})\) est croissante.2) a) Montrer que:
\(∀n∈IN u_{n+1}-u_{n} ≥ \frac{5}{2}\)b) En déduire que:
\(∀n∈IN u_{n} ≥ 2+\frac{5 n}{2}\)Préciser alors la limite de la suite \((u_{n})\)
Exercice 10:
pour tout n∈IN*
On considère la suite \((u_{n})_{n ≥ 1}\) indéfinie par:
\(u_{n}=1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+…+\frac{1}{n^{3}}\)
1) Montrer que la suite \((u_{n})_{n≥1}\) est croissante.
2) Montrer que pour tout \(n ∈IN: u_{n}≤ 2-\frac{1}{n}\)
3) En déduire que la suite \((u_{n})_{n ≥ 1}\) est convergente
Exercice 11:
\(u_{0}=1\)
\(u_{n+1}=\sqrt[3]{3 u_{n}+1}-1\) pour tout n∈IN
1) Montrer que pour tout n∈IN: \(0≤ u_{n}≤ 1\)
2) Étudier la monotonie de la suite \((u_{n})\)
3) En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente.
Suites de Type: \(U_{n+1}=a U_{a}+b\):
Exercice 12:
\(u_{0}=1\)
\(u_{n+1}=\frac{2}{3} u_{n}+\frac{2}{3}\) pour tout \(n ∈IN\)
On pose: \(v_{n}=2-u_{n}\) pour tout \(n ∈IN\)
1) Montrer que \((v_{n})\) est géométrique et déterminer saraison et son premier terme.
2) a) Déterminer \(v_{n}\) et \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
b) Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\)
3) On pose pour tout \(n ∈IN: S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\)
Exprimer \(S_{n}\) en fonction de \(n .\)
Préciser \(\lim _{n arrow+∞} S_{n}\)
Suites de Type: \(U_{n}=f(n)\)
Exercice 13:
Déterminer la limite de chacune des suites sulvantes:
\(a_{n}=\sqrt{\frac{3 n-4}{2 n+1}}\)
\(b_{n}=n^{2} \sin (\frac{1}{n})\)
\(c_{n}=\sqrt{3^{n}-2^{n}}\)\(u_{n}=\cos (\frac{n \pi-3}{2 n+1})\)
\(v_{n}=4^{n}(1-\cos (-\frac{1}{2})^{n})\)
Exercice 14:
1) Montre que pour tout \(x ∈] 0,+∞[\)
\(Arctan(\frac{1}{1+x+x^{2}})=Arctan(\frac{1}{x})-Arctan(\frac{1}{1+x})\)
2) Posons pour tout \(n ∈IN^{*}\) :
\(u_{n}=Arctan(\frac{1}{1+n+n^{2}})\)
\(S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}\)
a) Calculer \(\lim u_{n}\)
b) Exprimer \(S_{n}\) en fonction de \(n\). Préciser \(\lim S_{n}\).
Suites de Type: \(U_{n+1}=f(U_{n})\)
Exercice 15:
\(f\) la fonction définie sur \(I=[0; \frac{1}{4}]\) par:
\(f(x)=x^{2}+\frac{3}{4}x\)
1) Déterminer \(f(I)\).
2) Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=\frac{1}{5}\) et \(u_{n+1}=f(u_{n})\) pour tout \(n ∈IN\)
a) Montrer que :
∀n ∈IN : \(0≤ u_{n}≤ \frac{1}{4}\)
b) Étudier la monotonie de la suite \((u_{n})\).
c) En déduire que \((u_{n})\) est convergente.
d) Calculer la limite de la suite \((u_{n})\).
Exercice 16:
\(g\) la fonction définie sur \(I=] 1 ;+∞[\) par :
g(x)=\frac{x^{2}-3 x+6}{x-1}
1) Montrer que pour tout \(x ∈ I: g(x) ≥ 3\)
2) On considère la suite numérique \((u_{n})\) définie par\(u_{0}=5\) et \(u_{n+1}=g(u_{n})\) pour tout \(n ∈IN\)
a) Montrer que : \((∀n ∈IN^{*}) u_{n} ≥ 3\)
b) Montrer que la suite \((u_{n})\) est monotone.
c) En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente
puis calculer sa limite.
Exercice 17:
\(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2}\) pour tout \(n ∈IN\)
1) Montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante.
2) Montrer par l’absurde que \((u_{n})\) n’est pas majorée.
3) Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\)
Suites Adjacentes:
Exercice 18:
Dans chacun des cas suivants, montrer que les suites\((u_{n}) et (v_{n})\) sont adjacentes:
1) \(u_{n}=\frac{2 n}{n+2}\)
\(v_{n}=2+\frac{1}{n !}\)
2) \(u_{n}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+…+\frac{1}{n !}\)
\(v_{n}=u_{n}+\frac{1}{n, n !}\)
3) \(u_{n}=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{2}(k+1)^{2}}\)
\(v_{n}=u_{n}+\frac{1}{3 n^{2}}\)
Exercice 19:
\((u_{n})_{n≥1}\) et \((v_{n})_{n≥1}\) deux suites définies par:
\(u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+…+\frac{1}{n^{2}}\)
\(v_{n}=u_{n}+\frac{1}{n}\)
Montrer que:
\((u_{n})_{n≥1}\) et \((v_{n})_{n≥1}\) sont convergentes et on la même limite.
Exercice 20:
On considère les suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\) définies par:
\(u_{0}=a \)
\(u_{n+1}=\sqrt{u_{n} v_{n}}, n ∈IN\)
\(v_{0}=2a\) \(v_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}, n ∈IN\)
\(a\) est un réel strictement positif.
1) Montrer que:
pour tout n ∈IN: \(0<u_{n}<v_{n}\)
2) Montrer que:
la suite \((u_{n})\) est croissante et que la suite \((v_{n})\) est décroissante.
3) Montrer que:
les suites \((u_{n}) et (v_{n})\) sont adjacentes.
Exercice 21:
\((u_{n})_{n≥2}\) et \((v_{n})_{n≥2}\) deux suites définies par:
\(u_{n}=2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}\)
\(v_{n}=2^{n+1} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}\)
Montrer que:
\((u_{n})_{n ≥ 2}\) et \((v_{n})_{n 22}\) sont adjacentes.