1) Ensemble de définition d’une fonction
Soit \(f\) une fonction numérique
et \(D_{f}\) son ensemble de définition
\(D_{f}={x ∈IR / f(x) existe }\)
Exercice 1:
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\) dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=x^{2}+3 x-\frac{1}{2}\)
2) \(f(x)=\sqrt{x^{2}+x-6}\)
3) \(f(x)=\frac{x}{x^{2}+3 x-4}\)
4) \(f(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{-x^{2}+5 x-6}}\)
5)\(f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{2 x-3}}\)
6) \(f(x)=\frac{3 x^{2}-x+1}{\sqrt{x+2}-3}\)
2) Représentation graphique d’une fonction numérique
La courbe représentative (C) ou (représentation graphique)
d’une fonction numérique \(f\) à variable réelle \(x\) dans le plan
\((C)=\{M(x, y) ∈ P / x ∈ D_{f}.\) et \(y=f(x)\}\)
(P) muni d’un repére \((O, \vec{i}, \vec{j})\) est l’ensemble des points \(M(x, y)\) tels que:
\(x ∈ D_{f}\) et \(y=f(x)\)
* On dit aussi que la courbe \((C)\) a pour équation \(y=f(x)\)
dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Exercice 2:
Soit la fonction \(f\) définie par sa représentation graphique (C)
dans un plan \((P)\) muni d’un repère orthonormé \((0, \vec{i}, \vec{j})\)
ci-dessous:
Répondre aux questions suivantes en utilisant une lecture graphique :
1) Donner l’ensemble de définition de la fonction \(f\).
2) Donner les images des réels -4,-2,2 et 5 par \(f\).
3) Donner s’ils existent les antécédents de 3 par f.
4) Résoudre I’équation \(f(x)=0\) et l’inéquation \(f(x)≤ 0\).
5) Donner les coordonnées du point \(E\) l’intersection de (C) avec I’axe des ordonnées.
6) Déterminer le nombre de solutions de l’équation:
\(f(x)=2\).
3) Parité d’une fonction
Soit \(f\) une fonction numérique et \(D_{f}\) son ensemble de définition
* fonction paire :
\((f\) est une fonction paire
↔️ \(∀x ∈ D_{f},(-x ∈ D_{f} et f(-x)=f(x)\)
* fonction impaire:
\((f\) est une fonction impaire
↔️ ∀x ∈ D_{f}),-x ∈ D_{f} et f(-x)=-f(x)\)
Exercice 3:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=x^{4}+x^{2}\)
Montrer que \(f\) est paire.
Exercice 4:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}\)
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est impaire.
Exercice 5:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur [-5,5]
et dont la représentation graphique sur [0,5] est tracée sur la figure ci-dessous
Achever le tracé de (C) dans les deux cas suivants:1) \(f\) est paire.
2) \(f\) est impaire.
4) Fonction majorée -fonction minorée-fonction bornée.
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un ensemble \(D\).
* fonction majorée:
\(f\) est une fonction majorée sur \(D,\) s’il existe un nombre réel \(M\) tel que:
pour tout \(x ∈ D, f(x)≤ M\).
* fonction minorée:
\(f\) est une fonction minorée sur \(D\) s’il existe un nombre réel \(m\) tel
que :
pour tout \(x ∈ D, f(x) ≥ m\).
* fonction bornée:
\(f\) est une fonction bornée sur \(D\); si elle est majorée et minorée sur \(D\)
\(f\) est une fonction bornée sur \(D\), s’ils existent deux réels \(m\) et \(M\)
tels que : pour tout \(x ∈ D, m≤ f(x)≤ M\).
Exercice 6:
Soit \(f\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{x^{2}+2 x}{(x+1)^{2}}\)
1) Déterminer \(D\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est majorée par le nombre 1 sur \(D\).
Exercice 7:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}\).
Montrer que \(f\) est minorée sur IR par le nombre \(\frac{1}{2}\).
Exercice 8:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\)
Montrer que la fonction \(f\) est bornée sur IR.
5) Extremums d’une fonction numérique d’une variable réelle.
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle \(I\);
et \(a\) un élément de 1 .
* f(a)\) est un maximum de \(f\) sur l’intervalle \(I\)
Si pour tout x de } I, f(x)≤ f(a)
Si \(f\) admet un \(\begin{array}{ll}\text { si pour tout } x \text { de } I, f(x)≤ f(a) & \text { maximum ou un } \\ \text { maximumet un } & \end{array}\)
* f(a) est un minimum de \(f\) sur l’intervalle \(I\),
si pour tout x de I, f(x) ≥ f(a)\).
Exercice 9:
Soit \(f\) une fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+x+1}\)
1) Déterminer \(D\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f(1)\) est un minimum de \(f\) sur IR.
3) Montrer que \(f(-1)\) est un maximum de \(f\) sur IR.
6) Comparaison de deux fonctions numériques de variable réelle \(x\)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques définies sur un intervalle \(I\).
* \(f\) et \(g\) sont égales sur \(I\) si et seulement si \((∀x ∈ I) ; f(x)=g(x)\)
* f<g signifie que \(:(∀x ∈ I) ; f(x)<g(x)\)
* f>g signifie que : \((∀x ∈ l) ; f(x)>g(x)\)
Exercice 10:
Comparer les deux fonctions f et g d’une variable réelle x définies par:
f(x)=x+3 et g(x)=\(\frac{x^{3}+5 x^{2}+7 x+3}{x^{2}+2 x}\)
7) Monotonie d’une fonction numérique d’une variable réelle \(x\)
Soient \(f\) une fonction numérique et I un intervalle inclus dans
I’ensemble de définition de \(f\).
* \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si
\(∀x_{1}, x_{2}) ∈ I^{2} ; x_{1}<x_{2} ⇒ f(x_{1})≤ f(x_{2}\)
* \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si et seulement si :
\(∀(x_{1}, x_{2}) ∈ I^{2} ; x_{1}<x_{2}\) ⇒ f(x_{1})<f(x_{2}\)
* \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si :
\(∀(x_{1}, x_{2}) ∈ I^{2} ; x_{1}<x_{2} ⇒ f(x_{1}) ≥ f(x_{2}\)
* \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si et seulement si:
\(∀(x_{1}, x_{2}) ∈ l^{2} ; x_{1}<x_{2} ⇒ f(x_{1})>f(x_{2})\)
* \(f\) est constante sur \(I\) si et seulement si
\(∀ (x_{1}, x_{2}) ∈ l^{2} ; x_{1}≠x_{2} ⇒ f(x_{1})=f(x_{2}\)
Remarque : On peut étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur \(I\)
en utilisant le taux de variations \(\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\)
avec \(x_{1}\) et \(x_{2}\) deux éléments différents de \(I\).
Exercice 11:
On considère la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\sqrt{x^{2}-4}\)
1) Déterminer \(D\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Etudier la monotonie de \(f\) sur \(D\).
Exercice 12:
Dresser le tableau de variations de la fonction dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=x^{2}+4 x+1\)
3) \(f(x)=\frac{x+2}{2 x+1}\)
2) \(f(x)=-4 x^{2}-4 x+1\)
4) \(f(x)=\frac{3 x-4}{x-1}\)
Exercice 13:
Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) d’une variable
réelle \(x\) dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=-2 x^{3}\)
3) \(f(x)=\sqrt{x+2}\)
2) \(f(x)=\frac{x^{3}}{3}\)
4) \(f(x)=\sqrt{x-3}\)
Exercice 14:
Soit \(f\) une fonction numérique paire définie sur I’intervalle [-7,7]
Son tableau de variations sur [0,7] est donné ci-dessous:
Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle [-7,7]
Exercice 15:
Soit \(f\) une fonction numérique impaire définie sur l’intervalle [-4,4]
Son tableau de variations sur [0,4] est donné ci-dessous:
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur [-4,4]
8) Composée de deux fonctions numériques
Soient \(f\) et \(q\) deux fonctions numériques définies respectivement
sur les intervalles \(I\) et \(J\) tels que: \(f(I)⊂ J\).
* \(x ∈ D_{gof} ⇔(x ∈ D_{f} et f(x) ∈ D_{g})\)
Exercice 16:
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques définies sur IR par:
\(f(x)=x^{2}\) et \(g(x)=2 x-1\)
1) Calculer les images des réels 0,1 et 2 par la fonction \(f\).
2) Calculer \(g(f(0)) ; g(f(1))\) et \(g(f(2))\).
3) Déterminer gof(x) pour tout réel \(x\).
Exercice 17:
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques d’une variable réelle \(x\) définies par:
\(f(x)=\sqrt{x}\) et \(g(x)=\frac{x+2}{2 x-1}\)
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f,g\) et fog.
2) Déterminer fog(x) pour tout \(x ∈ D_{fog }\).
Exercice 18:
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques d’une variable réelle \(x\) définies par:
\(f(x)=x^{2}-4 x+5\) et \(g(x)=\frac{-x}{x+2}\)
1) Dresser le tableau de variations des fonctions \(f\) et \(g\).
2) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction gof.
3) Etudier la monotonie de la fonction gof sur les deux intervalles [2,+∞[ et ]-∞,2].