Généralité Sur Les Fonctions 1 Bac SM Résumé Du Cours

1) Ensemble de définition d’une fonction

Soit $f$ une fonction numérique
et $D_{f}$ son ensemble de définition
$D_{f} = x \in I R / f (x) e x i s t e$

Exercice 1:

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ d’une variable réelle $x$ dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = x^{2} + 3 x - \frac{1}{2}$
2) $f (x) = \sqrt{x^{2} + x - 6}$
3) $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3 x - 4}$
4) $f (x) = \frac{2 x - 1}{\sqrt{- x^{2} + 5 x - 6}}$
5) $f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{2 x - 3}}$
6) $f (x) = \frac{3 x^{2} - x + 1}{\sqrt{x + 2} - 3}$

2) Représentation graphique d’une fonction numérique

La courbe représentative (C) ou (représentation graphique)
d’une fonction numérique $f$ à variable réelle $x$ dans le plan
$(C) = {M (x, y) \in P / x \in D_{f} .$ et $y = f (x)}$
(P) muni d’un repére $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est l’ensemble des points $M (x, y)$ tels que:
$x \in D_{f}$ et $y = f (x)$
* On dit aussi que la courbe $(C)$ a pour équation $y = f (x)$
dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Exercice 2:

Soit la fonction $f$ définie par sa représentation graphique (C)
dans un plan $(P)$ muni d’un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$
ci-dessous:

Répondre aux questions suivantes en utilisant une lecture graphique :
1) Donner l’ensemble de définition de la fonction $f$ .
2) Donner les images des réels -4,-2,2 et 5 par $f$ .
3) Donner s’ils existent les antécédents de 3 par f.
4) Résoudre I’équation $f (x) = 0$ et l’inéquation $f (x) \leq 0$ .
5) Donner les coordonnées du point $E$ l’intersection de (C) avec I’axe des ordonnées.
6) Déterminer le nombre de solutions de l’équation:
$f (x) = 2$ .

3) Parité d’une fonction

Soit $f$ une fonction numérique et $D_{f}$ son ensemble de définition
* fonction paire :
$(f$ est une fonction paire
↔️ $\forall x \in D_{f}, (- x \in D_{f} e t f (- x) = f (x)$
* fonction impaire:
$(f$ est une fonction impaire
↔️ ∀x ∈ D_{f}),-x ∈ D_{f} et f(-x)=-f(x)\)

Exercice 3:

Soit $f$ la fonction d’une variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = x^{4} + x^{2}$
Montrer que $f$ est paire.

Exercice 4:

Soit $f$ la fonction d’une variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$
1) Déterminer l’ensemble de définition de $f$ .
2) Montrer que $f$ est impaire.

Exercice 5:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur [-5,5]
et dont la représentation graphique sur [0,5] est tracée sur la figure ci-dessous

Achever le tracé de (C) dans les deux cas suivants:1) $f$ est paire.
2) $f$ est impaire.

4) Fonction majorée -fonction minorée-fonction bornée.

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un ensemble $D$ .
* fonction majorée:
$f$ est une fonction majorée sur $D,$ s’il existe un nombre réel $M$ tel que:
pour tout $x \in D, f (x) \leq M$ .
* fonction minorée:
$f$ est une fonction minorée sur $D$ s’il existe un nombre réel $m$ tel
que :
pour tout $x \in D, f (x) \geq m$ .
* fonction bornée:
$f$ est une fonction bornée sur $D$ ; si elle est majorée et minorée sur $D$
$f$ est une fonction bornée sur $D$ , s’ils existent deux réels $m$ et $M$
tels que : pour tout $x \in D, m \leq f (x) \leq M$ .

Exercice 6:

Soit $f$ la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1)^{2}}$
1) Déterminer $D$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) Montrer que $f$ est majorée par le nombre 1 sur $D$ .

Exercice 7:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1}$ .
Montrer que $f$ est minorée sur IR par le nombre $\frac{1}{2}$ .

Exercice 8:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$
Montrer que la fonction $f$ est bornée sur IR.

5) Extremums d’une fonction numérique d’une variable réelle.

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ ;
et $a$ un élément de 1 .
* f(a)\) est un maximum de $f$ sur l’intervalle $I$
Si pour tout x de } I, f(x)≤ f(a)
Si $f$ admet un $\begin{array}{ll} si pour tout x de I, f (x) \leq f (a) & maximum ou un \\ maximumet un \end{array}$
* f(a) est un minimum de $f$ sur l’intervalle $I$ ,
si pour tout x de I, f(x) ≥ f(a)\).

Exercice 9:

Soit $f$ une fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x + 1}$
1) Déterminer $D$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) Montrer que $f (1)$ est un minimum de $f$ sur IR.
3) Montrer que $f (- 1)$ est un maximum de $f$ sur IR.

6) Comparaison de deux fonctions numériques de variable réelle $x$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies sur un intervalle $I$ .
* $f$ et $g$ sont égales sur $I$ si et seulement si $(\forall x \in I); f (x) = g (x)$
* f<g signifie que $: (\forall x \in I); f (x) < g (x)$
* f>g signifie que : $(\forall x \in l); f (x) > g (x)$

Exercice 10:

Comparer les deux fonctions f et g d’une variable réelle x définies par:
f(x)=x+3 et g(x)= $\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3}{x^{2} + 2 x}$

7) Monotonie d’une fonction numérique d’une variable réelle $x$

Soient $f$ une fonction numérique et I un intervalle inclus dans
I’ensemble de définition de $f$ .
* $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si
$\forall x_{1}, x_{2}) \in I^{2}; x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2}$

* $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si :
$\forall (x_{1}, x_{2}) \in I^{2}; x_{1} < x_{2}$ ⇒ f(x_{1})<f(x_{2}\)

* $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si :
$\forall (x_{1}, x_{2}) \in I^{2}; x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2}$

* $f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si:
$\forall (x_{1}, x_{2}) \in l^{2}; x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$

* $f$ est constante sur $I$ si et seulement si
$\forall (x_{1}, x_{2}) \in l^{2}; x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) = f (x_{2}$

Remarque : On peut étudier la monotonie de la fonction $f$ sur $I$
en utilisant le taux de variations $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$
avec $x_{1}$ et $x_{2}$ deux éléments différents de $I$ .

Exercice 11:

On considère la fonction $f$ d’une variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$
1) Déterminer $D$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) Etudier la monotonie de $f$ sur $D$ .

Exercice 12:

Dresser le tableau de variations de la fonction dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = x^{2} + 4 x + 1$
3) $f (x) = \frac{x + 2}{2 x + 1}$
2) $f (x) = - 4 x^{2} - 4 x + 1$
4) $f (x) = \frac{3 x - 4}{x - 1}$

Exercice 13:

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ d’une variable
réelle $x$ dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = - 2 x^{3}$
3) $f (x) = \sqrt{x + 2}$
2) $f (x) = \frac{x^{3}}{3}$
4) $f (x) = \sqrt{x - 3}$

Exercice 14:

Soit $f$ une fonction numérique paire définie sur I’intervalle [-7,7]
Son tableau de variations sur [0,7] est donné ci-dessous:

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle [-7,7]

Exercice 15:

Soit $f$ une fonction numérique impaire définie sur l’intervalle [-4,4]
Son tableau de variations sur [0,4] est donné ci-dessous:

Dresser le tableau de variations de $f$ sur [-4,4]

8) Composée de deux fonctions numériques

Soient $f$ et $q$ deux fonctions numériques définies respectivement
sur les intervalles $I$ et $J$ tels que: $f (I) \subset J$ .
* $x \in D_{g o f} \Leftrightarrow (x \in D_{f} e t f (x) \in D_{g})$

Exercice 16:

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies sur IR par:
$f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x - 1$
1) Calculer les images des réels 0,1 et 2 par la fonction $f$ .
2) Calculer $g (f (0)); g (f (1))$ et $g (f (2))$ .
3) Déterminer gof(x) pour tout réel $x$ .

Exercice 17:

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques d’une variable réelle $x$ définies par:
$f (x) = \sqrt{x}$ et $g (x) = \frac{x + 2}{2 x - 1}$
1) Déterminer l’ensemble de définition de $f, g$ et fog.
2) Déterminer fog(x) pour tout $x \in D_{f o g}$ .

Exercice 18:

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques d’une variable réelle $x$ définies par:
$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ et $g (x) = \frac{- x}{x + 2}$
1) Dresser le tableau de variations des fonctions $f$ et $g$ .
2) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction gof.
3) Etudier la monotonie de la fonction gof sur les deux intervalles [2,+∞[ et ]-∞,2].