Fonction Logarithme Népérien 2 Bac SM Exercices d'Application

Calcule Sur les Logarithmes

Exercice 1:

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$
dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = \ln (x + 2)$
2) $f (x) = \ln (x^{2} - 5 x)$
3) $f (x) = \ln | x + 1 |$
4) $f (x) = \ln^{2} x - 3 l n x$
5) $f (x) = \ln ((x - 1)^{2})$
6) $f (x) = x . \sqrt[3]{2 - l n x}$
7) $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (x - 1)$
8) $f (x) = \ln ((x + 2) (x - 1))$
9) $f (x) = \ln (l n x)$
10) $f (x) = \ln (\frac{x + 2}{3 - x})$
11) $f (x) = \frac{\ln (x^{2} + 4)}{x}$
12) $f (x) = \frac{x}{\ln^{2} x} + \frac{2}{\ln (x - 3)} - \frac{1}{1 + \ln | x |}$

Exercice 2:

Calculer en fonction de $a = \ln 5$ et $b = \ln 4$ ce qui suit:
$α = \ln 2$
$β = \ln (100)$
$γ = \ln (1000)$
$λ = \ln (\frac{8}{125})$
$μ = \ln (0, 64)$

Exercice 3:

Soit $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs.
On pose $A = \ln a$ et $B = \ln b$ et $C = \ln c$
Exprimer ce qui suit en fonction de $a, b$ etc :
$X = \ln (a^{8} b^{9} c^{\frac{3}{2}})$
$Y = \ln (\frac{a}{b^{7}}) + \ln (\frac{a^{- 1}}{c^{3}})$
$Z = \ln (\sqrt{a b c . \sqrt[3]{a} . \sqrt[4]{b}})$
$T = \ln (\sqrt[3]{\sqrt{a} . \sqrt[3]{b^{- 2}} . \sqrt{c}})$

Exercice 4:

Simplifier les écritures sulvantes :
$A = \ln (7 + 4 \sqrt{3})^{15} + \ln (7 - 4 \sqrt{3})^{15}$
$B = \ln 2 + \ln (2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}) + \ln (2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Exercice 5:

Soit les équations suivantes :
1) $l n x = 0$ ; 2) $l n x = 1$
3) $l n x = 5$ 4) $l n x = 3 \ln 2$ ;
5) $2 l n x = \ln 3 + \ln 27$ 6) $7 l n x = - 3$ 7) $2 l n x = \ln (x^{2})$
8) $\ln^{2} x = 4$
Résoudre dans IR les équations précédentes.

Exercice 6:

1) $\ln (x^{2} - x) = \ln (x + 1)$

2) $\ln (7 x - 1) = \ln (5 x + 1)$

3) $3 (l n x)^{2} - 7 l n x + 10 = 0$

4) $\frac{8 + l n x}{1 + 2 l n x} = l n x$

5) $\ln (x - 1) + \ln (x + 3) = \ln (x^{2} + 4 x + 9)$

6) $2 \ln (2 x - 3) - 3 \ln (2 - x) = 0$

7) $\ln (\frac{x + 5}{x + 2}) + 2 \ln (x + 2) = \ln (3 x + 9)$

8) $\sqrt[3]{\ln^{2} x} - 5 \sqrt[3]{l n x} + 6 = 0$

9) $(\ln (x + 3))^{2} = 25$

10) $\ln (\sqrt{2 x + 1}) = - \frac{1}{2} l n x$

Résoudre dans IR ces équations.

Exercice 7:

Soit $g$ la fonction définie par:
$g (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$
1) Déterminer le domaine de définition de $g$ .
2) Montrer que la fonction $g$ est impaire.

Exercice 8:

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positlfs.

1) Montrer que : $\frac{1}{2} (\ln a + \ln b) \leq \ln (\frac{a + b}{2})$

2) On suppose dans cette question que
$\ln (\frac{a + 2 b}{3}) = \frac{1}{2} (\ln a + \ln b),$
et on pose $λ = \frac{a}{b}$
Montrer que:
$λ - 3 \sqrt{λ} + 2 = 0$
puis déterminer les valeurs du réel $λ$

Exercice 9:

Résoudre dans IR² les systèmes suivants
${\begin{cases} x + y = 10 \\ l n x + \ln y = 4 \ln 2 \end{cases}$

${\begin{cases} 4 x + 5 y = 8 \\ l n x + \ln y = 2 \ln 2 - \ln 5 \end{cases}$

${\begin{cases} l n x - \ln y = 1 \\ \ln^{2} x + \ln^{2} y = 13 \end{cases}$

${\begin{cases} l n x \times \ln (\frac{x}{y}) = 3 \\ l n x - \ln y = 2 \end{cases}$

${\begin{cases} \ln (x y) = - 5 \\ l n x . \ln y + 14 = 0 \end{cases}$

${\begin{cases} x + y = e \\ l n x + \ln y = 2 + \ln 3 \end{cases} .$

${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 25 \\ l n x + \ln y = 2 \ln 2 + \ln 3 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 l n x - \ln y = 5 \\ l n x + \ln y = 7 \end{cases}$

${\begin{cases} x y = 2 \\ \ln^{2} x + \ln^{2} y = \frac{5}{9} \ln^{2} 2 \end{cases}$

${\begin{cases} \ln (x^{5}) + \ln (y^{2}) = 16 \\ \ln (x^{3}) + \ln (y^{3}) = 15 \end{cases}$

${\begin{cases} l n x^{2} + \ln y = 11 \\ \ln^{2} x - 2 \ln (x y) = 6 \end{cases}$

${\begin{cases} \ln (x y^{2} \sqrt{x}) = 10 \\ \ln (\frac{x}{y \sqrt{y}}) = 1 \end{cases}$

${\begin{cases} \ln (x^{3} y^{2}) = 5 \\ l n x - 4 \ln \sqrt{y} = - 3 \end{cases}$

${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 52 \\ \ln (- x) + \ln (- y) = \ln 24 \end{cases}$

Exercice 10:

1)
Résoudre dans IR les équations suivantes:
$\ln (\sqrt{x - 1}) = \ln (3 - x) - \frac{1}{2} \ln (x - 1)$
$\ln^{3} x - 3 \ln^{2} x - 6 l n x + 8 = 0$
$\ln | x - 1 | + \ln | x + 2 | = \ln ∣ 4 x^{2} + 3 x - 7$

2)
Résoudre les inéquations suivantes:
$\ln (x^{2} - 2 x) \leq l n x$
$\ln^{2} x + l n x - 2 > 0$
$\ln (\frac{3 x - 7}{4 x + 5}) \geq 0$
$\frac{\ln | x - 2 |}{3 + l n x} > 0$
$\ln | 3 x^{2} + 7 x + 3 | \geq 0$
$\ln | x | < - \ln | 3 x + 2 |$

3)
Déterminer le plus petit entier naturel $n$
vérifiant l’inégalité suivante:
$25 (1 + \frac{7}{100})^{n} \geq 4$

Calcul des Limites

Exercice 11:

Déterminer $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$
dans chacun des cas suivants:

1) $f (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2 x - 3}$

2) $f (x) = \ln (\frac{3 x^{4} + 5}{x^{2} + 4})$

3) $f (x) = \frac{\ln (x + 2)}{x^{2} + 3}$

4) $f (x) = \ln (\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x}})$

5) $f (x) = 3 x - 5 l n x$

6) $f (x) = l n x - 5 x^{2}$

7) $f (x) = \ln (2 x + 3) - l n x;$

8) $f (x) = \frac{\ln^{2} x}{1 - l n x}$

9) $f (x) = \ln (x^{2} + 1) - 3 x$

10) $f (x) = x \ln (\frac{x - 2}{x + 3})$

Exercice 12:

Trouver les limites suivantes:
$lim_{x ➝ + \infty} \frac{\ln^{2} x}{x^{5}}$

$lim_{x ➝ + \infty} \frac{\ln^{3} x}{\sqrt{x}}$

$lim_{x ➝ + \infty} (\ln^{3} x - \sqrt{x})$

$lim_{x ➝ + \infty} \frac{x}{\ln^{2} x}$

$lim_{x ➝ - \infty} \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + 1}$

$lim_{x ➝ 0} \frac{\ln (1 + x^{3})}{x^{2}}$

$lim_{x ➝ 0^{+}} \sqrt[3]{x} . \ln^{2} x$

$lim_{x ➝ 0^{+}} x \sqrt{| l n x |}$

$lim_{x ➝ 0} \frac{\ln (\cos x)}{x}$

$lim_{x ➝ + \infty} (x^{3} - 5 x - l n x)$

$lim_{x ➝ - \infty} \frac{\ln (x^{2} - 3 x + 7)}{2 x + 3}$

$lim_{x ➝ + \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\ln (5 x + 3)}$

$lim_{x ➝ 0^{+}} \frac{\ln (1 + \sqrt[3]{x})}{x}$

$lim_{x ➝ 0} \frac{\sin (x)}{\ln (1 + x)}$

$lim_{x ➝ 0} \frac{1}{x} \ln (\frac{2 - 3 x}{2 + 5 x})$

$lim_{x ➝ 2^{+}} (\frac{3 x}{x - 2} + \ln (x - 2))$

$lim_{x ➝ - 1^{+}} (x + 1) \ln (x^{2} + x)$

$lim_{x ➝ + \infty} \ln (\sqrt{x^{2} + 3} - x)$

$lim_{x ➝ + \infty} x \ln (1 + \frac{3}{x})$

$lim_{x ➝ + \infty} \frac{\ln^{2} x - 4 l n x}{1 + 5 l n x}$

$lim_{x ➝ 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}$

$lim_{x ➝ 2} \frac{\ln (2 x - 3)}{x^{2} - 4}$

$lim_{x ➝ + \infty} \frac{\ln (x^{2} + x + \sqrt{x + 4})}{3 x}$

Exercice 13:

Calculer :

$lim_{x ➝ + \infty} \frac{4 x - 3 l n x}{2 x + 5 l n x}$

$lim_{x ➝ 2} \frac{x}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})$

$lim_{x ➝ 1} \frac{l n x}{x^{4} - 1}$

$lim_{x ➝ \in f t y} x \ln (\frac{x + 2}{x + 3})$

$lim_{x ➝ 0^{+}} x \ln (2 x + \sqrt{x})$

$lim_{x ➝ 0} \frac{A r c t a n x}{\ln (1 + x)}$

$lim_{x ➝ 2^{+}} (x - 2) \ln (x^{3} - 8)$ \)

$lim_{x ➝ 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\cos x})$

$lim_{x ➝ 0} \frac{1}{x} \ln (\frac{1 + 5 \sin x}{1 + 3 \tan x})$

$lim_{x ➝ 2^{-}} \ln (2 - x) . \cos (\frac{π}{4} x)$

$lim_{x ➝ - \in f t y} \frac{\sqrt[1]{1 + \ln (x^{2})}}{x}$

$lim_{x ➝ 1^{+}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)^{3} . \ln (x^{2} - 1)$

$lim_{x ➝ 1^{-}} \cos (\frac{π}{2} x) . \ln (1 - x)$

$lim_{x ➝ \frac{π}{4}} \frac{\ln (2 \tan x . \sqrt[3]{\tan x} - 1)}{\tan x - 1}$

$lim_{x ➝ 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{1 - \ln (e - x)}$

Exercice 14:

Soit $f$ la fonction définie par:
$f (x) = \frac{1 - 2 l n x}{1 - l n x}$

1) Déterminer le domaine de définition de $f$ .

2) Montrer que
$f$ admet un prolongement par continuité en 0
et donner ce prolongement.

3) Calculer les limites suivantes
\(\lim_{x ➝ e^{-f(x))\
\(\lim _{x ➝ c^{+}} f(x) )\
\(\lim _{x ➝+∞} f(x))\

Exercice 15:

On considère la fonction $f$ définie par:
$f (x) = 2 x - x \ln (1 + \frac{2}{x}) E t s o i t (C) s a c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e d a n s u n r e p è r e o r t h o n o r m é \((O \vec{i}, \vec{j})$
Montrer que
la droite $D$ d’équation $y = 2 (x - 1)$ est un asymptote oblique
à la courbe (C) au voisinage de +∞.

Exercice 16:

On considère la fonction numérique $f$ définie par:
Et soit (C) sa courbe représentative dans un orthonormée
$(O \vec{i}, \vec{j})$
1) Montrer que $f$ est continue à droite en 0.

2) Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en 0 ,puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.

3) Calculer les limites:
$lim_{x ➝ 1} f (x)$ et $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$ ,
puis interpréter graphiquement les résultat obtenus.

Calcule des Fonction des Dérivées

Exercice 17:

Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est dérivable et calculer sa fonction dérivée dans chacun des cas suivants :

1) $f (x) = x l n x$

2) $f (x) = \ln | x - 1 | + l n x$

3) $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x)$

4) $f (x) = \ln ∣ x^{2} - 8 x + 12$

5) $f (x) = \ln (l n x)$

6) $f (x) = x^{3} \sqrt{l n x}$

7) $f (x) = \frac{\ln^{5} x}{x}$

8) $f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 6 x + 5}{2 x^{2} + 3 x + 1})$

9) $f (x) = \ln | \cos x |$

10) $f (x) = \sqrt{1 - \ln (x - 3)}$

11) $f (x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\ln^{2} x}}$

12) $f (x) = x^{2} (2 - \frac{3}{l n x})^{4}$

13) $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

14) $f (x) = \sqrt{1 - \ln^{2} x}$

15) $f (x) = \ln (x - 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 5})$

16) $f (x) = \ln (\sqrt{e + x} + \sqrt{e - x})$

17) $f (x) = \ln ∣ \frac{x^{2} - 4 x}{x + 4}$

Calcul des Primitives

Exercice 18:

Pour chacun des cas suivants, déterminer les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ :

1) $f (x) = - \frac{5}{x}$ I=] 0;+∞[

2) $f (x) = - \frac{1}{x}$ I=]-∞;0[

3) $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ I=]-2;+∞[

4) $f (x) = \frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ I=[0;+∞[

5) $f (x) = \frac{2 x}{4 + x^{2}}$ I=IR

6) $f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 4}$ I=IR

7) $f (x) = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 5}$
I=]2;5[

8) $f (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 7}{x}$
I=]-∞;0[

Exercice 19:

Pour chacun des cas suivants,
déterminer les primitives de la fonction $g$ sur l’intervalle $I$ :

1) $g (x) = x^{2} - 2 + \frac{4}{5 x + 1}$
I=[0;+∞[

2) $g (x) = \frac{l n x}{x} + \frac{1}{x l n x}$
I=]1;+∞[

3) $g (x) = \frac{5}{x \sqrt{1 - l n x}}$
I=]0;e[

4) $g (x) = \tan x$
$I =] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$

5) $g(x)=\frac{1}{(1+x^{2})Arctan x $
I=] 0;+∞[

6) $g (x) = \frac{1}{\sin (2 x)}$
$I =] 0; \frac{π}{2} [$

7) $g (x) = \frac{1}{x + \sqrt{x}}$
$I =] 0; + \infty [$

Exercice 19:

Pour chacun des cas suivants, déterminer
les primitives de la fonction $g$ sur l’intervalle $I$ :

1) $g (x) = x^{2} - 2 + \frac{4}{5 x + 1}$
I=[0;+∞[

2) $g (x) = \frac{l n x}{x} + \frac{1}{x l n x}$
I=]1;+∞[

3) $g (x) = \frac{5}{x \sqrt{1 - l n x}}$
I=]0;e[

4) $g (x) = \tan x$
$I =] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$

5) $g(x)=\frac{1}{(1+x^{2})Arctan x $
I=] 0;+∞[

6) $g (x) = \frac{1}{\sin (2 x)}$
$I =] 0; \frac{π}{2} [$

7) $g (x) = \frac{1}{x + \sqrt{x}}$
$I =] 0; + \infty [$

Variations et Etude des Fonction

Exercice 20:

Étuier les variations des fonctions définies par:
$f (x) = \ln (- 3 x + 2)$
$g (x) = \ln (\frac{2 x}{x - 1})$
$h (x) = \ln | x^{2} - 9 |$
$k (x) = \ln | x + \sqrt{x^{2} - 1} |$
$u (x) = x^{2} - 2 x + 3 \ln (x^{2} - 1)$
$v (x) = \frac{x}{l n x}$

Exercice 21:

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur IR*+ par :
$f (x) = \frac{l n x}{x} - \frac{3}{2 x} + \frac{1}{2} x - 1$
$g (x) = x^{2} + 5 - 2 l n x$

1)
a) Étudier les variations de la fonction $g$ sur IR*+.
b) En déduire le signe de $g (x)$ sur IR*+.

2) Etudier les variations de la fonction $f$ .

Exercice 22:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR*+ par:
$f (x) = (1 - \frac{1}{x^{2}}) l n x$

1) Montrer que:
$\forall x \in I R * + : x^{3} f^{'} (x) = 2 l n x + x^{2} - 1$

2) Montrer que la fonction $f$ est
décroissante sur $] 01]$
et croissante sur [1+∞[.

Exercice 23:

1) Montrer que la fonction $g$ définie sur IR+ par:
$g (x) = \frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1)$
et strictement croissante sur IR+.

2) Soit $f$ la fonction définie par:
$f (x) = \sqrt{x \ln (1 + x)}$
a) Déterminer le domaine de définition de $f$ .
b) Calculer : $lim_{x ➝ 1^{+}} f (x)$ et $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$
c) Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en 0 .
d) Étudier les variations de la fonction $f$ .

Exercice 24:

Soit $f$ la fonction numérique définie par:
$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 - \ln^{2} x}}$
Et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(O \vec{i}, \vec{j})$

1) Déterminer $D_{f}$ , le domaine de définition de $f$ .

2) Calculer $f^{'} (x)$ pour tout $x \in D_{f}$
puis étudier les variations de la fonction $f$ .

3) Déterminer l’équation de la tangente
a la courbe $(C)$ au point d’abscisse $e$ .

4) Étudier la position relative de la courbe $(C)$
et la drolte $Δ) d^{'} é q u a t i o n \(y = x$

5) Construire la courbe $(C)$ .

Exercice 25:

On considère la fonction numérique $f$ définie par:

${\begin{cases} f (x) = x^{2} . \sqrt{- l n x} 0 < x \leq 1 \\ f (x) = (x - 1) \ln (x - 1) x > 1 \\ f (0) = 0 \end{cases} .$

soit $(C)$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé $(O \vec{i}, \vec{j})$

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ à droite de 0.

2) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0.

3) Étudier les variations de la fonction $f$ .

4) Étudier la branche infinie de la courbe $(C)$ au voisinage de +∞.

5) Construire la courbe $(C)$ .

Exercice 26:

Soit $n$ un entier naturel non nul.

1) Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur IR*+ par:
$f (x) = x^{n} - l n x$

2) En déduire que : ∀x ∈IR*+: $l n x \neq x^{n}$

Fonction Logarithme de base a

Exercice 27:

Simplifier les expressions suivantes :

$\log_{4} (2) + \log_{2} (16) + \log_{8} (4)$

$\log_{2} (8) - \log_{2} (\sqrt[3]{32}) + \log_{2} (9) - \log_{2} (3)$

$\log_{3} (\frac{15}{4}) + \log_{2} (\frac{1}{27}) + \log_{2} (\frac{4}{5})$

$\log 100 - \log (10^{2017}) + \log (\frac{1}{10^{100}})$

$\frac{\log (0, 008) - 4 \log (0, 3)}{\log 9 - \log 8}$

Exercice 28:

1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
$5 (\log_{2} x)^{2} - \log_{2} x - 4 = 0 (\log x)^{2} - 2 \log x = 0$
$- 3 (\log_{\frac{5}{4}} x)^{2} + \log_{\frac{5}{4}} x + 10 = 0$

2) Résoudre le système suivant:
${\begin{cases} \log_{3} (\frac{1}{x^{2}}) - \log_{3} y^{4} = - 4 \\ \log_{3} (x^{3} y^{5}) = 3 \end{cases} .$

Exercice 29:

1) Résoudre les équations suivantes :
$\log x)^{3} + 3 (\log x)^{2} - 25 \log x + 21 = 0$
$\log_{\sqrt{2}} x) \cdot (\log_{2} x) \cdot (\log_{2 \sqrt{2}} x) \cdot (\log_{4} x) = 54$
$\log_{2} x = 1 - (x - 2)^{2}$
$\log_{2} x = \frac{1}{2} + \log_{4} (4 x + 10)$

2) Résoudre les inéquations suivantes :
$\log_{2} x \leq \log_{8} (5 x - 4)$
$\log_{x} (x^{2} - \frac{1}{4}) > 4$

3) Résoudre le système suivant
${\begin{cases} x y = 256 \\ 7 (\log_{x} (y) + \log_{y} (x)) = 50 \end{cases} .$