Exercice 1:
\(f\) l’application définie par:
f:IR ➝IR
x➝x²-2 x+3
1) Résoudre: dans IR l’équation \(f(x)=3\).
\(f\) est elle injective ? Justifier votre réponse.
2) Résoudre: dans IR l’équation \(f(x)=0\).
\(f\) est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
Exercice 2:
\(f\) l’application définie par:
f:IR ➝IR
\(x➝x-4 \sqrt{x}+5\).
1) Résoudre: dans IR l’équation \(f(x)=2 .\)
f est-elle injective?
2) Montrer que : \(∀x ∈[0,+∞[), f(x) \geq 1.\)
\(f\) est t- elle surjective?
Exercice 3:
\(f\) l’application définie par:
f: IR-{1}➝ IR-{2}\(x➝\frac{2 x-1}{x-1}\)
1) Montrer que: la fonction \(f\) est injective.
2) Montrer que: \(f\) est surjective et en déduire qu’elle est bijective.
Exercice 4:
\(f\) l’application définie de IR-{-1} vers IR) par:
\(f(x)=\frac{x^{2}+2 x}{(x+1)^{2}}\)
1) Montrer que: ∀x ∈IR-{-1}, f(-2-x)=f(x).\(f\) est-elle injective ? Justifier votre réponse.
2) Montrer que : ∀x ∈IR-{-1}, f(x)<1.\(f\) est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
Exercice 5:
l’application \(f\) définie de [0,+∞[ vers IR par:
\(f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.\)
1) Montrer que: l’application \(f\) est injective?
2) Montrer que: ∀x ∈[0,+∞[,-1≤ f(x)<1.
\(f\) est- elle surjective ? Justifier votre réponse.
3) Soit \(g\) l’application définie de \(IR^{+}\) vers [-1,1[ par:
\(g(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.\)
Montrer que \(g\) est une bijection de \(IR^{+}\) vers [-1,1[
et déterminer sa bijection réciproque \(g^{-1}\).
Exercice 6:
\(f\) l’application définie de IR* vers IR par:
∀x ∈IR*, \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)
1) Montrer que: ∀x ∈ IR*, \(f(\frac{1}{x})=f(x)\).
\(f\) est-elle injective ? Justifier votre réponse.
2) \(f\) est-elle surjective ? justifier votre réponse.
Exercice 7:
I’application \(f\) définie de \(]0,+∞[\) vers IR par:
pour tout \(x\) de ] 0,+∞[, \(f(x)=x-\frac{1}{x}.\)
1) Montrer que: l’application \(f\) est bijective.
2) Déterminer: \(f^{-1}\) la bijection réciproque de la bijection \(f\).
Exercice 8:
\(f\) l’application définie de IR vers IR par:
\(f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{2}+1}\)
1) l’application \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse.
2) Montrer que: ∀x ∈IR,-2≤ f(x)<1;
l’application \(f\) est -elle surjective.
3) Soit \(g\) l’application de [0,+∞[ vers [-2,1[ définie par:
g(x)=f(x).
Montrer que \(g\) est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 9:
l’application \(f\) définie de [1,+∞[ vers \(IR\) par:
\(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x}\)
1) Montrer que: l’application \(f\) est injective.
2) Montrer que: ∀x ∈[1,+∞[,-1≤ f(x)<0\(f\) est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
Exercice 10:
\(f\) l’application définie de [2,+∞[ vers IR par:
\(f(x)=x-\sqrt{x-1}\).
1) Montrer que: l’application \(f\) est injective.
2) Montrer que: \((∀x ∈[2,+∞[) ; f(x) \geq 1 \). \(f\) est – elle surjective?
3) Montrer que: \(f\) est bijective de [2,+∞[ vers [1,+∞[,
et définir sa bijection réciproque \(f^{-1}\)
Exercice 11:
\(f\) l’application de [2,+∞[ vers [2,+∞[ définie par:\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}\)
Montrer que:
\(f\) est bijective et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\)
Exercice 12:
\(f\) I’application de IN vers IN définie par:
\(f(n)=n^{2}+n\).
1) Montrer que: l’application \(f\) est injective.
2) \(f\) est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
Exercice 13:
I’application \(f\) définie de Z×Z vers Z par:
\(f((m,n))=m+n-mn .\)
1) L’application \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse.
2) a- Soit y∈Z calculer f(0, y).
b- En déduire que l’application \(f\) est surjective.
Exercice 14:
\(f\) l’application définie de IN* vers IN par:
\(f(n)=n^{2}-n\).
1) Montrer que: l’application \(f\) est injective.
2) Vérifier que: \(f(n)\) est pair pour tout n de IN*
et en déduire que \(f\) n’est pas une application surjective.
Exercice 15:
l’application \(f\) définie de IN×IN vers IN par:
\(f((m, n))=m+n\).
1) \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse.
2) Soit y ∈IN. Calculer f(y, 0) et en déduire que \(f\) est surjective.
Exercice 16:
\(f\) l’application définie par:
\(f: IR²➝IR\)(x, y)➝2x+y1)
1) \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse.
2) Pour tout z de \(IR\) calculer f(z,-z)
et en déduire que \(f\) est surjective.
Exercice 17:
l’application \(f\) définie de IR vers IR² par:
\(f(x)=(\frac{1}{2}x, \frac{1}{2}x-1)\)
1) Montrer que: l’application \(f\) est injective.
2) \(f\) est t elle surjective ? justifier notre réponse.