Le contenu
Application
Égalité de deux applications.
L’image d’une partie par une application.
L’image réciproque d’une partie.
La composée de deux applications.
Application injective.
Application surjective.
Application bijective et bijection réciproque.
La partie entière d’un nombre réel.
Définition 1: Application
Une Application est Une relation \(f\) d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\) est dite
application si, à chaque élément \(x\) de \(E\) est associé un seul élément \(y \mathrm{de} F\)
– \(y\) est appelé l’image de \(x\) par \(f\) ou la valeur de \(f\) au « point \(»\) \(x\) et on écrit \(y=f(x)\).
– \(x\) est appelé l’antécédent de \(y\) par \(f\).
– \(E\) est appelé l’ensemble de départ de \(f\).
– \(F\) est appelé l’ensemble d’arrivée de \(f\).
On écrit: \(f: x➝f(x)\) ou \(f: E ➝F\)
x➝f(x)
Propriété 1 :
Egalité de deux applications.
Deux applications f etg sont égales si et seulement si f et g ont même ensemble de départ \(E, f\)
et \(g\) ont même ensemble de valeurs \(F\)
et \((∀x ∈ E), f(x)=g(x)\)
Définition 2 : Fonction.
Une Fonction est Une relation \(f\) d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\) est dite une fonction si, tout élément \(x\) de \(E\) admet au plus une image \(f(x)\) dans \(F\).
Cas particulier :
soit \(f\) une fonction d’un ensemble \(E\) vers un ensemble\(F\) de domaine de définition \(D_{f},\) alors \(f\) est une application de \(D_{f}\) vers \(F\).
Définition 3 : L’image d’une partie.
L’image d’une partie:
Soit \(f\) une application d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\).
L’image d’une partie \(A\) de \(E\) noté \(f(A),\) est l’ensemble des éléments\(y\) de \(F\) tels que:
\([∃ x ∈ A, f(x)=y]\)
Définition 4 : L’image réciproque d’une partie.
Soit \(f\) une application d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\)
\(B\)une partie de \(F\). L’image réciproque de \(B\) noté \(f^{-1}(B),\) est l’ensemble des éléments de \(E\) tels que : \(f(x) ∈ B\).Remarque :Si \(B=\{y\}\) l’ensemble \(f^{-1}(\{y\})\) peut être noté \(f^{-1}(y) .\)Attention: \(f^{-1}(y)\) peut comporter plusieurs éléments.
Définition 5 : La composée de deux applications.
La composée de deux applications:
\(f\) une application de \(E\) vers \(F\), et \(g\) une application de \(F\)vers \(G\).
L’application composée de \(f\) et \(g,\) dans cet ordre, noté gof ; est I’application de \(E\) vers \(G\) définie par:
\((∀x ∈ E), gof (x)=g[f(x)]\).
Définition 6 : Application injective.
Application injective:
\(f\) une application d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\).\(f\) est une application injective (ou une injection) si :
\((∀a ∈ E),(∀b ∈ E) ; a ≠b ⇔f(a) ≠f(b)\)
Par application de la contraposée la proposition:
\((∀a ∈ E),(∀b ∈ E) ; a ≠b ⇔f(a) ≠f(b)\)
est équivalente à la proposition:
\((∀a ∈ E),(∀b ∈ E) ; f(a)=f(b) ⇔a=b\).
Définition 7 : Application surjective.
Application surjective:
Soit \(f\) une application d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\)\(f\) est une application surjective(ou surjection) si :
\((∀y ∈ F),(∃ x ∈ E), f(x)=y\)
Remarque importante :
si \(f(E)=F,\) alors \(f\) est une surjection de \(E\) vers \(F\).
Définition 8 : Application bijective.
Application bijective:
\(f\) est une application bijective d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\).
ou (f\) est une bijection, si et seulement si\((∀y ∈ F),(∃ ! x ∈ E), f(x)=y,\)
ou (f\) encore si elle est injective et surjective.
Définition 9 : Bijection réciproque d’une bijection.
\(f\) une bijection d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\), qui associe à tout \(x\) de \(E\) l’élément \(y\) de \(F\).
L’application définie de \(F\) vers \(E\) qui associe \(x\) à \(y\) est la bijection réciproque \(f^{-1}\) de la bijection \(f\)
telle que :\((∀x ∈ E),(∀y ∈ F), f(x)=y \Leftrightarrow f^{-1}(y)=x\).
La composée de deux applications.
a) Définition:
\(f\) une application d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\) telle que \(f(E) \subset F\), suivie d’une application \(g\) de \(F\) vers un ensemble \(G\).
L’application qui à tout élément de \(E,\) associe l’élément \(g(f(x))\) de \(G\)est appelé « la composée de \(f\) suivie de \(g\),
notée \(g \circ f »\) telle que :\((∀x ∈ E),(g \circ f)(x)=g(f(x))\)b)
Propriétés 2 :
La composée de deux injections est une injection.La composée de deux surjections est une surjection.La composée de deux bijections est une bijection.
La partie entière d’un nombre réel
La partie entière d’un nombre réel \(x\) est le plus grand entier relatif\(p\) inférieur où égale à \(x\).
On note :
\(p=E(x)\) ou \(p=[x]\) ou \(p=Ent(x)\).
– Propriétés:
\(∀x∈R, E(x)≤ x<E(x)+1\)\(∀x∈R, x-1<E(x)≤ x\)
* Tout réel \(x\) s’écrit de manière unique \(: x=E(x)+α\) où \(0≤ α<1\).