Exercice 1:
Soit \(f\) l’application définie par:
\(f: IR^{2} ➝ IR^{2}\)
(x, y)➝(x-y, x^{2}-y^{2})
1) \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse.
2) Résoudre:
dans \(IR^{2}\), l’équation \(f(x, y)=(0, z)\)
avec \(z ∈ IR^{*}\) \(f\) est-elle surjective?
Exercice 2:
Soit \(f\) l’application définie par:
\(f: IR^{2} ➝ IR^{2}\)
(x, y)➝(x+y, xy)
1) \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse
2) \(f\) est-elle surjective ? justifier votre réponse.
Exercice 3:
Soit \(f\) l’application définie de \(IR^{2}\) vers \(IR^{2}\)
par: \(f((x, y))=(x-2 y, 2 x+y)\)
Montrer que:
\(f\) est bijective et déterminer la bijection réciproque \(f^{-1}\).
Exercice 4:
Soit \(f\) l’application définie de \(IR^{2}\) vers \(IR^{2}\) par:
\((\forall(x, y) ∈ IR^{2}), f((x, y))=(x y, y+2)\)
1) Résoudre:
dans \(IR^{2}\) l’équation \(f((x, y))=(0,2)\). \(f\) est-elle injective ?
2) Résoudre:
dans \(IR^{2},\) l’équation \(f((x, y))=(z, 2)\) avec \(z ∈ IR^{*}\).
\(f\) est-elle surjective ?
Exercice 5:
On pose \(E=] 0,+∞[x] 0,+∞[\). Soit \(f\) l’application définie de \(E\) vers \(E\) par:
\((\forall(x, y) ∈ E), f((x, y))=(x y, \frac{x}{y})\)
Montrer que:
\(f\) est bijective et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
Exercice 6:
Soit \(f\) une application de \(E\) vers \(F\)
Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\)
Montrer que:
1) \(A⊂B ➝ f(A)⊂f(B)\).
2) \(f(A∪B)=f(A)∪f(B)\).
Exercice 7:
Soit \(f\) une application de \(E\) vers \(F\)
Soient Aet \(B\) deux parties de \(E\)
Montrer que:
1) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
2) Si \(f\) est injective alors f(A∩B)=f(A)∩f(B).
Exercice 8:
Soit \(f\) une application de \(E\) vers \(F\)
Soient \(A\) et \(D\) deux parties de \(F\)
Montrer que:
1) A⊂D➝\(f^{-1}(A)⊂f^{-1}(D)\).
2) \(f(^{-1}(A∪D)=f^{-1}(A)∪f^{-1}(D)\).
3) \(f(^{-1}(A∩D)=f^{-1}(A)∩f^{-1}(D)\).
Exercice 9:
Soit \(f\) une application de \(E\) vers \(F\)
1) Soit \(A\) une partie de \(E\)
Montrer que:
\(A⊂f^{-1}(f(A))\)2) Soit \(B\) une partie de \(F\)
Montrer que: \(f^{-1}(f(B))⊂B\)
Exercice 10:
Soient \(E\) un ensemble non vide et \(A\) une partie de \(E\) telle que A ≠Ø et A ≠E
On considère l’application \(f\):
définie de \(P(E)\) vers \(P(E)\) par:
(∀X ∈ P(E)): f(X)=X∩A
1) Déterminer \(f(A), f(Ø), f(E), f(\bar{A})\).
\(f\) est-elle injective ? Justifier.
2) a- Déterminer \(f^{-1}({\bar{A}}).\)
f est-elle surjective ?
b- Déterminer l’ensemble:
F={X ∈ P(E), f(X)=X}.
Et en déduire que \(f\) est surjective de \(P(E)\) vers \(P(A)\).
Exercice 11:
Soient \(E\) un ensemble non vide et \(A\) une partie de \(E\)
telle que A ≠Ø et A ≠E
On considère l’application \(f\):
définie de \(P(E)\) vers \(P(E)\) par:
\(f(X)=X \cup A\)
1) a- Déterminer \(f(A), f(Ø), f(E), f(\bar{A})\).
b- \(f\) est-elle injective ? Justifier votre réponse.
2) Déterminer \(f^{-1} (Ø)\). \(f\) est-elle surjective ?
Exercice 12:
Soit \(f\) l’application définie de IN* vers IN par:
\(f(n)=n^{3}-n\)1)
1) Montrer que: \(f\) est injective.
2) \(f\) est-elle surjective ? justifier votre réponse.
Exercice 13:
Soit \(f\) l’application définie de [1,+∞[ vers \(]0,\sqrt{2}]\)par:
\(f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\)
Montrer que: \(f\) est bijective
et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\)
Exercice 14:
Soit \(f\) l’application définie de [1,+∞[ vers IR par:
\(f(x)=x-2\sqrt{x-1}\)
1) Résoudre:
dans [1,+∞[ l’équation f(x)=1,
\(f\) est-elle injective ? Justifier votre réponse.
2) Montrer que:
∀x ∈[1,+∞[: f(x) ≥ 0.
\(f\) est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
3) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à [2,+∞[.
Montrer que
\(g\) est une bijection de [2,+∞[ vers [0,+∞[puis déterminer sa bijection réciproque \(g^{-1}\).
Exercice 15:
Soit \(f\) l’application définie de [2,+∞[ vers [1,2[ par:
\(f(x)=\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{x}\).
Montrer que: \(f\) est bijective
et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
Exercice 16:
Soit \(f\) l’application de IR+ vers IR par:
\(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}\)
1) Montrer que:
∀x ∈]0,+∞[; \(f(\frac{1}{x}=f(x)\)\(f\) est-elle injective.
2) Montrer que:
\((∀x ∈[0,+∞[), 0≤ f(x)≤ \frac{1}{2}.\)
En déduire que:
\(f([0,+∞[)=[0, \frac{1}{2}]\)
3) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \([1,+∞[\).
Montrer que:
\(g\) est bijective de [1,+∞[ vers ] 0,\frac{1}{2}]
et déterminer sa bijection réciproque \(g^{-1}\).
Exercice 17:
Soit \(f\) l’application définie de IN² vers IN par:
\(f((m, n))=2^{n}(2 m+1)\)
1) Montrer que:
pour tous \(p, q\) et \(q^{\prime}\) de IN tels que:
\(q\) et \(q^{\prime}\) sont deux nombres impairs on a:
si \(2^{p}×q=q^{\prime}\) alors \(p=0\).
2) En déduire que I’application \(f\) est injective.
Exercice 18:
Unicité de l’écriture \(x=E(x)+α\) où α∈[0,1]
Soit x un nombre réel.
On sait qu’il existe α∈[0,1]
tel que : x=E(x)+α.
Montrer que l’écriture x=E(x)+α est unique.
Exercice 19:
On considère l’application:
U: IN*➝ IR*
\(n➝\frac{1}{n}\)
Montrer que:
∀a ∈]0,+∞[,∃ p ∈IN, n ≥ p ➝ \(\frac{1}{n}<a\)
Exercice 20:
On considère la fonction \(f\) définie sur \(IR\) par:
\(f(x)=E(x)\) où \(E(x)\) est la partie entière de \(x\) Soit (C) la courbe représentative de \(f\) relativement à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
1) Montrer que:
\(f(x+1)=1+f(x)\) pour tout réel \(x\)
et interpréter le résultat géométriquement.
2) Montrer que:
\(f\) est croissante sur \(IR\).
3) Soit \((\Gamma)\) la portion de \((C)\) correspondante à l’intervalle \([-2,-1[\).
a- Construire ( \(\Gamma\) ).
b- En déduire:
la construction de la portion de (C) qui correspond à l’intervalle [-2,3[4) a- Calculer \(f(1,5)\) et \(f(-1,5)\).
b- En déduire que:
\(f\) n’est ni paire ni impaire.
5) Soit \(g\) l’application de IR vers Z définie par:
g(x)=E(x).
a- Montrer que \(g\) n’est pas injective.
b- Montrer que \(g\) est surjective.