Les Applications Exercices 1 Bac SM Série 4

Exercice 1:

Soit $f$ l’application définie par:
$f:I{R}^2➝I{R}^2$
(x, y)➝(x-y, x^{2}-y^{2})

1) $f$ est-elle injective ? justifier votre réponse.

2) Résoudre:
dans $I{R}^2$, l’équation $f(x,y)=(0,z)$ 
avec $z\in I{R}^{\ast }$ $f$ est-elle surjective?

Exercice 2:

Soit $f$ l’application définie par:
 $f:I{R}^2➝I{R}^2$
(x, y)➝(x+y, xy)

1) \(f\) est-elle injective ? justifier votre réponse

2) $f$ est-elle surjective ? justifier votre réponse.

Exercice 3:

Soit $f$ l’application définie de $I{R}^2$ vers $I{R}^2$
par: $f((x,y))=(x-2y,2x+y)$

Montrer que:
$f$ est bijective et déterminer la bijection réciproque $f^{-1}$.

Exercice 4:

Soit $f$ l’application définie de $I{R}^2$ vers $I{R}^2$ par:
$(\mathrm{\forall }(x,y)\in I{R}^2),f((x,y))=(xy,y+2)$

1) Résoudre:
dans $I{R}^2$ l’équation $f((x,y))=(0,2)$. $f$ est-elle injective ?

2) Résoudre:
dans $I{R}^2,$ l’équation $f((x,y))=(z,2)$ avec $z\in I{R}^{\ast }$.
$f$ est-elle surjective ?

Exercice 5:

On pose $E=]0,+\infty [x]0,+\infty [$. Soit $f$ l’application définie de $E$ vers $E$ par:
$(\mathrm{\forall }(x,y)\in E),f((x,y))=(xy,\frac{x}{y})$

Montrer que:
$f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$.

Exercice 6:

Soit $f$ une application de $E$ vers $F$
Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$

Montrer que:
1) $A\subset B➝f(A)\subset f(B)$. 
2) $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.

Exercice 7:

Soit $f$ une application de $E$ vers $F$ 
Soient Aet $B$ deux parties de $E$
 
Montrer que:
1) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
2) Si $f$ est injective alors f(A∩B)=f(A)∩f(B).

Exercice 8:

Soit $f$ une application de $E$ vers $F$
Soient $A$ et $D$ deux parties de $F$

Montrer que:
1) A⊂D➝$f^{-1}(A)\subset f^{-1}(D)$.
2) $f{(}^{-1}(A\cup D)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(D)$.
3) $f{(}^{-1}(A\cap D)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(D)$.

Exercice 9:

Soit $f$ une application de $E$ vers $F$
1) Soit $A$ une partie de $E$

Montrer que: 
$A\subset f^{-1}(f(A))$2) Soit $B$ une partie de $F$

Montrer que:  $f^{-1}(f(B))\subset B$

Exercice 10:

Soient $E$ un ensemble non vide et $A$ une partie de $E$ telle que A ≠Ø et A ≠E
On considère l’application $f$:
définie de $P(E)$ vers $P(E)$ par:
(∀X ∈ P(E)): f(X)=X∩A
1) Déterminer $f(A),f(Ø),f(E),f(\overline{A})$.
$f$ est-elle injective ? Justifier.

2) a- Déterminer $f^{-1}(\overline{A}).$ 
f est-elle surjective ?
b- Déterminer l’ensemble:
F={X ∈ P(E), f(X)=X}. 
Et en déduire que $f$ est surjective de $P(E)$ vers $P(A)$.

Exercice 11:

Soient $E$ un ensemble non vide et $A$ une partie de $E$
telle que A ≠Ø et A ≠E
On considère l’application $f$:
définie de $P(E)$ vers $P(E)$ par:
$f(X)=X\cup A$

1) a- Déterminer $f(A),f(Ø),f(E),f(\overline{A})$.
b- $f$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

2) Déterminer $f^{-1}(Ø)$. $f$ est-elle surjective ?

Exercice 12:

Soit $f$ l’application définie de IN* vers IN par:
$f(n)=n^3-n$1)

1) Montrer que: $f$ est injective.

2) $f$ est-elle surjective ? justifier votre réponse.

Exercice 13:

Soit $f$ l’application définie de [1,+∞[ vers $]0,\sqrt{2}]$par:
$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$

Montrer que: $f$ est bijective
et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$

Exercice 14:

Soit $f$ l’application définie de [1,+∞[ vers IR par:
$f(x)=x-2\sqrt{x-1}$

1) Résoudre:
dans [1,+∞[ l’équation f(x)=1,  
$f$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

2) Montrer que:
∀x ∈[1,+∞[: f(x) ≥ 0.
$f$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

3) Soit $g$ la restriction de $f$ à [2,+∞[. 
Montrer que 
$g$ est une bijection de [2,+∞[ vers [0,+∞[puis déterminer sa bijection réciproque $g^{-1}$.

Exercice 15:

Soit $f$ l’application définie de [2,+∞[ vers [1,2[ par:
$f(x)=\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{x}$.

Montrer que: $f$ est bijective
et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$.

Exercice 16:

Soit $f$ l’application de IR+ vers IR par:
$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$

1) Montrer que:
∀x ∈]0,+∞[; $f(\frac{1}{x}=f(x)$$f$ est-elle injective.

2) Montrer que:
$(\forall x\in [0,+\infty [),0\le f(x)\le \frac{1}{2}.$
En déduire que:
$f([0,+\infty [)=[0,\frac{1}{2}]$

3) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[1,+\infty [$.

Montrer que:
$g$ est bijective de [1,+∞[ vers ] 0,\frac{1}{2}]
et déterminer sa bijection réciproque $g^{-1}$.

Exercice 17:

Soit $f$ l’application définie de IN² vers IN par: 
$f((m,n))=2^n(2m+1)$

1) Montrer que:
pour tous $p,q$ et $q^{\prime }$ de IN tels que:
 $q$ et $q^{\prime }$ sont deux nombres impairs on a: 
si $2^p\times q=q^{\prime }$ alors $p=0$.

2) En déduire que I’application $f$ est injective.

Exercice 18:

Unicité de l’écriture $x=E(x)+\alpha$ où α∈[0,1]
Soit x un nombre réel. 
On sait qu’il existe α∈[0,1]
tel que : x=E(x)+α.

Montrer que l’écriture x=E(x)+α est unique.

Exercice 19:

On considère l’application:
U: IN*➝ IR*
$n➝\frac{1}{n}$

Montrer que:
∀a ∈]0,+∞[,∃ p ∈IN, n ≥ p ➝ $\frac{1}{n}<a$

Exercice 20:

On considère la fonction $f$ définie sur $IR$ par:
$f(x)=E(x)$ où $E(x)$ est la partie entière de $x$ Soit (C) la courbe représentative de $f$ relativement à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

1) Montrer que:
$f(x+1)=1+f(x)$ pour tout réel $x$
et interpréter le résultat géométriquement.

2) Montrer que:
$f$ est croissante sur $IR$.

3) Soit $(\mathrm{\Gamma })$ la portion de $(C)$ correspondante à l’intervalle $[-2,-1[$.
a- Construire ( $\mathrm{\Gamma }$ ).
b- En déduire:
la construction de la portion de (C) qui correspond à l’intervalle [-2,3[4) a- Calculer $f(1,5)$ et $f(-1,5)$.
b- En déduire que:
$f$ n’est ni paire ni impaire.

5) Soit $g$ l’application de IR vers Z définie par: 
g(x)=E(x).
a- Montrer que $g$ n’est pas injective.
b- Montrer que $g$ est surjective.