Exercice 1:
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tel que \(0<a<b .\)
On considère les suites numériques:
\(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par:
\(u_{0}=a\) et \(v_{0}=b\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}: u_{n+1}=\sqrt{u_{n} v_{n}}\) et \(v_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}\).
1) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N} ; 0<u_{n+1} \leq u_{n} \leq v_{n} \leq v_{n+1}\).
2) a) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}: v_{n+1}-u_{n+1} \leq \frac{1}{2}\left(v_{n}-u_{n}\right)\).
b) Montrer que:
pour tout \(\forall n \in \mathbb{N}: v_{n}-u_{n} \leq \frac{b-a}{2^{n}}\).
3) Montrer que:
les suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in N}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in N}\) sont convergentes.
Exercice 2:
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par:
\(f_{n}(x)=x^{n}-1+A r c \tan (x)\)
1) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \exists ! a_{n} \in[0,1] ; f_{n}\left(a_{n}\right)=0\).
2) Montrer que:
la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est croissante . En déduire qu’elle est convergente.
3) Montrer que:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=\frac{\pi}{4}\).
Exercice 3 :
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\) par \(f_{n}(x)=\operatorname{Arctan}\left(\frac{x}{n}\right)+2 x-1\).
1) Montrer que:
l’équation \(f_{n}(x)=0\) admet une unique solution \(x_{n}\) dans \(\mathbb{R}^{+}\) et que \(0<x_{n}<\frac{1}{2}\).
2) Montrer que:
la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente, puis déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}\).
Exercice 4 :
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur l’intervalle \(\mathbb{R}^{+}\) par:
\(f(x)=x+3 \sqrt[3]{x}-3\).
1) Etudier la dérivabilité de \(f\) à droite au point 0 puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2) a) Montrer que:
pour tout \(n \in \mathbb{N}\) l’équation \(f(x)=n\) admet une unique solution \(u_{n}\) dans \(\mathbb{R}^{+}\).
b) Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) est croissante.
c) Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est non majorée puis déduire sa limite.
3) Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on pose \(: S_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{u_{k}}\) et \(\alpha_{n}=S_{2 n}\) et \(\beta_{n}=S_{2 n+1}\)
a) Montrer que:
les suites \(\left(\alpha_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) et \(\left(\beta_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) sont adjacentes.
b) Montrer que:
la suite \(\left(s_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) est convergente.
Exercice 5:
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on considère la fonction \(P_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(P_{n}(x)=x^{n}+x^{n-1}+\ldots+x^{2}+x-1\)
1) Montrer que:
l’équation \(P_{n}(x)=0\) admet une unique solution \(\left.\alpha_{n} \in\right] 0,1\left[\right.\), puis déterminer \(\alpha_{1}\) et \(\alpha_{2}\)
2) Etudier la variation de la suite \(\left(\alpha_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}},\) puis en déduire qu’elle est convergente.
3) Montrer que :
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\} ; \alpha_{n}^{n+1}-2 \alpha_{n}+1=0\).
4) Déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \alpha_{n}\).
Exercice 6:
On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par:
\(u_{0}=\frac{1}{8}\) et \(u_{n+1}=\frac{3 u_{n}}{2+\sqrt[3]{u_{n}}}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
1) a) ) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N} ; 0 \leq u_{n} \leq 1\).
b) Etudier le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} .\) On en déduire qu’elle est convergente.
c) Déterminer: \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).
2) Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on pose \(: v_{n}=1+\frac{u_{n}}{n !}\)
a) Etudier la variation de la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
b) Montrer que:
les suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) sont adjacentes.