Exercice 1: Suites numériques – limites
Déterminer dans chacun des cas suivants la limite de la suite (\(u_{n})\):
1- \(u_{n}=\frac{(-1)^{n} \cos (n+1)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+(-1)^{n}}\);
2-\(u_{n}=\frac{\pi^{n}-3^{n}}{2^{n}+4^{n}} \);
3-\(u_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}} \sum_{k=0}^{n} \sin (k)\);
4-\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n^{\prime}} \frac{1}{k^{2}+k}\);
5-\(u_{n}=\frac{E\left(10^{n} x\right)}{10^{n}}, x \in \mathbb{R}\);
6-\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\);
7-\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{\sqrt[3]{n^{2}+k}}\);
8-\(u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} E(k x), x \in \mathbb{R}^{*}\);
9-\(u_{n}=\sum_{k=0}^{n} A r c \tan \left(\frac{1}{k^{2}+k+1}\right)\);
10-\(u_{n}=\sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k^{2}}\);
11-\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} A r c \tan \left(\frac{2}{k^{2}}\right)\);
12-\(u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{3 k-1}{2 k+1}\);
13-\(u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{3^{k}-5^{2 k}}{\pi^{k+1}}\);
14-\(u_{n}=\sum_{k=0}^{n} 3^{2 k} .5^{2-k}\);
15-\(u_{n}=\prod_{k=1}^{n} 2^{k} . \pi^{-k}\).
Exercice 2: (Critère de d’Alembert ).
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite numérique.
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\)
on pose \(: S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}\).
1) Montrer que:
si la suite \(\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge, alors la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(0 .\)
Donner un exemple montre que la réciproque est fausse.
2) On suppose que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est strictement positive et la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers un réel \(l<1\).
a) Montrer
qu’il ‘existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq N,\)
on a: \( u_{n} \leq\left(\frac{l+1}{2}\right)^{n-N} u_{N} \cdot\)
En déduire:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\)
b) Montrer que la suite \(\left(S_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) est convergente.
3) On suppose que:
la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers un \(l>1 .\)
Montrer que:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}=+\infty\)
4) Application: Soit \(a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\).
Calculer:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a^{n}}{n !}\).
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a^{n}}{n^{n}}\).
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n !}{n^{n}}\).
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a^{n}}{n !}\).
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(2 n) !}{(n !)^{2}}\).
Exercice 3: (Moyenne de Césaro).
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite réelle.
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on pose \(: S_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} u_{k}\)
1) Montrer que:
si \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=l\) alors \(\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}=l\).
2) Montrer que:
si \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty\) alors \(\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}=+\infty\).
Exercice 4:
Soient \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) les deux suites numériques définies par:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k !}\) et \(v_{n}=u_{n}+\frac{1}{n \times n !}\)
1) Montrer que:
les suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in N}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) sont adjacentes. On note \(e\) leur limite commune.
2) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*} ; n ! u_{n}<n ! e<n ! u_{n}+\frac{1}{n}\).
On en déduire que: \(e \notin \mathbb{Q}\).
Exercice 5:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite numérique définie par:
\(s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k} .\)
Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on pose \(: \alpha_{n}=s_{2 n}\) et \(\beta_{n}=s_{2 n+1}\)
1) Montrer que:
les suites \(\left(\alpha_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) et \(\left(\beta_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) sont adjacentes.
2) Montrer que:
la suite \(\left(s_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) est convergente.