Exercice 1:
On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par:
\(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{1+u_{n}}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)
1) Etudier la variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\) par \(f(x)=\frac{1}{1+x}\).
2) Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on pose \(: \alpha_{n}=u_{2 n}\) et \(\beta_{n}=u_{2 n+1}\)
a) Montrer que:
la suite \(\left(\alpha_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante et que la suite \(\left(\beta_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante.
b) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N} ; \alpha_{n} \leq \beta_{n}\)
3) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N} ; \frac{1}{2} \leq u_{n} \leq 1\)
4) Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*} ;\left|u_{n+1}-u_{n}\right| \leq \frac{1}{n}\).
5) Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente,
on déterminera sa limite.
Exercice 2:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur [0,1] par \(: f(x)=\frac{1}{4} \tan \left(\frac{1}{x+1}\right)\).
1) Montrer que:
\(f\) est dérivable sur [0,1] puis que \(: \forall x \in[0,1] ;\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \frac{1}{4 \cos ^{2}(1)}\).
2) Montrer que:
l’équation \(f(x)=x\) admet une unique solution \(\alpha \in] 0,1[\).
3) On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par:
\(\left.u_{0} \in\right] 0,1\left[\backslash\{\alpha\}\right.\) et \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N} ;\left|u_{n}-\alpha\right| \leq\left(\frac{1}{4 \cos ^{2}(1)}\right)^{n}\left|u_{0}-\alpha\right| .\) En déduire \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).
Exercice 3:
Soit \(f\) fonction définie sur l’intervalle \(]-1,+\infty\left[,\right.\)
tels que \(f(0)=0\) et \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x+1}\) pour tout \(]-1,+\infty[\)
On admet que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\)
et on considère la fonction numérique \(F\) définie sur \(] 0,+\infty[\) par:
\(F(x)=f(f(x)-1)\)
et la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in N^{*}}\) définie par:
\( u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1) f(k)}\)
1) Montrer que:
\(\forall k \in \mathbb{N}^{*} ; \frac{1}{(k+2) f(k+1)} \leq F(k+1)-F(k) \leq \frac{1}{(k+1) f(k)}\)
2) En déduire que:
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*} ; F(n+1)-F(1) \leq u_{n} \leq F(n+1)-F(1)+\frac{1}{2 f(1)}-\frac{1}{(n+2) f(n+1)}\)
3) Calculer:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).
Exercice 4:
Soit \(f\) une fonction numérique continue et strictement décroissante sur \([0,+\infty[.\)
On considère la suite\(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par : \(u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) .\) Montrer que \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente \(,\) on déterminera sa limite.
Exercice 5:
Soit f :[0,+∞[➝IR une fonction continue et \(F\) une primitive de \(f\) sur [0,+∞[➝IR.
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par:
\(u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k} F\left(\frac{k}{n}\right)\)
Montrer que:
\(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente,
on déterminera sa limite.
Exercice 6:
Soit \(f:\left[0,+\infty\left[\rightarrow \mathbb{R}\right.\right.\) une fonction continue. Pour tout n∊IN*, on pose:
\(u_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k} f(\frac{k}{n})\)
Montrer que:
\((u_{n})\) est convergente,on déterminera sa limite.
Exercice 7:
Soit \(f\) une fonction numérique dérivable sur \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) tel que \(f(0)=0\) et \(f^{\prime}\) est continue sur \([0,+\infty[\). \right.
On considère les suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définies par:
\(u_{n}=\sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k}\) et \(s_{n}=\sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{1}{n+k}\right)\)
1) Montrer que:
\(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente. On note \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=l\)
2) a) Montrer qu’il existe \(M \geq 0\) tel que:
\(\forall x \in[0,1] ;\left|f(x)-f^{\prime}(0) x\right| \leq M x^{2}\)m.
Exercice 8:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur[0,+∞[ par:
\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}\).
On considère la suite \(\left(s_{n}\right)_{n \in N^{*}}\) définie par:
\(s_{n}=\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)\).
1) Montrer que:
\(\forall x \in \mathbb{R}^{+} ;|f(x)-x| \leq \frac{x^{2}}{2}\).
2) En déduire que:
la suite \(\left(s_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\), est convergente et déterminer sa limite.