Suites Numériques 2 bac SM exercices Niv 3 série 3

Exercice 1:

On considère la suite numérique ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par:
$u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{1+u_n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$
1) Etudier la variation de la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par $f(x)=\frac{1}{1+x}$.

2) Pour tout $n\in \mathbb{N}$ on pose $:{\alpha }_n=u_{2n}$ et ${\beta }_n=u_{2n+1}$
a) Montrer que:
la suite ${\left({\alpha }_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante et que la suite ${\left({\beta }_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante.
b) Montrer que:
$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N};{\alpha }_n\le {\beta }_n$

3) Montrer que:
$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N};\frac{1}{2}\le u_n\le 1$

4) Montrer que:
$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast };|u_{n+1}-u_n|\le \frac{1}{n}$.

5) Montrer que:
la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente,
on déterminera sa limite.

Exercice 2:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur [0,1] par $:f(x)=\frac{1}{4}\tan \left(\frac{1}{x+1}\right)$.

1) Montrer que:
$f$ est dérivable sur [0,1] puis que $:\mathrm{\forall }x\in [0,1];|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{4{\cos }^2(1)}$.

2) Montrer que:
l’équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha \in ]0,1[$.

3) On considère la suite numérique ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par:
$u_0\in ]0,1[\mathrm{\setminus }\{\alpha \}$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
Montrer que:
$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N};|u_n-\alpha |\le {\left(\frac{1}{4{\cos }^2(1)}\right)}^n|u_0-\alpha |.$ En déduire $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$.

Exercice 3:

Soit $f$ fonction définie sur l’intervalle $]-1,+\mathrm{\infty }[,$
tels que $f(0)=0$ et $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}$ pour tout $]-1,+\mathrm{\infty }[$
On admet que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$
et on considère la fonction numérique $F$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par:
$F(x)=f(f(x)-1)$
et la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in N^{\ast }}$ définie par:
$u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1)f(k)}$

1) Montrer que:
$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{1}{(k+2)f(k+1)}\le F(k+1)-F(k)\le \frac{1}{(k+1)f(k)}$

2) En déduire que:
$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast };F(n+1)-F(1)\le u_n\le F(n+1)-F(1)+\frac{1}{2f(1)}-\frac{1}{(n+2)f(n+1)}$

3) Calculer:
$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$.

Exercice 4:

Soit $f$ une fonction numérique continue et strictement décroissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[.$ 
On considère la suite${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ définie par : $u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right).$ Montrer que ${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est convergente $,$ on déterminera sa limite.

Exercice 5:

Soit f :[0,+∞[➝IR une fonction continue et $F$ une primitive de $f$ sur [0,+∞[➝IR.
On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ définie par:
 $u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^{k}F\left(\frac{k}{n}\right)$ 

Montrer que:
${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est convergente, 
on déterminera sa limite.

Exercice 6:

Soit $f:[0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour tout n∊IN*, on pose:
$u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^{k}f(\frac{k}{n})$

Montrer que:
$(u_n)$ est convergente,on déterminera sa limite.

Exercice 7:

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ tel que $f(0)=0$ et $f^{\prime }$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. \right.
On considère les suites ${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ et ${\left(s_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ définies par:
$u_n=\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$ et $s_n=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{1}{n+k}\right)$

1) Montrer que:
${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est convergente. On note $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=l$

2) a) Montrer qu’il existe $M\ge 0$ tel que:
$\mathrm{\forall }x\in [0,1];|f(x)-f^{\prime }(0)x|\le M{x}^2$m.

Exercice 8:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur[0,+∞[ par:
$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}$. 
On considère la suite ${\left(s_n\right)}_{n\in N^{\ast }}$ définie par:
$s_n=\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right)$.

1) Montrer que:
$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{+};|f(x)-x|\le \frac{x^2}{2}$.

2) En déduire que:
la suite ${\left(s_n\right)}_{n\in \mathrm{N}}$, est convergente et déterminer sa limite.