Exercice 1:
Étudier la continuité de la fonction f dans les cas suivants:
1- \( f(x)=\frac{-3x}{x^{3}-1}\) en 1.
2- \( f(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}\) en +∞.
3- \( f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-2 x-4}{x+1}\) en -1.
4- \(f(x)=\frac{1-\sqrt{2} cos (x)}{1-\sqrt{2}sin (x)}\) en \(\frac{π }{4}\).
5- \( f(x)=\frac{cos (4 x)-1}{x^{2}}\) en 0.
6- \( f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}} sin ((x-1)^{2} π )\) en 1.
7- \( f(x)=cos (\frac{π x+1}{x})\) en -∞.
8- \( f(x)=\frac{cos (x^{2}-1)-1}{x^{4}-2 x^{2}+1}\) en 1.
9- \(f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}-(x+1)\) en +∞.
10- \(f(x)=\sqrt{x^{2}+3 x-1}+m x\) en -∞ ; m∈R.
11- \(f(x)=\frac{\sqrt{x+5}-x}{\sqrt{x^{2}-x}}\) en +∞.
12- \(f(x)=\frac{\sqrt{3}cos (x)-sin (x)}{3x-π }\) en \(\frac{π }{3}\).
13- \(f(x)=\frac{sin (x-\frac{π }{4})}{cos (2x)}\) en \(\frac{π }{4}\).
Exercice 2:
Calculer:
1- \(\lim _{x➝1} \frac{2 x^{2}-x-1}{x^{3}-3 x^{2}+2}\).
2- \(\lim _{x➝0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-x}\).
3- \(\lim _{x➝+∞} x-\sqrt{x^{2}+2 x}\).
4- \(\lim _{x➝+∞} x-\sqrt{x^{2}+2 x}\).
5- \( \lim _{x➝-∞} 2 x+\sqrt{4 x^{2}+1}\).
6- \( \lim _{x➝\frac{π }{6}} \frac{1-2 \sin x}{\sqrt{3}-2 \cos x}\).
7- \(\lim _{x➝0} \frac{\tan ^{2} x}{\sin ^{2} 3 x}\).
8- \(\lim _{x➝+∞} \frac{x^{3}+\sin x}{x^{2}+1}\).
9- \(\lim _{x➝+∞} \frac{2}{x^{2}}(5+\sin x)\).
10- \( \lim _{x➝+∞} (x+1) sin(\frac{1}{x})\).
Exercice 3:
Soit \(g\) une fonction définie par:
\(g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{4 x+1} & , \text { si } x ≥2 \\ x^{2}-2 x+3 & , \text { si } x<2\end{array}\right.\)
1- Montrer que:
\(g\) est continue sur les deux intervalles [2;+∞[et }]-∞;2[.
2- Montrer que:
\(g\) est continue à gauche en 2
3- Déduire que:
\(g\) est continue sur IR.
Exercice 4:
Soit \(f\) une fonction définie par:
\(\left\{\begin{array}{ll}f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-5 x-2}{x-2} & \text { si } x≠2 \\ f(2)=a & , a \in \mathbb{R}\end{array}\right.\)
1- Montrer que:
\(x^{3}+x^{2}-5x-2=(x-2)(x^{2}+3x+1)\).
2- Calculer:
\(\lim _{x➝2} f(x)\).
3- Déterminer:
la valeur de \(a\) sachant que \(f\) est continue en 2
Exercice 5:
Étudier la continuité de la fonction f en \(x_{0}=1\) dans les cas suivants:
1- \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{-4\left(x^{2}+x-2\right)}{3 \sqrt{1-x}} & \text { si } x<1 \\ \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1} & \text { si } x>1 \\ 0 & \text { si } x=1 \end{array}\right.\)
2- \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin \left(x^{2}-1\right)}{x-1} & \text { si } x>1 \\ \cos \left(\frac{π }{2} x\right) & \\ \frac{x-1}{2} & \text { si } x<1 \\ & \text { si } x=1\end{array}\right.\)
Exercice 6:
Soit \(f\) la fonction définie sur IR-{3} par:
\(\left\{\begin{array}{ll}f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { si } ; x<3 \\ f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x+6}-3}, & \text { si } ; x>3\end{array}\right.\)
La fonction \(f\) est elle prolongeable par continuité en 3?
Exercice 7:
Soit f la fonction définie par:
\(\left\{\begin{array}{ll}f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}, & \text { si } ; x ≤ 0 \\ f(x)=\frac{2-2 \cos x}{x^{2}}, & \text { si ; } x>0\end{array}\right.\)
1- Etudier la continuité de \(f\) en 0.
2- Montrer que pour tout x>0; \(0 ≤ f(x) ≤ \frac{4}{x^{2}}\).
en déduire:
\(\lim _{x➝+∞} f(x)\)3- Calculer \(\lim _{x➝-∞} f(x)\).
Exercice 8:
Soit \(f\) la fonction définie sur \IR- par:
\(f(x)=\frac{x^{2}+\sin (x)}{x}\)
Montrer que:
\(f\) est prolongeable par continuité en 0 et déterminer son prolongement.
Exercice 9:
Soit \(f\) la fonction définie par:
\(f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x}\)
La fonction \(f\) est-elle prolongeable par continuité en \(0 ?\)
Exercice 10:
Soit \(f\) la fonction définie par: \(\left\{\begin{array}{ll}f(x) & =\frac{x^{2}-x-a}{|x+1|-1} \text { si } x<0 \\ f(x) & =\frac{b(x+2)}{x-1} \text { si } x>0 \\ f(0) & =c\end{array}\right.\)
Déterminer:
les nombres a,b, et c pour que la fonction f soit continue en 0.