Exercice 1
Pour chacun des énoncés suivants, indiquer la valeur de vérité:
1 (s’il est vrai) ou bien 0 (s’il est faux)
et faire la discussion lorsque le cas s’impose :
E1 : le milieu de [AB] est aligné avec A et B.
E2 : deux droites non parallèles sont sécantes.
E3 : (a+b) et (ab) sont pairs lorsque a et b sont deux entiers de même parité.
E4 : a+b≥ab .(Justifier en particulier le fait que E2 et E4 ne sont pas des assertions)
2- Combien y aura-t-il d’issues possibles si on considère trois assertions P, Q et R simultanément ?
Dresser la table de vérité qui schématise cette situation.
Exercice 2
Écrire en langage formalisé:
1- L’équation cos x=0 possède au moins une solution réelle.
2- Tout réel possède un inverse.
3- Tout multiple de 4 et 6 est multiple de 24.
4- Il existe au moins un réel x tel que pour tout réel y, si x<y alors f (x)>f (y).
Exercice 3
1- Proposer deux conjonctions qui sont vraies et deux autres qui sont fausses.2- Donner la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes :
P: (3<5 et 4≠1+3)
Q: ( 5=3+2 et tout carré est un rectangle ).
R: ( le 1er mai on n’a pas classe et le 1er janvier on a cours ).
S: ( Rabat est la capitale du Maroc et Tripoli est la capitale du Liban ).
3- Proposer deux disjonctions qui sont vraies et deux autres qui sont fausses.
4- Donner la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes:
P: (3<5 ou 4≠1+3)
Q: (5=3+2 ou tout carré est un rectangle ).
R: ( le 1er mai on n’a pas classe ou le 1er janvier on a cours).
S: ( Rabat est la capitale du Maroc ou Tripoli est la capitale du Liban ).
5- Donner la négation de chacune des assertions ci-dessous:
P: ” la voiture de ton père est rouge ou bleue ”
Q: ” je n’ai qu’un seul ami ou deux ”
R: ” les voitures dont la puissance est quatre ou cinq chevaux payent la même taxe ”
Exercice 4
On considère les trois énoncés suivants:
P : tout réel admet une racine carrée.
Q : le carré d’un entier impair est un entier pair.
R : une équation du second degré peut admettre trois solutions.
L’implication [(P⋀Q)⇒R] est-elle vraie ou fausse ?
Exercice 5
1- Pour chacune des assertions ci-dessous, donner:
a) La valeur de vérité
b) La réciproque et sa valeur de vérité
p: (0×2≠0)⇒(2≠0).
q: ( 12 est pair)⇒(11 est premier)
R: (Un carré a quatre côtés isométriques)⇒(Un losange a quatre angles isométriques)
S: (Tout triangle isocèle est équilatéral) )⇒(Tout triangle isocèle est rectangle)
2- Donner la valeur de vérité de chacune des assertions ci-dessous:
p: (0×2≠0)⇔(2≠0)
q: ( 12 est pair)⇔( 11 est premier)
R: (Un carré a quatre côtés isométriques)⇔(Un losange a quatre angles isométriques)
S: (Tout triangle isocèle est équilatéral)⇔(Tout triangle isocèle est rectangle)
Exercice 6
Soit (a,b)∈IR⁺×IR⁺, Montrer, en utilisant le raisonnement direct, que:
Si a≤b alors \((a≤\frac{a+b}{2}≤b\) et \(a≤\sqrt{ab}≤b\))
Exercice 7
Montrer, en utilisant le raisonnement par disjonction des cas, que:
(∀ x ∈ IR) , |x -1| ≤ x²-x+1.
Exercice 8
Soient a et b deux réels positifs .
Montrer, en utilisant le raisonnement par l’absurde,
que: Si \(\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}\) alors a = b.
Exercice 9
Montrer, en utilisant le raisonnement par contraposée, que:
(∀ (x,y)∈IR²) (xy≠1 et x≠y) ⇒ \(\frac{x}{x²+x+1}≠\frac{y}{y²+y+1}\)
Exercice 10
Soit \(S_n=1²+2²+…+n² \) tel que (n∈IN)
Démontrer par récurrence que: \(S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Exercice 11
Écrire les assertions suivantes en langage formalisé :
P: Il existe un nombre réel strictement supérieur à tous les nombres entiers naturels.
Q: Le carré d’un nombre réel est positif.
R: Tout nombre entier naturel est pair ou impair.
S: Pour tout nombre réel, il existe au moins un entier relatif plus grand que lui.
2- Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes:
A: (∃x∈IN)(\(\sqrt{x}=4\))B: (∀x∈IR)((x-1)²≥0).
C: (∀x∈IN)(∃y∈IN)(x=3y).
D: (∀x∈Q)(∃y∈Q)(xy=1).
E: (∀x∈IR)(∃y∈IR) x²-2xy+3y²=0.
Exercice 12
Soient p, q et r trois assertions.
Montrer que :
[p⇒(q⇒r)] ⇔ [(p∧q))r ] et [p⇒q∨r )]⇔[(p∧ㄱq)⇒r]
On considère l’assertion suivante:
P: (∀x∈IR)(x<1⇒x²<1) .
Donner la négation de l’assertion P.
Puis étudier la vérité de l’assertion P.
Exercice 13
1- En utilisant le raisonnement par contraposée,
montrer que:
a- ((∀n∈IN), n est impair ⇒ n² est impair.
b- Soient a et b deux réels tel que a≠b Si a≠b
\(a≠\frac{-b}{4} alors \frac{2a-b}{a+b}≠-2\)
2- En utilisant le raisonnement par disjonction de cas,
montrer que:
a- pour tout entier naturel n, le nombre n(n+1)(n+2) est un multiple de 3 .
b- Résoudre dans IR l’équation suivante : x|x|+3x-4=0.3- En utilisant le contre exemple, montrer que les assertions suivantes sont fausses :
a- (∀x∈IR)(∀y∈IR) x²+1≥y²-1.
b- On considère la fonction f définie par: f (x)=x²-x.
f est une fonction paire ou impaire.
Exercice 14
1- Montrer que :
(∀(x,y)∈Q²) (x-y)∈Q
2- Montrer que:
(∀x∈IR⁺) (\(\frac{1}{1+\sqrt{x}}=1-\sqrt{x})\)⇒x=0
3- Montrer que pour tout entier naturel n,
le nombre 10ⁿ-1 est divisible par 9.
4- Montrer que:
(∀x∈IR)(\(x≠\sqrt{3}∧x≠-\sqrt{3}\))⇔\(\frac{4}{1+x²}≠1\)5- Montrer que:
(∀x∈IR)(∀y∈IR)(∀z∈IR)(x+y>2z)⇒(x>z)∨(y>z)
6- Montrer que:
(∀n∈IN*) \(\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}k² (-1)^{n+1}.\frac{n(n+1)}{2}\)
Exercice 15
Soient a et b deux nombres réels tel que :b≠2a
Montrer que: \(b≠\frac{1}{4}a⇒\frac{a+2b}{2a-b}≠\frac{6}{7}\)
2- Soient a et b deux nombres réels.
Montrer que: [(∀x∈IR), (a<xb<x))]⇒b≤a.
3- Montrer que : (∀n∈IN) \(\frac{n+1}{n+2}∉IN\)
4- Montrer que:
si un entier naturel n n’est pas divisible par 3 alors n²-1 est divisible par 3.
En déduire que ab(a²-b²) est divisible par 3 quel que soient les entiers naturels a et b.
5- Montrer que:(∀n∈IN*) \(\sum_{k=1}^{n} k×2^{k}=2+(n-1)×2^{n+1}\).
6- Soient a et b deux réels et soient α et β deux réels strictement positifs.
a- Montrer que : a <b⇒]a;b[≠∅.
b- Montrer que : ]a-α;b-α[∩ ]b-β;b-β[≠∅⇒|a-b|<α+β.