Etudes de fonctions : fonctions rationnelles

Activité 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormé R.
Soit A le point de coordonnées (1, 2). 
A chaque point M(x, 0) tel que (x >1),
on associe le point N de l’axe (Oy) des ordonnées 
de façon que A, M et N soient alignés
(voir figure ci-contre) :

On désigne par S(x) l’aire du triangle OMN.
1) a) Exprimer l’ordonnée de N en fonction de x.
b) En déduire que

b) En déduire x pour que l’aire de OMN soit minimale.
3) a) Déterminer les deux réels a et b tels que pour tout x > 1,

b) En déduire que la droite ∆ : y = x +1 est une asymptote à la courbe
représentative (C) de la fonction S au voisinage de +∞.
c) Tracer ∆ et (C) dans le repère .

Activité 2
Soit la fonction .
On désigne par C la courbe représentative de f 
dans un repère du plan

1) a) Donner une équation de C dans le repère 

b) En déduire que W est un centre de symétrie de la courbe C.
2) Etudier les variations de f et construire sa courbe C.

Activité 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormé R
Soit f la fonction définie par 

On désigne par C la courbe représentative de f.
1) a) Déterminer les réels a et b tels que :

2) Montrer que la courbe C possède un centre de symétrie que l’on précisera.
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Tracer C dans le repère 

5) Soit g la restriction de f à l’intervalle I = [2,+∞[.
a) Montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Soit g-1 la fonction réciproque de g.
Etudier la continuité, la dérivabilité et le sens de variation de g⁻¹ sur J.
c) Tracer la courbe représentative (C’) de g⁻¹ dans le repère

Activité 4
Soit la fonction f:R↦R 

et soit C sa courbe représentative dans repère orthonormé R’.
1) Etudier le sens de variation de f sur R .
2) a) Montrer que C admet une asymptote oblique D dont on donnera une équation
cartésienne.
b) Etudier la position de C par rapport à D.
3) Montrer que la courbe C possède un centre de symétrie I que l’on précisera et
donner une équation cartésienne de la tangente à C au point I.
4) a) Tracer  D, T et C dans le repère R’.
b) Construire la courbe représentative C’ de la fonction |f| à partir de celle de f 
 et préciser les éléments remarquables de C ‘.

Activité 5
Soit la fonction 

et soit Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé R.
1) Préciser l’ensemble de définition de g et étudier sa parité.
2) Etablir le tableau de variation de g sur ]0,+∞[.

En déduire que Cg admet deux asymptotes que l’on précisera.
b) Etudier la position de la courbe Cg par rapport à la droite ∆ : y = x .
4) Tracer Cg et ses asymptotes.
5) Soit la fonction h

 Construire la courbe représentative de h à partir de celle de g.

Activité 6
Soit la fonction

1) Préciser l’ensemble de définition D de f et calculer les limites de f aux bornes de D.
2) Montrer que Cf admet un axe de symétrie que l’on précisera.
3) En déduire que Cf admet trois asymptotes que l’on précisera.
4) Établir le tableau de variation de f.
5) Tracer Cf.
6) Soit la fonction.

a) Montrer que pour tout x de D:
g(x) = f(x) + k où k est une constante réelle que l’on précisera.
b) En déduire que la courbe Cg représentative de g s’obtient de celle de f par une
transformation géométrique simple que l’on caractérisera.
c) Tracer Cg dans le repère R.
d) Dresser le tableau de variation de g.
e) Construire, dans le repère R 
et avec une autre couleur, la courbe représentative de |g| .

Activité 7
Le plan est muni d’un repère orthonormé. 
On a représenté ci-contre 

la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur ]-2,5;2] .
1) a) Dresser le tableau de variation de f.
b) En déduire le signe de la dérivée f ‘ sur ]-2,5;2] .
c) Préciser le(s) extremum(s) relatif(s) éventuels de f sur ]-2,5;2] .
2) Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel k,
 le nombre des solution(s) de l’équation f(x) = k dans ]-2,5;2] .
3) Préciser le signe de l’expression [f(x) – (2x + 1)] pour x ∈ ]-2,5;2].
4) Sachant que pour tout x ∈ ]-2,5;2] on a:

déterminer les réels a, b et c.

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