⇲ Etude d’exemples de fonctions irrationnelles
Activité 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormé R.
Soit A le point de coordonnées (-2,0).
A chaque point M(x, 0) de l’axe des abscisses,
on associe le point N(0, y) de l’axe des ordonnées de façon que:
le triangle AMN soit rectangle en N ;
(voir figure ci-contre) :
1) Exprimer y en fonction de x.
2) On pose y = f(x).
Etudier et représenter graphiquement la fonction f
ainsi obtenue.
Activité 2
Soit la fonction
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé R.
du plan
1) Préciser l’ensemble de définition D de f et calculer les limites de f aux bornes de D.
2) Montrer que la droite
est un axe de symétrie de C.
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) a) Montrer que ∀x∈]0,+∞[ on a:
b) En déduire:
c) Montrer que ∀x∈]0,+∞[ on a:
est une asymptote oblique à C.
e) Montrer que C admet une autre asymptote oblique D’.
5) Tracer C et les droites ∆ , D et D’.
Activité 3
Soit la fonction
2) Etudier le comportement asymptotique de f au voisinage de (-∞) .
3) Dresser le tableau de variation de f sur R .
4) Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle J que l’on déterminera.
5) Calculer f -1(x) pour x élément de J.
6) Tracer les courbes représentatives de f et f -1 dans un repère orthonormé.
Activité 4
de D.
2) Etudier les variations de f.
3) Tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé R.
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