A) Calculs de base
1- Les fractions
Soient a, b, c et d quatre nombres réels tels que: b≠0 et d≠0
– \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⇔ad=bc\)
– \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\)
– \(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)
– \(\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}\)
– \(\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{b}\)
– \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}\)
2- Développement et factorisation
Soient a, b et k trois réels:
k(a+b)=k a+k b
k(a-b)=k a-k b
3- Puissances
Soient a un réel et n un entier naturel n∈IN
– \(a^{0}=1\)
– \(a^{n}=\underbrace{a×a×…×a}_{n fois}\) \;pour n≠0
– \(a^{n}=a×a^{n-1}\)
– \(a^{n+p}=a^{n}×a^{p}\)
– \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}=(\frac{1}{a}\)^{n}\)
– \(a^{n-p}=\frac{a^{n}}{a^{p}}\)
– \((a^{n})^{p}=a^{np}\)
4- Identités remarquables
Soient a et b deux réels.
\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\)
\((a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\)
\((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\)
\((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)
\((a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}\)
\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+a b+b^{2})\)
\(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-a b+b^{2})\)
\(a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+…+a^{2} b^{n-3}+a b^{n-2}+b^{n-1})\)
5- La racine carrée
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs:
– \(\sqrt{a}=b ⇔b^{2}=a\)
– \(\sqrt{a×b}=\sqrt{a}×\sqrt{b}\)
– \(\sqrt{a^{n}}=(\sqrt{a})^{n}\)
– \(\sqrt{(\frac{a}{b})}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
– L’équation \(x^{2}=a\) admet deux solutions:
\(x=\sqrt{a}\) ou \(x=-\sqrt{a}\)
– \((\sqrt{a})^{2}=a\)
– c un réel quelconque : \(\sqrt{c^{2}}=|c|\)
– Le conjuguais de \((\sqrt{a}-\sqrt{b})\) est \((\sqrt{a}+\sqrt{b})\)
Le conjuguais de \((\sqrt{a}+\sqrt{b})\) est \((\sqrt{a}-\sqrt{b})\)
\((\sqrt{a}-\sqrt{b}) \times(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b\)
2) Polynômes
Un polynôme s’écrit de la forme:
\(P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+…+a_{n} x^{n}\)
– Si \(P(x)\) est un polynôme de degré n alors pour tout réel α on a :
\(P({x})=(x-α)Q(x)+P(α)\) où Q(x) est un polynôme de degré (n-1)
si P(α)=0 on dit que α est une racine du polynôme P et on a :
P(x)=(x-α)Q(x) on dit que P(x) est divisible par: (x-α)
– Division Euclidienne (D.E)
3) L’ordre dans IR
a≤ b ⇔a-b≤ 0
– si a≤ b et k ≥ 0 alors k a≤ kb
– si a≤ b et \(k≤ 0 alors ka ≥ kb
\(si\left\{\begin{array}{l}a≤ b \\ c≤ d\end{array}\right.\) alors \(a+c≤ b+d\)
– si \(\left\{\begin{array}{l}0≤ a≤ b \\ 0≤ c≤ d\end{array}\right.\) alors \(a c≤ b d\)
– Si 0≤ a≤ x≤ b alors \(a^{2}≤ x^{2}≤ b^{2}\)
– Si a≤ x≤ b≤ 0 alors \(b^{2}≤ x^{2}≤ a^{2}\)
– Si \(\left\{\begin{array}{c}a≤ x≤ b \\ a≤ 0 \text { et } b ≥ 0\end{array}\right.\)
alors \(0≤ x^{2}≤ \sup \left(a^{2}, b^{2}\right)\)
– Si \(\left\{\begin{array}{l}a≤ x≤ b \\ c≤ y≤ d\end{array}\right.\)
alors inf (ac,ad,bc,bd)≤ xy≤ sup (ac,ad,bc,bd)
4) La valeur absolue
– |x|=x \si n ≥ 0
– |x|=-x si x≤ 0
– si A(x)≥ 0 alors |A(x)|=A(x)
– si A(x)<0 alors |A(x)|=-A(x)
– |xy|=|x|×|y|
– \(|x^{n}|=|x|^{n}\)
– \(|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}\)
5) Les intervalles
– x∈[a,b] ⇔ a≤ x≤ b
– x∈] a, b] ⇔ a<x≤ b
– x∈] a, b[⇔ a<x<b
– x∈[a,+∞[⇔ x ≥ a
– x∈]-∞,b[⇔ x<b
– si r ≥ 0 alors |x|≤ r ⇔ -r≤ x≤ r ⇔ x∈[-r, r]
– |x| ≥ r ⇔ x∈]-∞,-r] ∪[r,+∞[
6) Signe de: ax+b.
avec a≠0
7) Les trinômes : \(a x^{2}+b x+c\) (a ≠0)
Forme Canonique
\(f(x)=a x^{2}+b x+c=a(x+\frac{b}{2 a})^{2}-\frac{\Delta}{4 a}\)
c’est la forme canonique de f.
où \(\Delta=b^{2}-4 ac\) le discriminant du trinôme f.
8) les équations et les inéquations principales dans IR.
– |A(x)|=|B(x)| ⇔ A(x)=B(x) ou A(x)=-B(x).
– |A(x)|=B(x) ⇔ B(x) ≥0 et (A(x)=B(x) ou A(x)=-B(x)).
– \(\sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)}\) ⇔ \(\left\{\begin{array}{c}A(x) ≥ 0 \;et\; B(x) ≥ 0 \\ A(x)=B(x)\end{array}\right.\)
Applications
A- Resoudre dansIR les équations suivantes:
1. \(|2 x^{2}+2 x+1|=5\)
2. \(|2 x+1|=|x^{2}+x+1|\)
3. \(|x^{2}+x+2|=4 x-1\)
4. \(\sqrt[4]{3 x^{2}+x-4}=\sqrt{3 x+4}\)
5. \(\sqrt{x^{2}+x-2}=5 x+1\)
B- Résoudre dans IR les inéquations suivantes:
1. \(|2 x^{2}+2 x+1|≤ 5\)
2. \(|2 x+1| ≥|x^{2}+x+1|\)
3. \(|x^{2}+x+2|≤ 4 x-1\)
4. \(|x^{2}+x+2| ≥ x-1\)
\(5 . \sqrt{3 x^{2}+x-4}≤ \sqrt{3 x+4}\)
6. \(\sqrt{x^{2}+x-2}≤ 5 x+1\)
7. \(\sqrt{x^{2}+x-2} ≥ x+1\)
Exercice 1
Soient a et b deux réels strictement positifs.
On pose:
On pose:
\(m=\frac{a+b}{2}\), \(g=\sqrt{a b}\)
et \(h=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) et \(q=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\)
1) Montrer que: \(h≤ g≤ m≤ q\)
2) En déduire les résultats suivants:
a) \(a+\frac{1}{a} ≥ 2\)
2) En déduire les résultats suivants:
a) \(a+\frac{1}{a} ≥ 2\)
b) \(\frac{ab}{a+b}≤\frac{a+b}{4}\)
c) \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) ≥ 4\)
c) \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) ≥ 4\)
d) \(\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}≤ \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\)
Exercice 2
Soient x et y deux nombres réels tels que |x|<1 et |y|<1
Montrer que:
Soient x et y deux nombres réels tels que |x|<1 et |y|<1
Montrer que:
\(\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}≤ 2 \sqrt{1-(\frac{x+y}{2})^{2}}\)
Indication: Pour a ≥ 0 et b ≥ 0,
Indication: Pour a ≥ 0 et b ≥ 0,
on a: \(\frac{a+b}{2}≤ \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}})\)Exercice 3
1) Résoudre, dans IR, l’équation \(3 x^{2}-7 x+4=0\)
2) En déduire la résolution de chacune des équations suivantes:
a- \(3(\frac{2 x-1}{x-1})^{2}-7(\frac{2 x-1}{x-1})+4=0\)
b- \(3 x-7 \sqrt{x-2}-2=0\)
c- Résoudre dans IR, l’inéquation \((3 x^{2}-7 x+4)(x^{2}-4 x+4)≤ 0\)
1) Résoudre, dans IR, l’équation \(3 x^{2}-7 x+4=0\)
2) En déduire la résolution de chacune des équations suivantes:
a- \(3(\frac{2 x-1}{x-1})^{2}-7(\frac{2 x-1}{x-1})+4=0\)
b- \(3 x-7 \sqrt{x-2}-2=0\)
c- Résoudre dans IR, l’inéquation \((3 x^{2}-7 x+4)(x^{2}-4 x+4)≤ 0\)
Exercice 4
1) Résoudre dans IR, l’équation suivante \(x^{3}-2 x^{2}+x+2=0\)
2) En déduire la résolution dans IR, de l’équation:
\((\frac{x-1}{x})^{3}-2(\frac{x-1}{x})^{2}+(\frac{x-1}{x})+2=0\)
Exercice 5
1) Résoudre dans IR, l’équation \(6x^{2}-5 x-6=0\).
2) Résoudre dans IR, l’inéquation: \(\frac{5}{x}>6(1-\frac{1}{x^{2}})\)
Exercice 6
1) Résoudre dans IR l’équation: \(2x^{2}-x-6=0\).
2) Résoudre dans IR l’inéquation: \(2x^{2}-x-6 ≥ 0\).
3) En déduire les solutions de l’équation: \(2x^{2}-x-6=|x-2|\)
Exercice 7
1) Résoudre dans IR l’équation: \(8(x^{2}-7)^{2} -18(x^{2}-7)+1=0\).
1) Résoudre dans IR l’équation: \(8(x^{2}-7)^{2} -18(x^{2}-7)+1=0\).
2) Résoudre dans IR l’inéquation: \((x^{2}-x)^{2}-3(x^{2}-x)-18≤0\).
Exercice 8
1) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, \(x+\frac{1}{x} ≥ 2\).
2) Montrer que pour tout x de ]1,+∞[; \(\frac{x}{\sqrt{x-1}} ≥ 2\).
3) En déduire que pour tous a et b de ]1,+∞[:
\(\frac{a^{2}}{b-1}+\frac{b^{2}}{a-1} ≥ 8\).