I- Limite d’une fonction en un point
1. Rappel
Définition
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle I de IR, a∈I et l un réel donné.
On dit que la fonction 𝑓 tend vers le réel 𝑙 quand 𝑥 tend vers 𝑎 si :
(∀𝜀 > 0)(∃𝛼 > 0)(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 )(0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛼 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀
On note alors : \(\lim _{x➝a} f(x)=l\).
Exemple
\(f(x)=2 x^{2}+3 x+1\)
Démontrer par définition que \(\lim _{x➝ 1} f(x)=6\)
\(\lim _{x➝ 1} f(x)=6\)
⇔ (∀𝜀> 0)(∃𝛼> 0)(∀𝑥∈IR )
\(0<|x-1|<α ⇒ |f(x)-6|<𝜀\)
Soit 𝜀>0 on a
\(f(x)-6=2 x^{2}+2 x-5=(x-1)(2 x+5)\)
alors
\(|f(x)-6|=|(x-1)(2 x+5)|\)
soit \(I=]1-\frac{1}{2};1+\frac{1}{2}[\) un intervalle de centre 1 \(I=]\frac{1}{2};\frac{3}{2}[\)
x∈I
⇒ \(\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \\ |x-1|<\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
⇒\(\left\{\begin{array}{l}|x-1|<\frac{1}{2} \\ 6<2x+5<8 \end{array}\right.\)
⇒\(\left\{\begin{array}{l}|x-1|<\frac{1}{2} \\ |2x+5|<8 \end{array}\right.\)
⇒\(\left\{\begin{array}{l}|x-1|<\frac{1}{2} \\ |2x+5||x-1|<8|x-1| \end{array}\right.\)
⇒\(\left\{\begin{array}{l}|x-1|<\frac{1}{2} \\ |f(x)-6|<8|x-1| \end{array}\right.\)
Pour que |f(x)-6|<𝜀
il suffit que: \(\left\{\begin{array}{l}|x-1|<\frac{1}{2} \\ 8|x-1|<𝜀 \end{array}\right.\)
⇒ |x-1|<\(\frac{𝜀}{8}\)
alors on pose 𝛼=inf (\(\frac{1}{2};\frac{𝜀}{8})\)
Par suite:
(∀𝜀> 0)(∃𝛼=inf(\(\frac{1}{2};\frac{𝜀}{8})\)> 0) (∀𝑥∈IR )
\(0<|x-1|<α ⇒ |f(x)-6|<𝜀\)
2. L’unicité de la limite
Propriété
Si une fonction f admet une limite l∈IR en un point a, cette limite est unique.
Démonstration
supposons qu’il existe deux limites 𝑙₁ et 𝑙₂ tel que 𝑙₁≠𝑙₂
on a:
\(\lim_{x➝a} 𝑓(𝑥)=𝑙₁\)
⇔ (∀𝜀>0)(∃𝛼₁>0)(∀𝑥∈𝐷𝑓 )(0<|𝑥 − 𝑎|<𝛼₁ ⇒ |𝑓(𝑥)−𝑙₁| < 𝜀
\(\lim _{x➝a} 𝑓(𝑥)=𝑙₂\)
⇔ (∀𝜀 > 0)(∃𝛼₂>0)(∀𝑥∈𝐷𝑓)(0<|𝑥 − 𝑎|<𝛼₂ ⇒ |𝑓(𝑥)−𝑙₂| < 𝜀
On prend 𝜀=\(\frac{|𝑙₂-𝑙₁|}{2}) >0\)
On a: |𝑙₂-𝑙₁|= |𝑙₂−𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)−𝑙₁|≤|𝑙₂−𝑓(𝑥)|+|𝑓(𝑥)−𝑙₁|
⇔ \(|𝑙₂-𝑙₁|<𝜀+𝜀=(\frac{|𝑙₂-𝑙₁|}{2})+(\frac{|𝑙₂-𝑙₁|}{2})\)
⇔ |𝑙₂-𝑙₁|<|𝑙₂-𝑙₁| qui est absurde.
donc: 𝑙₂=𝑙₁.
3. Limites des fonctions usuelles
Soit P et Q deux polynômes et a un nombre réel.
On a:
1) \(\lim_{x➝a} P(x)=P(a)\)
2) si Q(x)≠0 alors \(\lim _{x➝a} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}\)
3) \(\lim_{x➝a} sin(x)=sin(a)\)
4) \(\lim_{x➝a} cos(x)=cos(a)\)
5) Si a≠\(\frac{π}{2}\)+kπ avec k∈Z: \(\lim _{x➝a} tan(x)=tan(a)\)
6) Si a>0 alors \(\lim _{x➝a} \sqrt{x}=\sqrt{a}\)
7) \(\lim_{x➝0}\frac{sin(x)}{x}=1\)
8) \(\lim_{x➝0}\frac{1-cos(x)}{x²}=\frac{1}{2}\)
9) \(\lim_{x➝0}\frac{tan(x)}{x}=1\)
4. Opérations sur les limites
Propriété
soient f et g deux fonctions et a un nombre réel
tel que \(\lim_{x➝a} f(x)=l\) et \(\lim _{x➝a} g(x)=l’\)
On a:
1) \(\lim_{x➝a}(f+g)(x)=l+l’\)
2) \(\lim_{x➝a}(f×g)(x)=l×l’\)
3) si \(l’≠ 0\) alors \(\lim_{x➝a}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{l’}\)
4) si \(l’≠ 0\) alors \(\lim_{x➝a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l}{l’}\)
II- Continuité d’une fonction numérique
1) La continuité en un point
La courbe représentative d’une fonction continue se trace sans lever le crayon.
Définition
Soit une fonction 𝑓 définie sur un intervalle I contenant un réel 𝑎.
* f est continue en 𝑎 si \(\lim _{x➝𝑎} 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎)\)
(∀𝜀 > 0)(∃𝛼 > 0)(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 )(0 <|𝑥 − 𝑎| < 𝛼 ⇒ |𝑓(𝑥) −𝑓(𝑎)| < 𝜀
* si f est définie en un point a et f n’admet pas une limite en ce point ou la limite est infinie alors on dit que la fonction f est discontinue en a.
Exemples
1. Soit 𝑓 la fonction définie sur IR par\(\left\{\begin{array}{l}𝑓(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{x-1} \text { si } x≠1 \\ f(1)=-3\end{array}\right.\)
Montrons que 𝑓 est continue en 1.
\(\lim _{x➝ 1} f(x)=\lim _{x➝ 1} \frac{x^{2}-5 x+4}{x-1}\)
\(=\lim _{x➝1} \frac{(x-1)(x-4)}{x-1}\)\(=\lim _{x➝1} x-4=-3\)
\(\lim _{x➝1} f(x)=f(1)=-3\)
donc 𝑓 est continue en 1
2. Soit g la fonction définie par :\(\left\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{\sin (x-2)}{x^{2}-2 x} \text { si } x≠0 \text { et } x≠2 \\ g(2)=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
Étudions la continuité de g en 2
\(\lim _{x➝2} g(x)=\lim _{x➝1} \frac{\sin (x-2)}{x^{2}-2 x}\)
=\(\lim _{x➝1} \frac{1}{x}(\frac{\sin (x-2)}{x-2})\)
= \(\frac{1}{2}=g(2)\)
donc la fonction g est continue en 2.
3. Soit h la fonction numérique définie sur l’intervalle[1;2] par h(x )=E (x) On représente la fonction h
On a
∀x∈[-1;0[ h(x)=-1
∀x∈[0;1[ h(x)=0
∀x∈[1;2[ h(x)=1h(2)=E (2)=2
On remarque que la courbe C de h est discontinue aupoint 0 et 1 et 2
et par suite la fonction h est discontinue au point 0,1 et 2.
Exercice
1. Soit f la fonction définie par:
\(\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{-2 x^{2}-x+1}{x+1} \text { si } x≠-1 \\ f(-1)=1\end{array}\right.\)
La fonction f est-elle continue en -1 ?
2. Soit g la fonction définie par:
\(\left\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{x+\tan 2 x}{\sin 3 x} ; x≠0 \\ g(0)=1\end{array}\right.\)
La fonction g est-elle continue en 0 ?
2. La continuité à gauche et la continuité à droite.
Définition
1) Soit f la fonction définie
sur un intervalle de la forme ]a-α;α] (α>0)
On dit la fonction f est continue à gauche en a
⇔ \(\lim _{x➝a^{-}} f(x)=f(a)\)
2) Soit f la fonction définie
sur un intervalle de la forme [a;a+α[ (α>0)
On dit la fonction f est continue à gauche en a
⇔ \(\lim _{x➝a^{+}} f(x)=f(a)\)
Exemples
Soit f la fonction définie par :
\(\left\{\begin{array}{l}
f(x)=3-x^{2} ; x≤0 \\
f(x)=\frac{x^{2}-3}{2 x-1} ; x>0
\end{array}\right.\)
Etudier la continuité de f à droite et à gauche de 0
On a
\(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)=\lim _{x➝ 0^{+}} \frac{x^{2}-3}{2 x-1}\)
=3=f(0).
donc f est continue à droite de 0
\(\lim _{x➝ 0^{-}} f(x)=\lim _{x➝ 0^{+}} 3-x^{2}\)
=3=f(0).
donc f est continue à gauche de 0.
Propriété
f est continue en a ⇔ f est continue à gauche et à droite en a
Exemples
Soit f la fonction définie par :
\(\left\{\begin{array}{l}
f(x)=3-x^{2} ; x≤0 \\
f(x)=\frac{x^{2}-3}{2 x-1} ; x>0
\end{array}\right.\)
Etudier la continuité de f à droite et à gauche de 0
On a
\(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)=\lim _{x➝ 0^{+}} \frac{x^{2}-3}{2 x-1}\)
=3=f(0).
donc f est continue à droite de 0
\(\lim _{x➝ 0^{-}} f(x)=\lim _{x➝ 0^{+}} 3-x^{2}\)
=3=f(0).
donc f est continue à gauche de 0.
Exercice
soit g la fonction définie par:\(\left\{\begin{array}{l}f(x)=x^{2}+2 x ; x \leq 1 \\ f(x)=a \frac{\sin (x-1)}{x-1} ; x>1\end{array}\right.\)
Déterminer la valeur de a pour que g soit continue en 1.
Réponse:
g est continue en 1⇔ \(\lim _{x➝ 1^{+}} g(x)=\lim _{x➝ 1^{-}} g(x)\)
Or On a:
\(\lim _{x➝ 1^{-}} g(x)=\lim _{x➝ 1^{-}} x^{2}+2 x\)
=3=g(1)
alors
\(\lim _{x➝ 1^{+}} g(x)=g(1)=3\)
⇔\(\lim _{x➝ 1^{+}} \frac{a sin (x-1)}{x-1}=3\)
on pose: t=x-1
donc
\(\lim _{x➝ 1^{+}} \frac{a sin (x-1)}{x-1}\)
=\(\lim _{t➝ 0} \frac{a \sin t}{t}=3\)
alors a=3.
3- Prolongement par continuité
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert,
sauf en un réel a de I.
Si f admet une limite finie l en a
alors la fonction g définie sur I par:
g(x)=\(\left\{\begin{array}{l}
f(x) ; x≠a \\
𝑙 ; x=a
\end{array}\right.\)
est continue en a.
on dit f est prolongeable par continuité en a et que g est son prolongement par continuité
Exemple
ssoit f la fonction définie sur IR* par :\(f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}\)
On a:1∉Df
et on a:
\(\lim _{x➝ 1} f(x)=\lim _{x➝ 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}\)
\(=\lim _{x➝ 1} \frac{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}{x-1}\)
\(=\lim _{x➝ 1} x^{2}+x+1=3\)
donc
f admet un prolongement par continuité en 1 définie par:
\(g(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x) & ; x \neq 1 \\ 3 & ; \quad x=1\end{array}\right.\)
Exercice
donner le prolongement par continuité de f en a dans les cas suivants:
1. \(f(x)=\frac{x^{3}-c^{3}}{x-c}\) avec c∈IR; a=c
2. \(f(x)=\frac{sin x}{x} ; a=0\)
3. \(f(x)=\frac{1-cos x}{x} ; a=0\)
4. La continuité d’une fonction sur un intervalle
Définition
f est continue sur I si f est continue en tout point de I
– f est continue sur ]a;b[ si f est continue en tout point de ]a;b[.
– f est continue sur [a;b[si f est continue en tout point de] a;b[ et continue à droite en a.
– f est continue sur [a;b] si f est continue en tout point de ]a;b[ et continue à droite en a et à gauche en b.
Exemple
* Les fonctions x➝|x|, \(x➝x^{n}(n∈N)\)
et plus généralement les fonctions polynômes sont continués sur IR.
* Les fonctions x➝sin x et x➝cos x sont continues sur IR.* La fonction \(x➝\sqrt{x}\) est continue sur [0;+∞[.
* La fonction \(x➝\frac{1}{x}\) est continue sur ]-∞;0[ et sur ] 0;+∞[.
Remarque
Les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
Exemple
On considère la fonction f définie sur IR par\(\left\{\begin{array}{l}f(x)=-x+2 \quad \text { pour } x<3 \\ f(x)=x-4 \quad \text { pour } 3≤ x<5 \\ f(x)=-2 x+13 \quad \text { pour } x ≥ 5\end{array}\right.\)
La fonction f est-elle continue sur IR?
Les fonctions \(x➝-x+2, x ➝x-4\) et \(x➝-2 x+13\) sont des fonctions polynômes donc continues sur IR.
Ainsi la fonction f est continue sur ]-∞; 3[, sur [3;5[ et sur [5;+∞[
Étudions alors la continuité de f en 3 et en 5 :
*\(\lim _{x➝ 3^{-}} f(x)=\lim _{x➝ 3}(-x+2)=-3+2=-1\)
\(\lim _{x➝ 3^{+}} f(x)=\lim _{x➝ 3^{3}}(x-4)=3-4=-1\)
\(\lim _{x➝ 3^{-}} f(x)=\lim _{x➝ 3^{+}} f(x)=f(3)\)
donc la fonction f est continue en 3.
* \(\lim _{x➝ 5^{-}} f(x)=\lim _{x➝ 5^{-}}(x-4)=5-4=1\)
\(\lim _{x➝ 5^{+}} f(x)=\lim _{x➝ 5^{+}}(-2×5+13)=-25+13=3\)
La limite de f en 5 n’existe pas.
On parle de limite à gauche de 5 et de limite à droite de 5.
La fonction f n’est donc pas continue en 5.
La fonction f est continue sur ]-∞ ; 5[ et sur \([5 ;+∞[.
5. Les opérations sur les fonctions continues
Propriété
Soient f et g deux fonctions continues définies sur un intervalle I,
soit un réel a∈Isi les fonctions f et g sont continués en a, alors1. La fonction λf est continue en a avec λ∈IR.2. La fonction f+g est continue en a.3. La fonction f×g est continue en a.4. La fonction \(\frac{f}{g}\) est continue en a si g (a)≠05. La fonction |f| est continue en a.6. – Si f (a)>0 alors la fonction \(\sqrt{f}\) est continue en a.- Si f (a)=0 et si f définie au voisinage de a alors la fonction \(\sqrt{f}\) est continue en a.
Exemples
1) Soit fla fonction définie par: \(f(x)=\frac{x^{2}-2 x+3}{2|x+1|-5}\)
On a \(D_{f}=IR-{ -\frac{7}{2};\frac{3}{2}}\)
soit \(f_{1}(x)=x^{2}-2 x+3\) et \(f_{2}(x)=2|x+1|-5\)
\(f_{1}\) est continue sur IR car c’est une fonction polynôme en particulier est continue sur \(D_{f}\).
\(f_{2}\) est continue sur IR (car c’est la somme de deux fonctions continues sur IR en particulier est continue sur \(D_{f}\)
et tel que ∀ x∈\(D_{f}\): \(f_{2}(x)≠0\)
alors la fonction \(f=\frac{f_{1}}{f_{2}}\) est continue sur \(D_{f}\)
2) Soit g la fonction définie par: \(g(x)=\sqrt{x^{2}+1}sin x\)On montre que g est continue sur IR Comme la fonction \(x➝x^{2}+1\) est continue et positive sur IR
alors la fonction \(x➝\sqrt{x^{2}+1}\) est continue sur IR.
La fonction x➝sin x est continue sur IR.
et par suite la fonction g est continue sur IR.
Application
1) Soit fla fonction définie par \(f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{4-x}\)Démontrer que la fonction \(\mathrm{f}\) est continue sur [2;4]
2) Etudier la continuité de la fonction \(x➝x E(x)\) sur l’intervalle [0;2].
6. Composée de deux fonctions
A. Continuité de la composée de deux fonctions
Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a
et g une fonction définie sur un intervalle ouvert J contenant f(a).Si f est continue en a et g continue en e(a) alors la fonction gof est continue en a.
Démonstration
Soit 𝜀>0,
montrons qu’il existe 𝛼>0 tel que pour tout 𝑥∈I
|𝑥-𝑎|<𝛼 ⇒ |gof(𝑥)-gof(𝑎)|<𝜀
– g est continue en f(a) donc il existe β>0
tel que pour tout y∈J
|y-f(𝑎)|<𝛼 ⇒ |g(y)-g(f(𝑎))|<𝜀 ①
– f est continue en a
donc il existe 𝛼>0 tel que pour tout x∈I
|𝑥-𝑎|<𝛼 ⇒ |f(x)-(f(𝑎))|<𝜀 ②
soit x∈I tel que |𝑥-𝑎|<𝛼
alors d’après ② |f(x)-(f(𝑎))|<β
et d’après ① |g(y)-g(f(𝑎))|<𝜀
(en prenant y = f (x) )
ou encore |g(f(x ))-g(f(a))|<𝜀 . CQFD
Conséquence
Soient f et g sont deux fonctions.\(\left\{\begin{array}{l}f \; continue \; sur \; un \; intervalle \; I \; \\ g \; continue \; sur \; un \; intervalle \; J \;\\ f(I)⊂J \; \end{array}\right.\) ⇒ gof continue sur \(I\)
Remarque : si J=IR alors la troisième condition devient inutile
Exemples
Soit f la fonction définie par:f(x)=cos(2x²-3x+4
on montre que la fonction f est continue sur IR.
Comme les fonctions:
\(f_{1}\): x➝2x²-3x+4
et \(f_{2}\): x➝cos x sont continue sur IR.
et \(\f_{1}(IR)⊂IR\)
alors la fonction \(f=f_{2}of_{1}\) est continue sur IR.
2. Soit h la fonction définie sur IR par: h(x)=\sin(x²-3x)
Montrer que \(h\) est continue sur IR.Posons f(x)=x²-3x
On a: h(x)=sin(f(x)=(sin o f)(x)
donc h=sin o f
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est continue sur IR.
La fonction sinus est continue sur IR.
La composée de deux fonctions continues sur IR est une fonction continue sur IR.
Donc h est continue sur IR.
Exercice
Soit F la fonction définie sur ]0;2[ par: F(x)=tan(\(\\frac{(x-1)π}{2}\))
Montrer que est continue sur ]0;2[
Solution
Posons \(f(x)=\frac{(x-1) \pi}{2}\) et g(x)=tan x
On a:
pour tout x∈I=]0;2[
F(x)=tan (f(x))=g(f(x))=(gof)(x)
⇒ F=g o f
* f est continue ]0; 2[ (restriction d’une fonction polynôme)
* g est continue sur J=]\(-\frac{\pi}{2}\);\(\frac{\pi}{2}\)[x∈I=]0;2[⇔0<x<2 ⇔-1<x-1<1
⇔\(-\frac{\pi}{2}\)<f(x)<\(\frac{\pi}{2}\)
⇔f(x)∈J
Donc f(I)⊂J
Les trois conditions sont réalisées
donc F=gof est continue sur ]0;2[
Remarque
la propriété précédente reste valable à gauche et a droite en a et en +∞ et -∞
avec remplacement de l’intervalle I par un intervalle convenable.
Exemple
On considère la fonction f définie par
\(f(x)=cos(\frac{x}{\sqrt{x+1}-1})\)
On calcule \(\lim _{x➝0} f(x)\)
On a la fonction \(\lim _{x➝0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\)
=\(\lim _{x➝0} \sqrt{x+1}+1=2\)
et on a la fonction x➝cos x est continue en 2
alors \(\lim _{x➝0} f(x)=cos (2)\)
Application
\(\lim_{x➝+∞}(x-2\sqrt{x}+\frac{1}{x})^{3}\)
2. \(\lim_{x➝0} tan(\frac{πsin(x)}{3x})\)
3. \(\lim_{x➝-∞} tan(\frac{πx+1}{x+2})\)
B. Composée d’une fonction continue et d’une fonction admet une limite
Propriété
Soit f une fonction définie sur un ensemble I=]a-r;a+r[; (r>0)
et g une fonction définie sur un intervalle ouvert J de centre 𝑙 tel que f I)⊂J
Si \(\lim _{x➝a} f(x)=𝑙\) et g continue en 𝑙
alors lim gof(x)=g(𝑙)
Démonstration
Soit f une fonction définie sur un intervalle I
tel que \(\lim _{x➝a} f(x)=𝑙\) et a∉I
donc
f admet un prolongement par continuité \(f_{1}\) en a
et on a \(f_{1}(a)=𝑙\)Comme g est continue en 𝑙
alors
la fonction \(gof_{1}\) est continue en a
\(\lim _{x➝a} gof_{1}(x)=gof_{1}(a)\)
c -à -d \(\lim _{x➝a} gof (x)=g(𝑙)\)
Remarque
la propriété précédente reste valable à gauche et a droite en a et en +∞ et -∞
avec remplacement de l’intervalle I par un intervalle convenable.
Exemple
On considère la fonction f définie par
\(f(x)=cos(\frac{x}{\sqrt{x+1}-1})\)
On calcule \(\lim _{x➝0} f(x)\)
On a la fonction \(\lim _{x➝0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\)
=\(\lim _{x➝0} \sqrt{x+1}+1=2\)
et on a la fonction x➝cos x est continue en 2
alors \(\lim _{x➝0} f(x)=cos (2)\)
Application
1. \(\lim_{x➝+∞}(x-2\sqrt{x}+\frac{1}{x})^{3}\)
2. \(\lim_{x➝0} tan(\frac{πsin(x)}{3x})\)
3. \(\lim_{x➝-∞} tan(\frac{πx+1}{x+2})\)
C. Image d’un intervalle et d’un segment par une fonction continue
* Image d’un intervalle et d’un segment par une fonction continue
Exemple
on considère la fonction f définie par : f(x)=x².On a:
f([0,1])=[0,1] ; f([-1,0])=[0,1] ; f([-1,1])=[0,1] f(]-1,1])=[0,1] ; f([-1,1[)=[0,1] f(IR)=[0,+∞[
Propriété
Si une fonction numérique f est continue sur un intervalle
I alors son image par f est aussi ,un intervalle.
1) Si une fonction f est continue sur un segment [a;b]
alors son image par f est le segment [m;M] ou m et M sont, respectivement, les valeurs minimale et maximale de f sur le segment [a;b].Autrement dit
* L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
* L’image d’un segment par une fonction continue est un segment
Remarques
* si f est une fonction continue sur un intervalle I
alors I et f (I) sont des intervalles, mais ils ne sont pas nécessairement, de même type .* « f est une fonction continue sur le segment [a;b] » est une condition suffisante pour que l’image du segment [a;b] par la fonction f soit aussi un segment mais cette condition n’est pas nécessaire car on peut avoir l’image d’un segment [a;b] par une fonction non continue est un segment.
Exemple
On a : f est continue sur l’intervalle sur [-3;-1] et [-1;3].
f([-3;-1])=[1;4] et f([-3;-1])=]-1;5]
On a, aussi f n’est pas continue sur le segment [-2;1]
et on a: f([-2;1])=[1;2]
* Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone
Propriété
Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I,
calcule de f (I) selon le sens de monotonie de f et le type d’intervalle I:
* Si f est une fonction Strictement croissante sur I
f([a;b])=[f(a);f(b)] f([a;b[)=[f(a);\(\lim_{x➝b^{+}} f(x)\)[
f(]a;b])=]\(\lim_{x➝a^{+}} f(x)\);f(b)]
f(]a;b[)=]\(\lim_{x➝a^{+}} f(x)\);\(\lim_{x➝b^{-}} f(x)\)[
f([a;+∞[)=[f(a);\(\lim _{x➝+∞} f(x)\)[
f(]a;+∞[)=]lim_{x➝a^{+}} f(x);\(\lim_{x➝+∞} f(x)\)[
f(]-∞;a])=]\(\lim_{x➝-∞} f(x)\);f(a)]
f(]-∞;a[)=]\(\lim_{x➝-∞} f(x)\);\lim_{x➝a^{-}} f(x)\)[
f(]-∞;+∞[)=]\(\lim_{x➝-∞} f(x)\);\lim_{x➝+∞} f(x)\)[
* Si f est une fonction Strictement décroissante sur I
f([a;b])=[f(b);f(a)]
f([a;b[)=]\(\lim _{x➝b^{-}} f(x)\);f(a)]
f(]a;b])=[f(b);\(\lim _{x➝a^{+}} f(x)\)[
f(]a;b[)=]\(\lim _{x➝b^{-}} f(x)\);\(\lim _{x➝a^{+}} f(x)\)[
f([a;+∞[)=]\(\lim _{x➝+∞} f(x)\);f(a)]
f(]a;+∞[)=]\(\lim_{x➝+∞} f(x)\);lim_{x➝a^{+}} f(x)[
f(]-∞;a])=[f(a);\(\lim_{x➝-∞} f(x)\)[
f(]-∞;a[)=]\lim_{x➝a^{-}} f(x)\);\(\lim_{x➝-∞} f(x)\)[
f(]-∞;+∞[)=]\(\lim_{x➝+∞} f(x)\);\lim_{x➝-∞} f(x)\)[
Exemple
soit f la fonction numérique à variable réelle, définie par:
\(f(x)=\frac{x-3}{x-2}\)
on a \(D_{f}=]-∞;2[⋃]2;+∞[\)
et f continue sur \(D_{f}=]-∞;2[⋃]2;+∞[\)
(car c’est une fonction rationnelle)
et on a \(f ‘ (x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}>0\)
donc \(f\) est strictement croissante sur ]-∞; 2[ et sur ]2 ;+∞[
et on a
f(]2;+∞[)=]-∞ ; 1[ et f(]-∞ ;-3])=]1;\(\frac{6}{5}\)]
Application
1. Soit g la fonction définie par: \(g(x)=x^{2}-2 x+3\)
Déterminer les images des intervalles suivants:
I=]-∞;0] ; J=[1;2] ; K=[-1;2]
2. Soit a un nombre réel.
On considère la fonction f suivante: \(f(x)=\frac{ax+1}{x-3}\)
Déterminer a sachant que f(]3;4])=]9 ;+∞[
D. Théorème des Valeurs intermédiaires
Propriété
On considère la fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b].
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c)=k .
Démonstration
Comme f est continue sur [a ; b]
alors il existe deux nombres réel M et m
tel que f([a ; b])=[m;M]
comme f(a) et f(b) appartiennent à [m;M]
supposons que f(a)≤f(b)
donc [f(a);f(b)]⊂[m;M]
c -à-d [f(a);f(b)]⊂f([a ; b])
Donc
pour tout k compris entre f(a) et f(b)
c-à-d. k∈f([a;b])
Il existe au moins un réel c de [a;b] tel que: f(c)=k.
Conséquence
Dans ces conditions, l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans l’intervalle [a;b]
Cas particuliers
– Dans le cas où la fonction f est strictement monotone sur l’intervalle [a;b]
alors le réel c est unique.
– si f(a)×f(b)<0 alors 1 ‘équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]a,b[.
Si de plus f est strictement monotone sur I, alors c’est unique.
Exemple
On considère la fonction numérique f définie par:
\(f(x)=x^{3}-10 x+14\)
On a f est continue sur IR car c’est une fonction polynôme
donc est continue sur [1;3]On a f(1)=5 et f(3)=11.
Le nombre 8 est compris entre f(1) et f(3).
alors l’ équation f(x)=8 admet au moins une solution dans 1 ‘intervalle [1;3]
Application
1) On considère la fonction g définie par g (x)=1-x+sin(x)
Démontrer que l’ équation f(x)=0 admet au moins une solution dans
l’intervalle [π/2;π].
2) On considère la fonction h définie par: \(h(x)=x^{3}-^{2}+2\)
Montrer que
l’équation x∈IR, f (x)=0 admet une seule solution α.
Bay Prof. A.Afaadas
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