* Géométrie dans l’espace (3 points )
1) Montrer que \(\overrightarrow{AB} ∧ \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}\) et en déduire que 2x+2y+z+6=0 est une équation cartésienne du plan (ABC). (1)
2) On considère la sphère (S) dont une équation est x²+y²+z²-2x-2z-23=0.
Vérifier que la sphère S a pour centre Ω(1,0,1) et pour rayon R=5. (0.5)
3) a) Vérifier que \(\left\{\begin{matrix} x=2+4t\\ y=1 \\ z=2-3t \end{matrix}\right.\) ; t∈\(\mathbb{R}\) est une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC). (0.25)
b) Déterminer les coordonnées de H point d’intersection de la droite (Δ) et du plan (ABC. (0.5)
4) Vérifier que d(Ω,(ABC))=3, puis montrer que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un
cercle de rayon 4, dont on déterminera le centre. (0.75)
1) Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes l’équation : 2z²+2z+5=0. (0.75)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\), on considère la Rotation R de centre O et d’angle \(\frac{2π}{3}\).
a) Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(d=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\). (0.25)
b) On considère le point A d’affixe \(a=\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}i\) et le point B image du point A par la Rotation R . Soit b l’affixe du point B, montrer que \(b=d \times a\). (0.5)
3) Soit t la translation de vecteur\overrightarrow{OA} et C l’image de B par la translation t et c l’affixe de C.
a) Vérifier que c=a+b et en déduire que \(c=a(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\) (on pourra utiliser la question 2)b)). (0.75)
b) Déterminer arg(\(\frac{c}{a}\)) puis en déduire que le triangle OAC est équilatéral. (0.75)
* Dénombrement et probabilités (3 points )
Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher : cinq boules rouges portant les nombres
1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 et quatre boules blanches portant les nombres 1 ; 2 ; 2 ; 2.
Soient les événements:A : « les trois boules tirées sont de même couleur »
B : « les trois boules tirées portent le même nombre »
C : « les trois boules tirées sont de même couleur et portent le même nombre »
1) Montrer que p(A)=\(\frac{1}{6}\) , p(B)= \(\frac{1}{4}\)} et p(C)=\(\frac{1}{42}\). (1.5)
2) On répète l’expérience précédente trois fois avec remise dans l’urne des trois boules tirées après chaque tirage, et on considère la variable aléatoire X qui est égale au nombre de fois de réalisation de l’événement A.
a) Déterminer les paramètres de la variable aléatoire binomiale X. (0.5)
b) Montrer que p(X=1)=\(\frac{25}{72}\) et calculer p(X=2). (1)
* Etudes de Fonctions (11 points )
I)
Soit g la fonction numérique définie sur IR par : \(g(x)=e^x-x²+3x-1\).
Le tableau ci-contre est le tableau de variations de la fonction g.
1) Vérifier que g(0)=0. (0.25)
2) Déterminer le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]-∞,0] et [0,+∞[. (0.5)
II)
Soit f la fonction numérique définie sur IR par : \(f(x)=(x²-x)e^{-x}+x\)
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) ( unité : 1 cm )
1) a) Vérifier que: \(f(x)=\frac{x²}{e^x}-\frac{x}{e^x}+x\) pour tout x de IR puis montrer que \(\lim_{\substack{x\to+∞}} f(x) = +∞\). (0.5)
b) Calculer \(\lim_{\substack{x\to+∞}} f(x)-x = +∞\)puis en déduire que (C) admet une asymptote (D) au voisinage de +∞ d’équation y=x. (0.75)
c) Vérifier que: \(f(x)=\frac{x²-x+xe^x}{e^x}\). (0.5)
pour tout x de IR puis calculer \(\lim_{\substack{x\to-∞}} f(x) = +∞\).
d) Montrer que: \(\lim_{\substack{x➝-∞}} \frac{f(x)}{x} = -∞\) et interpréter le résultat géométriquement. (0.5)
2) a) Montrer (f (x)-x) et (x²-x) ont le même signe pour tout x de IR. (0.25)
b) En déduire que (C) est au dessus de (D) sur chacun des intervalles ]-∞,0] et [1,+∞[ et en dessous de (D) sur l’intervalle [0,1]. (0.5)
3)a) Montrer que \(f ‘ (x)=g(x)e^{-x}\) pour tout x de IR.(0.75)
b) En déduire que la fonction f est décroissante sur ]-∞,0] et croissante sur [0,+∞[. (0.5)
c) Dresser le tableau de variations de la fonction f. (0.25)
4)a) Vérifier que \(f » (x)=(x²-5x+4)e^{-x}\) pour tout x de IR. (0.25)
b) En déduire que la courbe (C) admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives 1 et 4. (0.5)
5) Construire (D) et (C) dans le même repère ((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) (on prend : f (4)≃4.2 ). (1)
6)a) Montrer que la fonction H:➝ \((x²+2x+2)e^{-x}\) est une primitive de la fonction h➝ \(x²e^{-x}\) sur IR puis en déduire que \(\int_{0}^{1} x²e^{-x}dx=\frac{2e-5}{e}\). (0.5)
b) A l’aide d’une intégration par parties montrer que \(\int_{0}^{1} xe^{-x}dx=\frac{e-2}{e}\). (0.75)
c) Calculer en cm² l’aire du domaine plan limité par (C) et (D) et les droites d’équations x=0
et x=1. (0.75)
III)
Soit \((U_{n})\) la suite numérique définie par : \(U_{n+1} = f(U_{n} )\) pour tout n de IN
1) Montrer que \( 0≤U_{n}≤ 1\)pour tout n de IN ( on pourra utiliser le résultat de la question II)3)b)). (0.75)
2) Montrer que la suite\((U_{n})\) est décroissante. (0.5)
3) En déduire que \((U_{n})\) est convergente et déterminer sa limite.(0.75)