Olympiade Math Algèbre Niveaux 01 Devoir 01

$Olympiade Math Algèbre$

Exercice 1: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que: $\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} \geq x + y + z$ .

Exercice 2: (2 points)
x,y deux nombres réels strictement positifs.
Montrez que: $\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{x y}$ .

Exercice 3: (2 points)
x,y deux nombres réels tel que: x + y = 1.
Montrez que: xy ≤ 1/4.

Exercice 4: (2 points)
x,y,z trois nombres réels positifs tel que: 2(z²-y²) = 3x².

Trouvez le plus grande de ces trois nombres.

Exercice 5: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs
Montrer que: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8 xyz.

Exercice 6: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que: $\frac{x y}{z} + \frac{y z}{x} + \frac{z x}{y} \geq x + y + z$ .

Exercice 7: (2 points)
x,y,z trois nombres réels non nul tel que: (x+y+z)² = x²+y²+z²
Montrer que: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{Z} = 0$ .

Exercice 8: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que: $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{Z}) \geq 9$ .

Exercice 9: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que:

\frac{x + y}{z} + \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y} \geq 6

.

Exercice 10: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs et m ∊ IR.
Tel que xyz = 1 et

\frac{2 m x}{x y + x + 1} + \frac{2 m y}{y z + y + 1} + \frac{2 m z}{z x + z + 1} = 1

.
Montrer que:

m = \frac{1}{2}

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