Exercice 1: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que: \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} ≥ x+y+z\).
Exercice 2: (2 points)
x,y deux nombres réels strictement positifs.
Montrez que: \(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2} ≤ \frac{1}{xy}\).
Exercice 3: (2 points)
x,y deux nombres réels tel que: x + y = 1.
Montrez que: xy ≤ 1/4.
Exercice 4: (2 points)
x,y,z trois nombres réels positifs tel que: 2(z²-y²) = 3x².
Exercice 5: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs
Montrer que: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8 xyz.
Exercice 6: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} ≥ x+y+z\).
Exercice 7: (2 points)
x,y,z trois nombres réels non nul tel que: (x+y+z)² = x²+y²+z²
Montrer que: \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{Z}=0\).
Exercice 8: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que: \((x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{Z})≥ 9\).
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que: \(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y} ≥ 6\).
Exercice 10: (2 points)
x,y,z trois nombres réels strictement positifs et m ∊ IR.
Tel que xyz = 1 et \(\frac{2mx}{xy+x+1}+\frac{2my}{yz+y+1}+\frac{2mz}{zx+z+1}=1\).
Montrer que: \(m=\frac{1}{2}\).
Olympiade Math Algèbre Niveaux 01 Devoir 01