Examen Mathématique bac 2 Pc & Svt 2017 Session Rattrapage
⇲ Géométrie : (3 points )
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (\(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (\(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\)
On considère la sphère (S) d’équation:x²+y²}+z²-2x-2y-2z-1=0 et le plan (P) d’équation y-z=0.
1) a) Montrer que la sphère (S) a pour centre le point \(\Omega(1,1,1)\) et pour rayon 2. (0.5)
b) Calculer \(d(\Omega,(P))\) et en déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (C). (0.5)
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle (C). (0.5)
2) Soit \((\Delta)\) la droite passant par le point A(1,-2,2) et orthogonale au plan (P).
a) Montrer que \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur directeur de la droite (\(\Delta)\). (0.25)
b) Montrer que \(\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}\|\vec{u}\|\) et en déduire que la droite \((\Delta)\) coupe la sphère (S) en deux points. (0.75)
c) Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite \((\Delta)\) et de la sphère (S). (0.25)
b) Calculer \(d(\Omega,(P))\) et en déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (C). (0.5)
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle (C). (0.5)
2) Soit \((\Delta)\) la droite passant par le point A(1,-2,2) et orthogonale au plan (P).
a) Montrer que \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur directeur de la droite (\(\Delta)\). (0.25)
b) Montrer que \(\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}\|\vec{u}\|\) et en déduire que la droite \((\Delta)\) coupe la sphère (S) en deux points. (0.75)
c) Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite \((\Delta)\) et de la sphère (S). (0.25)
⇲ Probabilité : (3 points )
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher :
Cinq boules blanches , trois boules rouges et deuxboules vertes (Voir figure ci-contre )
Cinq boules blanches , trois boules rouges et deuxboules vertes (Voir figure ci-contre )
On tire au hasard, simultanément, quatre boules de l’urne.
1) Soit A l’événement : » Parmi les quatre boules tirées, une seule boule est verte « . et B l’événement: » Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement trois boules de même couleur « .
Montrer que p(A)=\(\frac{8}{15}\) et que p(B)=\(\frac{19}{70}\). (1.5)
2) Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules vertes tirées.
a) Montrer que p(X=2)=\(\frac{2}{15}\). (0.5)
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et montrer que l’espérance. (1)
mathématique E(X) est égale à \(\frac{4}{5}\).
⇲ complexes : (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation: \(z^{2}+4 z+8=0\). (0.75)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c telles que a=-2+2i, b=4-4i et c=4+8i.
a) Soit z l’affixe d’un point M du plan et \(z^{\prime}\) l’affixe du point \(M^{\prime}\) image de M par la rotation R de centre A et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\) Montrer que \(z^{\prime}=-iz-4\). (0.5)
b) Vérifier que le point B est l’image du point C par la rotation R et en déduire la nature du triangle ABC. (0.75)
3) Soit \(\omega\) l’affixe du point \(\Omega\), milieu du segment [BC].
a) Montrer que \(|c-\omega|=6\). (0.5)
b) Montrer que l’ensemble des points M d’affixe z tels que \(|z-\omega|=6\) est le cercle circonscrit au triangle ABC. (0.5)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c telles que a=-2+2i, b=4-4i et c=4+8i.
a) Soit z l’affixe d’un point M du plan et \(z^{\prime}\) l’affixe du point \(M^{\prime}\) image de M par la rotation R de centre A et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\) Montrer que \(z^{\prime}=-iz-4\). (0.5)
b) Vérifier que le point B est l’image du point C par la rotation R et en déduire la nature du triangle ABC. (0.75)
3) Soit \(\omega\) l’affixe du point \(\Omega\), milieu du segment [BC].
a) Montrer que \(|c-\omega|=6\). (0.5)
b) Montrer que l’ensemble des points M d’affixe z tels que \(|z-\omega|=6\) est le cercle circonscrit au triangle ABC. (0.5)
⇲ Suites: (2.5 points )
On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)\) définie par:
\(u_{0}=17\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{4} u_{n}+12\) pour tout entier naturel n.
1) a) Montrer par récurrence que \(u_{n}>16\) pour tout entier naturel n. (0.5)
b) Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante et en déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente. (0.5)
2) Soit \(\left(v_{n}\right)\) la suite numérique telle que \(v_{n}=u_{n}-16\) pour tout entier naturel n.
a) Montrer que \(\left(v_{n}\right)\) est une suite géométrique. (0.5)
b) En déduire que \(u_{n}=16+\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\) pour tout entier naturel n, puis déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\). (0.5)
c) Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle \(u_{n}<16,0001\). (0.5)
On considère la suite numérique \(\left(u_{n}\right)\) définie par:
\(u_{0}=17\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{4} u_{n}+12\) pour tout entier naturel n.
1) a) Montrer par récurrence que \(u_{n}>16\) pour tout entier naturel n. (0.5)
b) Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante et en déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente. (0.5)
2) Soit \(\left(v_{n}\right)\) la suite numérique telle que \(v_{n}=u_{n}-16\) pour tout entier naturel n.
a) Montrer que \(\left(v_{n}\right)\) est une suite géométrique. (0.5)
b) En déduire que \(u_{n}=16+\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\) pour tout entier naturel n, puis déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\). (0.5)
c) Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle \(u_{n}<16,0001\). (0.5)
⇲ Etude de Fonction : (8.5points )
I- Soit g la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(g(x)=1-(x+1)^{2} e^{x}\)
1) Vérifier que g(0)=0. (0.25)
2) A partir de la courbe représentative \(\left(C_{g}\right)\) de la la fonction g ( voir figure ci-contre )
Montrer que:
\(g(x) \geq 0\) pour tout x appartenant à \(]-\infty, 0]\) et que \(g(x) \leq 0 \) pour tout x appartenant à \([0,+\infty[\). (1)
II- On considère la fonction numérique f définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x)=x+1-\left(x^{2}+1\right) e^{x}\) Soit \(\left(C_{f}\right)\) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (unité: 2 \(\mathrm{cm}\) )
1) a) Vérifier que \(f(x)=x+1-4\left(\frac{x}{2} e^{\frac{x}{2}}\right)^{2}-e^{x}\) pour tout x appartenant à \(\mathbb{R}\) puis en déduire que \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\). (0.75)
b) Calculer \(\lim _{x \rightarrow -\infty}[f(x)-(x+1)]\).
1) a) Vérifier que \(f(x)=x+1-4\left(\frac{x}{2} e^{\frac{x}{2}}\right)^{2}-e^{x}\) pour tout x appartenant à \(\mathbb{R}\) puis en déduire que \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\). (0.75)
b) Calculer \(\lim _{x \rightarrow -\infty}[f(x)-(x+1)]\).
en déduire que la droite (D) d’équation y=x+1 est asymptote à la courbe \(\left(C_{f}\right)\) au voisinage de \(-\infty\). (0.5)
c) Montrer que la courbe \(\left(C_{f}\right)\) est en dessous de la droite (D). (0.25)
2) a) Montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\) ( on pourra écrire f(x) sous la forme \(x\left[1+\frac{1}{x}-\left(x+\frac{1}{x}\right) e^{x}\right]\)). (0.5)
b) Montrer que la courbe \(\left(C_{f}\right)\) admet, au voisinage de \(+\infty\), une branche parabolique dont on déterminera la direction. (0.25)
3) a) Montrer que \(f^{\prime}(x)=g(x)\) pour tout x appartenant à \(\mathbb{R}\). (0.75)
b) Montrer que la fonction f est croissante sur \(]-\infty, 0]\) et décroissante sur \([0,+\infty[\) puis dresser le tableau de variations de la fonction f sur \(\mathbb{R}\). (0.75)
c) Montrer que la courbe \(\left(C_{f}\right) admet deux points d’inflexion d’abscisses -3 et -1. (0.75)
4) Construire, dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), la droite (D) et la courbe \(\left(C_{f}\right)\) ( On prendra \(f(-3) \approx-2,5\) et \(f(-1) \approx-0,75)\). (1)
5) a) Vérifier que \(H: x \mapsto(x-1) e^{x}\) est une fonction primitive de la fonction \(h: x \mapsto x e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\)
puis montrer que \(\int_{-1}^{0} x e^{x} d x=\frac{2}{e}-1\). (0.5)
b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que: \(\int_{-1}^{0}\left(x^{2}+1\right) e^{x} d x=3\left(1-\frac{2}{e}\right)\). (0.75)
c) Calculer en cm² I’aire du domaine plan limité par la courbe \(\left(C_{f}\right)\), la droite (D) I’axe des ordonnées et la droite d’équation x=-1. (0.5)
2) a) Montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\) ( on pourra écrire f(x) sous la forme \(x\left[1+\frac{1}{x}-\left(x+\frac{1}{x}\right) e^{x}\right]\)). (0.5)
b) Montrer que la courbe \(\left(C_{f}\right)\) admet, au voisinage de \(+\infty\), une branche parabolique dont on déterminera la direction. (0.25)
3) a) Montrer que \(f^{\prime}(x)=g(x)\) pour tout x appartenant à \(\mathbb{R}\). (0.75)
b) Montrer que la fonction f est croissante sur \(]-\infty, 0]\) et décroissante sur \([0,+\infty[\) puis dresser le tableau de variations de la fonction f sur \(\mathbb{R}\). (0.75)
c) Montrer que la courbe \(\left(C_{f}\right) admet deux points d’inflexion d’abscisses -3 et -1. (0.75)
4) Construire, dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), la droite (D) et la courbe \(\left(C_{f}\right)\) ( On prendra \(f(-3) \approx-2,5\) et \(f(-1) \approx-0,75)\). (1)
5) a) Vérifier que \(H: x \mapsto(x-1) e^{x}\) est une fonction primitive de la fonction \(h: x \mapsto x e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\)
puis montrer que \(\int_{-1}^{0} x e^{x} d x=\frac{2}{e}-1\). (0.5)
b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que: \(\int_{-1}^{0}\left(x^{2}+1\right) e^{x} d x=3\left(1-\frac{2}{e}\right)\). (0.75)
c) Calculer en cm² I’aire du domaine plan limité par la courbe \(\left(C_{f}\right)\), la droite (D) I’axe des ordonnées et la droite d’équation x=-1. (0.5)
⤹ Correction ⤸
➠ Géométrie:
1) a- Montrer que la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,1,1) et pour rayon 2.
la sphère (S) d’équation: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z-1=0\)
On a: \(M(x, y, z) \in(S)\)
\(\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^{2}-2 x+y^{2}-2 y+z^{2}-2 z=1\)
\(\Leftrightarrow x^{2}-2(1) x+(1)^{2}+y^{2}-2(1) y+(1)^{2}+z^{2}-2(1) z+(1)^{2}=1+(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}\)
\(\Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4\)
\(\Leftrightarrow(x-(1))^{2}+(y-(1))^{2}+(z-(1))^{2}=(2)^{2}\)
Donc: la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,1,1) et pour rayon 2.
On a: \(M(x, y, z) \in(S)\)
\(\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^{2}-2 x+y^{2}-2 y+z^{2}-2 z=1\)
\(\Leftrightarrow x^{2}-2(1) x+(1)^{2}+y^{2}-2(1) y+(1)^{2}+z^{2}-2(1) z+(1)^{2}=1+(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}\)
\(\Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4\)
\(\Leftrightarrow(x-(1))^{2}+(y-(1))^{2}+(z-(1))^{2}=(2)^{2}\)
Donc: la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,1,1) et pour rayon 2.
1) b- Calculer d(Ω,P).
le plan (P) d’équation y-z=0 & Ω(1,1,1)
la sphère (S) d’équation: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z-1=0\).
\(d(\Omega,(P))=\frac{|(1)-(1)|}{\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}}=0\)
*déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (C).
puisque: d(Ω,P)<R (R=2).
alors: le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (C).
1)c- Déterminer le centre et le rayon du cercle (C).
puisque: d(Ω,P)=0 alors: le plan P coupe la sphère (S) suivant un grand cercle (C).
*Le centre du grand cercle (C) est la projection orthogonale du point Ω (centre de la sphère (S)) sur le plan (𝑃)c’est le point Ω(1,1,1) car (Ω∈(P)).
*Le rayon du grand cercle (C):
\(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}(\Omega,(P))}=\sqrt{2^{2}-0^{2}}=2\)
( la grand cercle a donc le même rayon que la sphère).
On conclue: la cercle (C) a pour centre le point Ω(1,1,1) et pour rayon 2.
2)a- Montrer que: \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur directeur de la droite(Δ).
le plan (P) d’équation y-z=0.
d’ où: \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur normal du plan (P).
on a aussi: (Δ) orthogonale au plan (P).
Donc: \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur directeur de la droite(Δ).
d’ où: \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur normal du plan (P).
on a aussi: (Δ) orthogonale au plan (P).
Donc: \(\vec{u}(0,1,-1)\) est un vecteur directeur de la droite(Δ).
2)b-Montrer que ||\(\overrightarrow{ΩA}\wedge\vec{u}||=\sqrt{2}||\vec{u}||\).
on a: Ω(1,1,1) & A(1,-2,2) ➝ \(\overrightarrow{ΩA}(0,-3,1)\) et \(\vec{u}(0,1,-1)\)
d’ où: \(\begin{array}{c}\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}=\left|\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right| \vec{k}=2 \cdot \vec{i}\end{array}\)
Alors: \(||\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}||=2\).
puisque:\(||\vec{u}||=\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\).
Donc: \(||\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}||=\sqrt{2}||\vec{u}||\).
d’ où: \(\begin{array}{c}\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}=\left|\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right| \vec{k}=2 \cdot \vec{i}\end{array}\)
Alors: \(||\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}||=2\).
puisque:\(||\vec{u}||=\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\).
Donc: \(||\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}||=\sqrt{2}||\vec{u}||\).
*déduire que la droite (Δ) coupe la sphère (S) en deux points.
On a: \(d(Ω,Δ)=\frac{||\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}||} {||\vec{u}||}\)
puisque:\(||\overrightarrow{ΩA} \wedge \vec{u}||=\sqrt{2}||\vec{u}||\).
Alors: \(d(Ω,Δ)=\sqrt{2}\)
d’où d(Ω,Δ) < R (R=2)
Donc: la droite (Δ) coupe la sphère (S) en deux points d’intersection.
2)c- Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite(Δ) et de la sphère (S).
équation paramétrique de la droite (Δ):
\(\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+t \\ z=2-t\end{array}\right.\) (avec t∈IR)
Déterminons les coordonnées du point M d’intersection de la droite (Δ) et de la sphère (S).
M(x,y,z)∊(Δ)⋂(S)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+t \\ z=2-t \\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=2^{2}\end{array} \right.\) (avec t∈IR)
On remplace les inconnues x,y et z de l’équation de la sphère (S) par celles de la droite (Δ).
On trouve: t²-4t+3=0.
eneffet: Δ=4 d’ où: t=1 ou t=3.
alors:
pour t=1
\(\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+1=-1 \\ z=2-1=1\end{array}\right.\)
pour t=3
\(\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+3=1 \\ z=2-3=-1\end{array}\right.\)
Donc:
(Δ)⋂(S)={A₁(1,-1,1);A₂(1,1,-1)}.
\(\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+t \\ z=2-t\end{array}\right.\) (avec t∈IR)
Déterminons les coordonnées du point M d’intersection de la droite (Δ) et de la sphère (S).
M(x,y,z)∊(Δ)⋂(S)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+t \\ z=2-t \\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=2^{2}\end{array} \right.\) (avec t∈IR)
On remplace les inconnues x,y et z de l’équation de la sphère (S) par celles de la droite (Δ).
On trouve: t²-4t+3=0.
eneffet: Δ=4 d’ où: t=1 ou t=3.
alors:
pour t=1
\(\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+1=-1 \\ z=2-1=1\end{array}\right.\)
pour t=3
\(\left\{\begin{array}{ll}x=1 \\ y=-2+3=1 \\ z=2-3=-1\end{array}\right.\)
Donc:
(Δ)⋂(S)={A₁(1,-1,1);A₂(1,1,-1)}.
➠ Probabilité:
On tire au hasard, simultanément, quatre boules de l’urne.
* On calcule card(Ω) (ou encore le nombre des tirages possibles).
\(\operatorname{card} \Omega=C_{10}^{4}=210\)
1)A l’événement : » Parmi les quatre boules tirées, une seule boule est verte « .
* Calcule de p(A):
A: \(V \overline{V V V}\)
\(\operatorname{card} A=C_{2}^{1} \times C_{8}^{3}=2 \times 56=112\)
\(p(A)=\frac{\operatorname{card} A}{\operatorname{card} \Omega}=\frac{112}{210}=\frac{8}{15}\)
*B l’événement: » Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement trois boules de même couleur « .
B:\(R R R \bar{R}\) ou \(B B B \bar{B}\)
\(\operatorname{card} B=C_{3}^{3} \times C_{7}^{1}+C_{5}^{3} \times C_{5}^{1}=1 \times 7+10 \times 5=57\)
\(p(B)=\frac{\operatorname{card} B}{\operatorname{card} \Omega}=\frac{57}{210}=\frac{19}{70}\)
2)X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules vertes tirées.
2)-a)Calcule de p(X=2):
\(X=2 \rightarrow V V \overline{V V}\)
\(p(X=2)=\frac{C_{2}^{2} \times C_{8}^{2}}{210}=\frac{1 \times 28}{210}=\frac{2}{15}\)
2)-b-Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X
\(X=0 \rightarrow \overline{V V V V}\)
\(p(X=0)=\frac{C_{8}^{4}}{210}=\frac{70}{210}=\frac{1}{3}\)
\(X=1 \rightarrow V \overline{V V V}\)
\(p(X=1)=p(A)=\frac{8}{15}\)
\(P(X=2)=\frac{2}{15}\)
*Calcule de l’espérance mathématique E(X):
\(E(X)=\left(0 \times \frac{1}{3}\right)+\left(1 \times \frac{8}{15}\right)+\left(2 \times \frac{2}{15}\right)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\)
➠ Complexes :
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation: z²+4 z+8=0.
Δ=(4)²-4(1)(8)=16-32=-16
\(z₁=\frac{-4+i \sqrt{16}}{2(1)}=\frac{-4+4 i}{2}=-2+2 i\)
\(z₂=\frac{-4-i \sqrt{16}}{2(1)}=\frac{-4-4 i}{2}=-2-2 i\)
Donc:\(S=\{-2-2 i,-2+2 i\}\)
2)les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c telles que a=-2+2i, b=4-4i et c=4+8i.
R (A,\(-\frac{\pi}{2}\)) M(z)=M'(z’).
a- Montrer que z’=-i z-4:
z’-a=\(e^{i\left(\frac{-\pi}{2}\right)}(z-a)\)
z’-(-2+2 i)=-i(z-(-2+2 i))
z’+2-2 i=-i(z+2-2 i)
z’+2-2 i=-i z-2 i-2
z’=-i z-2 i-2-2+2 i
Donc: z’=-i z-4.
b-Montrer que B(b) est l’image du C(c) par la rotation R:
On a: z’=-i z-4 (d’aprés la question president)
* Calculon « -iz-4 » avec z=c=4+8 i:
-i z-4=c-b=-i(4+8 i)-4=-4 i+8-4=4-4 i=b
Donc: B est l’image du C par la rotation R.
\(\left\{\begin{array}{ll}A C=A B \\ (\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A B}) \equiv \frac{-\pi}{2}[2 \pi]\end{array}\right.\)
3)a-Calcule de |c-ω|:
Ω(ω) milieu du [BC].
on a:
\(ω=\frac{b+c}{2}=\frac{4-4 i+4+8 i}{2}\)
\(=\quad=\frac{8+4 i}{2}=4+2i\)
d’où:|c-ω|=|(4+8 i)-(4+2 i)|=|6 i|=6.
Donc:|c-ω|=6.
b- M(z) ∈ℂ tels que |z-ω|=6.
Montrer que l’ensemble des points M est une cercle circonscrit au triangle ABC:
* On a: |z-ω|=6 ⇔ ΩM=6
alors: l’ensemble des points M est une cercle
* d’autre part ona :
|c-ω|=6(d’aprés la question president)
d’ où: ΩB=ΩC=6
calculon |a-ω| avec a=-2+2i et ω=4+2i
|a-ω|=|-2+2 i-4-2 i|=|-6|=6
Alors: ΩA=ΩB=ΩC
Donc: l’ensemble des points M est une cercle circonscrit au triangle ABC.