Résumé cours nombre complexe

Résumé Cours Nombres Complexes

le plan à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

* Définitions

En pose i² = −1.
L’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, est l’ensemble : ℂ={a +bi/(a,b)∈IR}.

Le réel a est appelé La partie réelle du nombre complexe z et est notée Re( z) .

Le réel b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe z et est notée Im( z) .

L’écriture « a + ib » est appelée la forme algébrique du nombre complexe z .

Si Re( z) = 0 le nombre complexe z est appelé imaginaire pur.

Egalité de deux nombres complexes :Soit ( z ; z ‘) ∈ ℂ
z = z ‘⇔ Re (z) = Re (z’) et Im (z) = Im (z ‘).

* Équation du 2ème degré à coefficients réels

On considère l’équation (E ) : az² + bz + c = 0 avec a ≠ 0

et Soit ∆ = b² − 4ac son discriminant.

Si ∆ > 0, alors (E) admet deux solutions réelles:

z_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

z_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

Si ∆ = 0, (E) admet une seule solution

z_{0} = \frac{- b}{2 a}

Si ∆ < 0 , alors (E) admet deux solutions complexes

z_{1} = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a}

z_{2} = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}

* Conjugué
Définitions

Soit z le nombre complexe

z = a + b i ​ ​ ​

appelle conjugué de z,
le nombre complexe

\overset{―}{z} = a - i b ​ z ​ ​ ​

.
Exemple:
Soit

z = 3 + 4 i z ⟶ \overset{―}{z} = 3 - 4 i

Propriétés:

Pour tous nombres complexes z et z’ et tout entier naturel n :

\overset{―}{z + z^{'}} = \overset{―}{z} + \overset{―}{z^{'}}

\overset{―}{z ​ z^{'}} = \overset{―}{z} \times \overset{―}{z^{'}}

.
*

\overset{―}{(\frac{z}{z^{'} ​ ​ ​ ​ ​})} = \frac{\overset{―}{z}}{\overset{―}{z^{'}}}

pour

z^{'}

≠0.
*

z + \bar{z}

= 2a =2 Re(

z

).
*

z - \bar{z}

= 2ib = 2i Im(

z

).
*

\overset{―}{(z)^{n}} = (\overset{―}{z})^{n}

.
*

\overset{―}{(\frac{z}{z^{'}})} = \frac{\bar{z}}{\overset{―}{z^{'}}}

.
*

z = \bar{z}

⇔

z ∊ R

.
*

z = - \bar{z}

⇔

z

∊iR.
*

z \bar{z}

=a²+b².

Exemple:

\overset{―}{\frac{1 + i}{​ 3 - i}} = \frac{1 - i}{​ 3 + i}

\overset{―}{(2 + i)^{3}} = (2 - i)^{3}

* Représentation géométrique

Définitions:
*A tout nombre complexe z=a+ib, on associe le point M de coordonnées (a;b).
⟶ On dit que M est l’image de z (l’image ponctuelle)
et que z est l’affixe du point M (z = aff (M)).
*A tout vecteur

\vec{w}

de coordonnées (a;b) on associe le nombre complexe z=a+ib.
⟶ On dit que z est l’affixe du vecteur

\vec{w}

Propriétés:
* M appartient à l’axe des abscisses si et seulement si son affixe z est un nombre réel.
* M appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son affixe z est un nombre imaginaire pur.
* Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Exemple:

z_{A} = 2 + 3 i ⟶ A (2, 3)

* Affixe d’un vecteur | milieu | barycentre
Soient A et B deux points d’affixes respectives

z_{A}

z_{B}

.
* l’affixe du vecteur

\vec{A B} ​ ​

est égale à :

z_{\vec{A B}} = z_{B} - z_{A}

.
* l’affixe du milieu M du segment [AB] est égale à :

z_{M} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2}

.
* L’affixe de G le barycentre de A( α) et B(β) est :

z_{G} = \frac{(α z_{A} + β z_{B})}{α + β}

avec (α + β) ≠ 0.

Propriétés: soient

\vec{w} (z)

\vec{w^{'}} (z^{'} ​ ​)

deux vecteurs du plan et k un nombre réel.
* Le vecteur

\vec{w} + \vec{w ​^{'}}

a pour affixe z+z′.
* Le vecteur

k \vec{w}

a pour affixe

k z

* Le module d’un nombre complexe

Le module du nombre complexe z = a +ib est le
nombre réel positif

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Propriétés:pour tous nombres complexes z et z′ :
*

| z | ² = z \times \overset{―}{z}

∣ z z ​' ​ ​ ∣=∣ z ∣ \times ∣ z ​' ​ ​ ∣

​ ​ ∣ \frac{1}{z ​} ​ ​ ∣= ​ \frac{1}{∣ z ∣}

pour \(z≠0).
*

​ ​ ∣ \frac{z}{z ​^{'}} ​ ​ ∣= ​ \frac{∣ z ∣}{∣ z ​^{'} ∣}

pour z’≠0.
*

∣ z + z ‘ ∣\leq∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣

* L’argument d’un nombre complexe

Soit z∈ℂ et M( z) son image ponctuelle.
On appelle argument de z et on note arg(z) une mesure exprimée en radians de l’angle

(​ \vec{u} ​ ​; ​ ​ \vec{O M})

Propriétés:

* z∈IR⁺* ⇔ arg (z)≡0 [2π]. ∥(Ex: arg(2020)≡0 [2π])).
* z∈IR⁻* ⇔ arg (z)≡π [2π]. ∥(Ex: arg(-2019)≡π [2π])).
* z∈iIR⁺* ⇔ arg (z)≡

\frac{π}{2}

[2π]. ∥(Ex: arg(75i)≡

\frac{π}{2}

[2π])).
* z∈iIR⁻* ⇔ arg (z)≡

\frac{- π}{2}

[2π]\). ∥(Ex: arg(-91i)≡

\frac{- π}{2}

[2π])).

Exemple:
✓ Soit z=

\sqrt{3}

+1 ⟶ | z |=

\sqrt{3 + 1}

= 2.
Si θ est un argument de z :
z=

2 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)

cos (θ)=

\frac{\sqrt{3}}{2}

et sin (θ)=

\frac{1}{2}

donc: θ=

\frac{π}{6}

[2π].

Propriétés:

pour tous nombres complexes z et z′ non nuls et tout entier n∈Z :

*arg (z × z ‘) = arg (z)+arg (z’) [2π].

*arg (-z) =arg (-1×z)= arg (-1)+arg (z)=π+arg (z) [2π].

*arg (

\frac{1}{z}

) = – arg (z) [2π].

*arg (

\frac{z}{z ​^{'}})

= arg (z)-arg (

z ​^{'})

[2π].

*arg(

\overset{―}{z}

) = – arg (z) [2π].

*arg (z) ⁿ = n × arg (z) [2π] (n∈Z).

* La forme trigonométrique

Soit z = a +ib un nombre complexe de module r et d’argument θ,

alors z = r (cosθ +i sinθ ) = [r,θ].
Le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
z = a +ib ⟶ cos(θ)=

\frac{a}{​ ​ ∣ z ∣}

et sin(θ)=

\frac{b}{​ ​ ∣ z ∣}

D’où: z =r (cos(θ) + isin(θ) ) = [r,θ].

Exemple:
✓ Soit z=1+i on pose z=[r,θ]
*r=| z |=

\sqrt{1 + 1}

\sqrt{2}

.
*cos(θ)=

\frac{1}{\sqrt{2}}

et sin(θ)=

\frac{1}{\sqrt{2}}

➝ θ=

\frac{π}{4}

[2π].
Donc La forme trigonométrique de z est :
z =

\sqrt{2}

(cos(

\frac{π}{4}

) + isin(

\frac{π}{4}

) ) = [

\sqrt{2}

\frac{π}{4}

* La notation exponentielle

z est un nombre complexe de module r et d’argument θ,
la notation exponentielle du nombre z est :

z = r e^{i θ}

Exemple:

2 = 2 (1 + 0 i) = 2 (c o s (0) + s i n (0) i) = 2 e^{0 i}

. (|2|=5 )

- 3 = 3 (- 1 + 0 i) = 3 (c o s (π) + s i n (π) i) = (3 e^{i π}

. (|-3|=3 )

4 i = 4 (0 + i) = 4 (c o s (\frac{π}{2}) + i s i n (\frac{π}{2}))

$= 4 e^{i \frac{π}{2}}$ . (|4i|=4 ).

- 5 i = 5 (0 + i) = 5 (c o s (\frac{π}{2}) + i s i n (\frac{π}{2}))

$= 5 e^{i \frac{π}{2}}$ . (|-5i|=5).

Propriétés:*

r e^{i θ}

r^{'} e^{i θ^{'}}

(r \times r^{'}) e^{i (θ + θ^{'})}

(r e^{i θ})^{n}

r^{n} e^{i n θ}

\frac{r e^{i θ}}{r^{'} e^{i θ^{'}}}

\frac{r}{r^{'}} e^{i (θ - θ^{'})}

\overset{―}{r e^{i θ}}

r e^{- i θ}

Exemple:
✓
a=(1+

\sqrt{3}

i)(1+i)
a=

2 e^{i \frac{π}{3}}

\sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}

(r \times r^{'}) e^{i (θ + θ^{'})}

2 \sqrt{2} e^{i (\frac{π}{3} + \frac{π}{4}})

✓
b=$\frac{(\sqrt {3}i+1)}{3i}$

\frac{2 e^{i \frac{π}{3}}}{3 e^{i \frac{π}{2}}}

\frac{2}{3} e^{i (\frac{π}{3} - \frac{π}{2})}

✓
c=

\frac{i^{2020}}{- 2}

* -2=$2e^{iπ}$

i^{2020} = (1 \times e^{i \frac{π}{2}})^{2020} = 1^{2020} \times e^{i \frac{π}{2} \times 2020} = e^{i \times 1010 π}

.
d’où: c=

\frac{e^{i \times 1010 π}}{2 e^{i π}}

\frac{1}{2} e^{i \times 1009 π}

Donc: c=

\frac{1}{2} e^{i \times π}

.
✓Remarque:
*

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

∥

| e^{i θ} | = 1

∥

a r g (e^{i θ}) = θ [2 π]

.

*

\arg (- e^{i θ}) \equiv ag (- 1) + \arg (e^{i θ}) [2 π] = θ + π [2 π]

.
*

\arg (2 e^{i θ}) = a r g (2) + a r g (e^{i θ}) = θ [2 π]

.
*

\arg (2 i e^{i θ}) = a r g (2 i) + a r g (e^{i θ}) = \frac{π}{2} + θ [2 π]

.
*

ag (- 2 i e^{i θ}) = a r g (- 2 i) + a r g (e^{i θ}) = - \frac{π}{2} + θ [2 π]

* Utilisation en géométrie

* La distance :

A B = | z_{B} - z_{A} |

* Les angles:

(\vec{A B}; \vec{A C})

≡ arg

(\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}})

[2π]

*Colinéarité | alignement:

A,B et C sont aligné ⇔

\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}

∈ IR.

*Orthogonalité :

\vec{A B}

\vec{A C}

sont orthogonaux

\Leftrightarrow \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}

∈ iIR.

*La translation :

La transformation

T

qui transforme le point M (z)au point M'(z’).
Tel que: z’= z+a avec a un complexe fixé.
⟶

T

est une translation de vecteur

\vec{u}

d’affixe a.
on note:

T_{\vec{u}}

M (z) = M'( z’).

Exemple:On pose

\vec{u}

(a=(1+i)),A(z=3i)
Calcule de z’ tel que et

T

(A)=B(z’):

T

(A)=B ⟶ z ‘=z+a ⟶ z’=(3i)+(1+i)=1+4i.

*L’homothétie :

Soient les points M (z) ,M'(z’ ),Ω(ω) et k∈ IR*.
La transformation

H

qui transforme le point M (z) au point M'(z’)
Tel que: z’−ω = k ( z −ω).
⟶

H

est un homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k.
on note:

H

(Ω,k) M (z) = M'(z’).

Exemple:On pose Ω(ω=i),A(z=(1+3i))
et

H

un homothétie de centre Ω et de rapport k=2.
Calcule de z’

H

(A)=B(z’) :
⟶ z’−ω = k ( z−ω)
⟶ z’-i= 2((1+3i)-i) ⟶ z’=2+5i.

*La Rotation :

Soient les points M (z),M ‘(z’),Ω(ω) et θ∈ IR .
La transformation

R

qui transforme le point M ( z) au point M ‘( z’)
Tel que: z’−ω =

e^{i θ}

(z −ω).
⟶

R

est une rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ.
on note:

R

(Ω,θ) M (z) = M ‘( z’).

Exemple:On pose A(z=2), B(z’=2i)
et

R

une rotation de centre Ω(ω=0) et d’angle

θ = \frac{π}{2}

.
Montrer que

R

(A)=B :
Montrons que z ‘−ω =

e^{i θ}

(z −ω).
Calculons:
* z ‘−ω =2i-0=2i
*

e^{i θ}

(z −ω)=

e^{i \frac{π}{2}}

(2-0)=2i
D’où: z ‘−ω=

e^{i θ}

(z −ω)

Donc

R

(A)=B.

*ABCD parallélogramme:

\vec{A B} = \vec{D C}

est un parallélogramme ⇔ $z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}$

*ABCD Rectangle:

\vec{A B} = \vec{D C}

(\vec{A B}; \vec{A D})

≡

\frac{\pm π}{2}

[2π].

ABCD est un Rectangle ⇔ $z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}$ ∥ arg $(\frac{z_{D} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}})$ ≡ $\frac{\pm π}{2}$ [2π].

* ABCD Carré:

\vec{A B} = \vec{D C}

(\vec{A D}; \vec{A B})

≡

\frac{\pm π}{2}

[2π] et AB=AD.

ABCD est un Carré ⇔

z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}

∥ arg

(\frac{z_{D} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}})

≡

\frac{\pm π}{2}

[2π] ∥

| z_{B} - z_{A} | = | z_{D} - z_{A} |

* ABCD Trapèze:

\vec{A D} = k \vec{B C}

avec k∈IR.

ABCD est un Trpéze ⇔

z_{D} - z_{A} = k (z_{C} - z_{B})

* ABC est un triangle isocèle en A: AB=AC

ABC est un triangle isocèle ⇔ $| z_{B} - z_{A} | = | z_{C} - z_{A} |$ .

* ABC est un triangle rectangle en A:

(\vec{A B}; \vec{A C})

≡

\frac{\pm π}{2}

[2π].

ABCD est un triangle rectangle en A ⇔ arg $(\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{A} - z_{A}})$ ≡ $\frac{\pm π}{2}$ [2π].

* ABC est un triangle équilatérale: AC=AB et

(\vec{A C}; \vec{A B})

≡

\frac{\pm π}{6}

[2π]

* ABC est un triangle équilatérale ⇔ $| z_{B} - z_{A} | = | z_{C} - z_{A} |$ et arg $(\frac{z_{B} - z_{A}}{z_{C} - z_{A}})$ ≡ $\frac{\pm π}{6}$ [2π].

Résumé du Cours pour Bac 2

Les suites numériques

Etudes de fonctions