Résumé cours etudes de fonctions

Résumé Cours Etudes de fonctions

* Domaine de définition

l’ensemble de définition de f c’est l’ensemble des nombres x tels que leur image f (x) existe.

On peut le noter D f.

4 types d’expressions posent problème :

1èr cas: L’expression de f (x) est de la forme:

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

est définie lorsque h(x)≠0.
(on ne peut pas diviser par zéro)
Exemple:

f (x) = \frac{x}{x ² - 4} + \frac{1}{x + 1}

x ∈ Df ⟶ x²-4 ≠0 et x+1 ≠0 ➝ Résoudre d’équation: x²-4=0 et x+1=0

D f = IR-{-2;-1;2}.

2ème cas: L’expression de f (x) est de la forme:

f (x) = \sqrt{g (x)}

est définie lorsque g(x)⩾0.
(la racine carrée n’existe que pour des nombres positifs ou nuls)
Exemple:

f (x) = x - 2 \sqrt{x ² - 1} + 2

x ∈ Df ⟶ x²-1 ≥ 0 ➝ Table de variation : Df =]-∞,-1]∪[1,+∞[.

3ème cas: L’expression de f (x) est de la forme:

f (x) = \frac{g (x)}{\sqrt{h (x)}}

est définie lorsque

h (x) > 0

(c’est une combinaison des 2 cas précédents…)
Exemple:

Exemple:

f (x) = \frac{x ²}{2 \sqrt{x - 3}} + 2 x + 1

x ∈ Df ⟶ x-3 > 0 ➝ Table de variation : Df =]3,+∞[.

4ème cas: L’expression de f (x) est de la forme:
f(x)=log(g(x)) est définie lorsque g(x)>0.
(les expressions qui se trouvent à l’intérieur des logarithmes sont strictement positives).

Exemple:

f(x)=ln(x²-3x+2)

x ∈ Df ➝ x²-3x+2 > 0 ➝ Table de variation : Df =]-∞,1[∪]2,+∞[.

Dans les autres cas étudiés les fonctions sont en général définies sur R, c’est à dire qu’on peut calculer l’image de n’importe quel nombre réel.

Astuce:

f (x) = {\begin{cases} f_{1} (x) & , x ∊ I \\ f_{2} (x) & , x ∊ J \end{cases}

D f = (D f_{1} \cap I) \cup (D f_{2} \cap I)

Exemple:

f (x) = {\begin{cases} x - \frac{3}{2} + \frac{2 x + 1}{x ² - 1} & , x ∊] - \infty, 0] \\ 1 + (\frac{\ln (x - 1)}{x ² + 1})^{2} & , x ∊] 0, + \infty [ \end{cases}

Calculer Df ?

* Df₁:x∊]-∞,0]

x∊Df₁ ⟶ x²-1≠0 ⟶ x≠1 et x≠-1 et x∊]-∞,0]

⟶ Df₁ =]-∞,-1[∪]-1,0]

* Df₂: x∊]0,+∞[

x∊Df₂ ⟶ x-1>0 et x²+1≠0 (vraie) ⟶ x>1 et x∊]0,+∞[

⟶ Df₂ =]1,+∞[

Df = Df₁ ∪ Df₂ = ]-∞,-1[∪]-1,0]∪]1,+∞[.

* Fonction continue

* Continuité sur un intervalle

une fonction définie sur un intervalle I est continue sur I

⟶ on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.

Exemple:

* Les fonctions : polynômes, exponentielle continues sur IR .

* Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition.

* La fonction racine carrée est continue sur IR+.

* La fonction logarithme est continue sur IR+*.

* Continuité en un point

Soit

f

une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert ouvert I et x₀∈I.
f est continue en x₀ ⇔

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

Exemple:
$f (x) = {\begin{cases} \ln (1 - x^{3}); & x < 0 \\ 4 x \sqrt{x} - 3 x^{2}; & x \geq 0 \end{cases}$
Continuité en 0 ?
on a:
* $f (0) = 4 \times 0 \times \sqrt{0} - 3 \times 0^{2} = 0$
* $lim_{x \to 0^{+}} f (x)$

= lim_{x \to 0^{+}} 4 x \sqrt{x} - 3 x^{2}

=0=f(0).

⟶ f est continue droite en 0
*

lim_{x \to 0^{-}} f (x)

= lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - x^{3}))

=0=f(0).
⟶ f est continue gauche en 0
Donc:

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)

⟶ f est continue en 0.

* Dérivabilité et interprétation graphique

* Dérivabilité:

-Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et x₀∈I.
* f est dérivable en x₀, s’il existe un nombre réel

l

tel que:

lim_{x ⟶ x ₀} \frac{f (x) - f (x ₀)}{x - x ₀} = l = f^{'} (x ₀)

* Interprétation graphique:

L’équation de la tangente T à

C_{f}

en point d’abscisse x₀ est :

y = f^{'} (x ₀) (x - x ₀) + f (x ₀)

* f est dérivable à droite au point d’abscisse x₀ s’il existe un réel

l

tel que:

lim_{x ⟶ x ₀ ⁺} \frac{f (x) - f (x ₀)}{x - x ₀} = l = f_{d}^{'} (x ₀)

* Interprétation graphique:
L’équation de la tangente T à

C_{f}

à droite au point d’abscisse x₀ est :

y = f_{d}^{'} (x ₀) (x - x ₀) + f (x ₀)

* f est dérivable à gauche au point d’abscisse x₀ s’il existe un réel

l

tel que:

lim_{x ⟶ x ₀ ⁻} \frac{f (x) - f (x ₀)}{x - x ₀} = l = f_{g}^{'} (x ₀)

* Interprétation graphique:
L’équation de la tangente T à

C_{f}

à gauche au point d’abscisse x₀ est :

y = y = f_{g}^{'} (x ₀) (x - x ₀) + f (x ₀)

f_{d}^{'} (x ₀) = f_{g}^{'} (x ₀)

⇔ f est dérivable en x₀

Exemple:

f (x) = x - 2 \sqrt{x} + 2

dérivabilité en 0⁺ ?
On a:

lim_{x ⟶ 0 ⁺} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

= lim_{x ⟶ 0 ⁺} \frac{x - 2 \sqrt{x} + 2 - 2}{x}

= lim_{x ⟶ 0 ⁺} \frac{x (1 - \frac{2}{\sqrt{x}})}{x}

= lim_{x ⟶ 0 ⁺} 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}

=1-(+∞)= -∞ ∉ IR ( car

l i m_{x ⟶ 0 ⁺} \sqrt{x} = + \infty

⟶ f n’est pas dérivable en 0⁺.

* Dérivées usuelles

Fonction	Dérivée	D f ‘
$(k \in R)$		$IR$
		IR
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$IR$
$\frac{1}{x^{n}}$	$- \frac{n}{x^{n + 1}}$	$R - {0}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$sin (x)$	$cos (x)$	$IR$
$cos (x)$	$- sin (x)$	$IR$
$e^{x}$	$e^{x}$	$IR$
$ln (x)$	$\frac{1}{x}$	$] 0; +\infty [$

* Opérations sur les fonctions dérivables

Soit u une fonction dérivable sur intervalle I et v une fonction dérivable sur intervalle J.

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

(u \times v)^{'} = u^{'} \times v + u \times v^{'}

(\frac{u}{v})^{'}

\frac{u^{'} \times v - u \times v^{'}}{v ²}

* Théorème de la dérivée des fonctions composées

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J et soit f une fonction dérivable sur J : (f(g(x)) ‘ = g ‘ (x) × f ‘ (g(x).

Application:

Soit u une fonction dérivable sur intervalle I :

* la fonction

u^{n}

est dérivable sur I et sa dérivée est

u^{'} \times n u^{n - 1}

* la fonction

\frac{1}{u}

est dérivable sur la partie de I où u≠0 et sa dérivée est

- \frac{u^{'}}{u^{2}} ​ ​ ​ ​

* la fonction

\sqrt{u}

est dérivable sur la partie de II où u > 0 et sa dérivée est

\frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}

* la fonction

\sin (u)

est dérivable sur I et sa dérivée est

u^{'} \times \cos (u)

* la fonction

\cos (u)

est dérivable sur I et sa dérivée est

- u^{'} \times \sin (u)

* la fonction

e^{u}

est dérivable sur I et sa dérivée est

u^{'} \times e^{u}

* la fonction

\ln (u)

est dérivable sur la partie de I où u>0 et sa dérivée est

\frac{u^{'}}{u}

Exemple:

((5 x + 2)³)’ =

3(5x+2)’(5x+2)³⁻¹ = 3×5(5x+2)² = 15(5x+2)².

sin(2x+2)‘=(2x+2)’sin'(2x+2)=2cos(2x+1).

(

\frac{l n (x)}{x ² + 1})

)’=

\frac{l n (x)^{'} \times (x ² + 1) - l n (x) \times (x ² + 1)^{'}}{(x ² + 1) ²}

\frac{\frac{1}{x} \times (x ² + 1) - l n (x) \times (2 x)}{(x ² + 1) ²}

\frac{\frac{x ² + 1}{x} - l n (x) \times (2 x ²)}{(x ² + 1) ²}

\frac{x ² + 1 - 2 x ² l n (x)}{x (x ² + 1) ²}

* Extremums

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et x₀ ∈ I.

* Si f ‘ s’annule et change de signe en x₀, alors f admet un extremum en x

C_{f}

admet une tangente horizontale au point d’abscisse x₀.

Exemple :

* Le minimum de f est 2 atteint pour x=-1.
* Le maximum de f est 3 atteint pour x=1.

Exemple :

* Le minimum de f est atteint pour x=1.
* Le maximum de f est atteint pour x=3.

Non dérivabilité en un point :

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et x₀∈I.
si on a: $lim_{x ⟶ x ₀^{\pm}} \frac{f (x) - f (x ₀)}{x - x ₀} = \pm \infty$
⟶ f n’est pas dérivable en x₀ et $C_{f}$ admet une demi-tangenteverticale (T) à droite ou à gauche du point d’abscisse x₀.

* Point d’inflexion

* si f » s’annule et change de signe en a alors le point A (a;f(a)) est un point d’inflexion de

C_{f}

* si f ‘ s’annule et ne change pas de signe en a alors le point

A (a; f (a))

est un point d’inflexion de

C_{f}

* Asymptotes

* Limite finie quand x tend vers l’infini:

lim_{x ⟶ \pm \infty} f (x) = b

⟶

C_{f}

admet une asymptote horizontale d’équation y = b au voisinage de +∞ ou x = −∞.

* Limite infinie quand x tend vers un réel:

lim_{x ⟶ a} f (x) = \pm \infty

⟶ $C_{f}$ admet une asymptote verticale d’équation x = a à droite ou à gauche du point d’abscisse a.

* Limite infinie quand x tend vers l’infini:

lim_{x ⟶ \pm \infty} f (x) = \pm \infty

1èr cas:

lim_{x ⟶ \pm \infty} \frac{f (x)}{x} = \pm \infty

$C_{f}$ admet une branche parabolique suivant (oy) au voisinage de ±∞.

2èr cas:

lim_{x ⟶ \pm \infty} \frac{f (x)}{x} = 0

C_{f}

admet une branche parabolique suivant (ox) au voisinage de ±∞.

3èr cas:

lim_{x ⟶ \pm \infty} \frac{f (x)}{x} = a

lim_{x ⟶ \pm \infty} f (x) - a x .

{\begin{cases} b : ① \\ \pm \infty : ② \end{cases}

①: la droite y = ax + b est une asymptote oblique à

C_{f}

au voisinage de ±∞.

②:

C_{f}

admet une branche parabolique suivant (D) : y = ax au voisinage de ±∞.

* y = ax + b est une asymptote oblique:

La droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à

C_{f}

au voisinage de ±∞

⇔

lim_{x ⟶ \pm \infty} f (x) - (a x + b) = 0

* Positon relative d’une courbe et une droite

Pour étudier la positon relative d’une courbe

C_{f}

et une droite (D) d’équation y = ax +b:

→ étudie le signe de la différence : f ( x) − y.

* l’intersection avec les axes du repère

* avec l’axe des ordonnées (oy): on est à l’abscisse 0,

donc on cherche l’image de 0 par la fonction. f(0)=…

⟶

C_{f}

∩(oy) = {A(0; f (0))}.

* avec l’axe des abscisses (ox): on est l’ordonnée 0, donc on cherche les antécédents de 0,

cela revient à chercher les valeurs de x, tels que f(x)=0:

(on suppose que x₁;x₂… solution de f(x)=0)

⟶

C_{f}

∩ (oy) = {A(x₁; f (x₁);A(x₂; f (x₂);….}.

* Théorème des valeurs intermédiaires

* Fonction continue:

Si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] et si k est compris entre f(a) et f(b),

alors l’équation f(x)= k au moins une solutionc sur l’intervalle [a;b] (f(c)=k).

* Fonction continue et strictement monotone:

Si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] et si k est compris entre f(a) et f(b),

alors l’équation f(x)= k admet une unique solution c sur l’intervalle [a;b] (f(c)=k).

Exemple:

Montrer que l’équation : f(x)=0 admet une unique solution unique sur l’intervalle [2.6 ; 6]

On a: la fonction f continue et strictement monotone sur [2.6 ; 6] (table de variation).

et on a: f(2.6)=3.5 et f(6)=-9.

On en déduit, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour tout réel k compris entre 3.5 et -9,

l’équation f(x)=k admet une unique solution c dans [2.6 ; 6].
Soit k=0: L’équation s’écrit f(x)=0.

D’après le théorème précédent, cette équation admet une unique solution c dans [2.6 ; 6].

Exemple:

Montrer que l’équation : f(x)=2 admet une unique solution unique sur l’intervalle [-3 ; -2]

On a: la fonction f continue et strictement monotone sur [-3 ; -2] (la courbe de $C_{f}$ ).

et on a: f(-3)=4 et f(-2)=1.

d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour tout réel k compris entre -4 et 1,

l’équation f(x)=k admet une unique solution c dans [-3 ; -2].

Soit k=2: l’équation f(x)=2 admet une unique solution c dans [-3 ; -2].

* La fonction réciproque

f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I

J= f(I) est un intervalle de même nature que I (fermé, ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de f aux extrémités de I.

⟶La fonction f admet une fonction réciproque définie sur J=f(I) noté f ⁻¹ de J ver I.

1) Calcule de f⁻¹(x):

y= f(x) (x∊I) ⇔ x=f⁻¹(y) (y∊J).

Exemple:

f(x)=x²-1 avec x∊I=[2,3]

on a f continue et strictement croissante sur un intervalle I=[2,3].

et J=J= f(I) =[f(2),(3)]=[3,8].

Alors f admet une fonction réciproque définie sur [3,8] par:

x∊I=[2,3] et y∊I=[3,8]

y=f(x)=x²-1 ⟶ x=

\sqrt{y + 1}

donc: f⁻¹(x)=

\sqrt{x + 1}

avec x∊I=[3,8] (on change x avec y)

2) Continuité de f ⁻¹: f ⁻¹ est continue sur J=f (I).

3) Monotonie de f ⁻¹: f ⁻¹ est strictement monotone sur J=f (I)

de même sens de monotonie que de f sur I.

4) Courbe de

C_{f ⁻ ¹}

: la Courbe

C_{f ⁻ ¹}

est symétrique la courbe

C_{f}

par rapport à la droite d’équation : y = x.

* L’axe de symétrie

La droite d’équation x = a est l’axe de symétrie de la courbe $C_{f}$ .

⇔ ∀∊

D_{f}

: (2a − x)∊

D_{f}

et f(2a − x) = f (x).

Exemple: f(x)=x²-2x Montrer que: x=1 est l’axe de symétrie de la courbe

C_{f}

on a : a=1 et

D_{f}

=IR

* ∀ x∊IR : (2 − x)∊IR (2a-x=2-x)

* f(2a-x)=(2-x)²-2(2-x)=4-4x+x²-4x+2x=x²-2x=f(x).

⟶ x=1 est l’axe de symétrie de la courbe

C_{f}

* Le centre de symétrie

Le point A(a;b) est le centre de symétrie de la courbe

C_{f}

.
⇔ ∀ x∊

D_{f}

: (2a − x)∊

D_{f}

et f (2a − x) = 2b − f (x).

Exemple:

f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}

Montrer que: A(2,1) est le centre de symétrie de la courbe

C_{f}

on a : a=2 , b=1 et

D_{f}

=IR-{2}

(2a-x)=2 ↔️ 4-x=2↔️ x=2

d’où: ∀x∊IR-{2}: (2 − x)∊IR-{2}

d’autre part:

* f(2a-x)=f(4-x)=(

\frac{(4 - x) - 1}{(4 - x) - 2})

=(\frac{3-x}{2-x}\)

* 2b-f(x)=2-f(x)=(\2-\frac{x-1}{x-2}\)=\frac{2x-4-x+1}{x-2}\)=\frac{3-x}{2-x})\)

donc: f(2a-x)=2b-f(x)

⟶ x=1 est l’axe de symétrie de la courbe

C_{f}

Résumé du Cours pour Bac 2

Les suites numériques

Nombres Complexes