Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 01
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Fonction Logarithme (3.5 points )
* Suite Arithmétique (2.5 points )
* Suite Géométrique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (8 points )
* Fonction Logarithme (3,5 points )
1) Résoudre dans (R) les équations suivantes:
a- ln (3x-2) + ln(-x+3)=ln (x+1)
b) ln(x²+1) -ln (2x-3)=ln (3x-1)
c) (ln x)² – ln(x⁴) + 3=0
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a) ln (x-2) + ln (2 x+1) ≥ ln (x²+2)
b) ln (-2 x + 2)-ln(x+3) ≥ ln (3 x+5)
c) (ln x)² – ln(x⁵) + 6 ≤ 0
d) -3(ln x)²+ln ((sqrt{x}) ) + 11 ≥ 0
* Suite Arithmétique (2,5 points )
1) On considère la suite ( u _{n}) définie par: (u _{0}=4) et pour tout n∊(mathbb{N}) (u _{n+1}=frac{6 u _{n}-9}{ u _{n}})
a – Vérifier que ((forall n in N ) u_{n+1}-3=frac{3left(u_{n}-3right)}{u_{n}})
b – Montrer que ((forall n in N ) u _{n}>3)
2) Soit la suite (( v _{n})) définie par, pour tout n∊(mathbb{N}) (v_{n}=frac{6}{3- u_{n}})
a – Montrer que (( v _{n})) est une suite arithmétique de raison (r =-2)
b – Exprimer (v _{n}) en fonction de (n ,) puis déduire (u _{n}) en fonction de (n)
c – Calculer limite de la suite (( u _{n})).
* Suite Géométrique (3 points )
On considère la suite ( u _{n}) definie par: (u _{0}=3) et pour tout n∊(mathbb{N}): (u _{n+1}=frac{3}{4} u _{n}+3)
1) Montrer que (∀ n∊(mathbb{N})): ( u_{n}<12)
2) Montrer que la suite ( u _{n}) est croissante et déduire qu’elle est convergente
3) Soit la suite (v _{n}) définie par pour tout (n) de (mathbb{N}) (v _{n}= u _{n}-12)
a – Montrer que ( (v _{n}) ) est une suite géométrique de raison (q =frac{3}{4})
b – (quad) Montrer que (v_{n}=-9(frac{3}{4})^{n}) pour tout (n) de (mathbb{N}) puis déduire (u_{n}) en fonction de (n)
c – Calculer limite (lim _{n➝+∞} u_{n})
d – Déterminer la plus petite valeur de (n) de (mathbb{N}) pour laquelle (u _{n}>11,0001).
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans (mathbb{C}) l’équation (z^{2}+4 sqrt{3} z+16=0)
2) Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe (( O , overrightarrow{ u }, overrightarrow{ v }),)
on considère les points A,B,C et D d’affixe respectivement (a =-2 sqrt{3}-2 i , b =-2 i , c =-sqrt{3}+ i) et (d =sqrt{3}+ i)
a – Ecrire C et D sous la forme trigonométrique et déduire (d^{2016}+c^{2016}=2^{2017})
b – Montrer que (frac{b-d}{c-d}=frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}), puis déduire la nature du triangle (B C D)
c – Montrer que le quadrilatère ABDC est un losange
3) On considère l’homothétie (h) de centre B et qui transforme le point D au point E d’affixe (e=-3 sqrt{3}-11 i)
a – Déterminer la valeur de (k) le rapport de l’homothétie (h)
b – Déterminer l’affixe du point F l’image de A par (h),
puis déduire que (A D) // (E F)
4) On considère la translation t qui transforme le point A au point D
a – Ecrire l’expression complexe de la translation (t)
b – Déterminer l’affixe du point B’ l’image de B par (t)
c- Montrer que le triangle BCB’ est rectangle en B.
* Etudes d’une Fonction Numérique ( 8 points )
On considère la fonction (f) définie sur IR par (f ( x )=frac{1}{2} e ^{x}+3 e^{-x})
1) a- Calculer (lim _{x➝+∞} f(x)) et (lim _{x➝-∞} f(x))
b – Montrer que (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x}=+∞) et (lim _{x➝-∞} frac{f(x)}{x}=-∞)
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu au voisinage de +∞ et -∞.
2) a-Montrer que ∀x∊IR : (f ‘ (x)=frac{1}{2} e^{-x}(e^{x}+sqrt{6})(e^{x}-sqrt{6}))
b- Dresser le tableau de variations de la fonction (f)
c -Déduire que∀x∊IR : f(x) ≥ (sqrt{6})
3) On considère l’équation différentielle y »-y=0
a – Résoudre cette équation différentielle
b – Montrer que la fonction (f) est une solution de cette équation différentielle
4) a -Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C_{f}) » la courbe représentative de (f) «
au point d’abscisse (ln (sqrt{6}))
b – Tracer la tangente(T) et la courbe (C_{f}) dans un repère orthonormé (( O , overrightarrow{ i }, overrightarrow{ j })) on prend (ln (sqrt{6}) simeq 0,9)
c – Calculer en cm² la surface de la partie du plan délimitée par la courbe ((C_{f})) et les axes du repère et la droite d’équation x =1.
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