Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 02Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Nombres complexes (4 points )* Suite Numérique (3 points )* Intégrale (2 points )
* Fonction Exponentiel (2 points )
* Etude d’une fonction numérique (9 points ) * Nombre Complexe (4 points )I. Résoudre dans C l’équation z²-2z+26=0.
II. Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe (( O , vec{i}, vec{j}))
on considère les points A, B et C d’affixe respectivement (z_{A})=1+5 i , (z _{B})=1-5 i et ( z _{C}=frac{7}{2})
1) Soit le point M’ (z’) image du point M (z) par la transformation (T) définie par l’expression complexe (z’=frac{-3}{5} z+frac{56}{10})
a – Montrer que (T) est une homothétie de centre C et de rapport (-frac{3}{5})
b- Montrer que l’affixe du point H l’image du point B par l’homothétie (T) est z=5+3 i
2) a – Montrer que (frac{z_{H}-z_{A}}{z_{C}-z_{B}}=frac{-4}{5} i )
-b- Déterminer une mesure principale de l’angle orienté ((overrightarrow{BC} ; overrightarrow{AH}),) puis déduire que ([A H ]) est une hauteur du triangle.
* Suite Numérique (3 points )On considère la suite ((u _{n})) définie par: (u _{0}=2) et ∀ n∊IN : (u_{n+1}=frac{2 u _{n}- 9 }{ u _{n}-4})1) Calculer (u_{1}) et (u_{2})2) a- Montrer par la récurrence que ∀ n∊IN : (3-u_{n} > 0)b – Montrer que: ∀n∊(N) (u_{n+1}- u_{n}=frac{(u_{n}-3)^{2}}{4- u_{n}}).c – Déduire que la suite (left( u _{n}right)) est croissante, puis déduire qu’elle est convergente3) Soit la suite (( v_{ n })) definie par, ∀ n∊IN : (v_{ n }=frac{1}{ u_{n}-3})a – Calculer (v _{0})b – Montrer que ∀ n∊IN : (v_{n+1}=frac{4- u_{n}}{ u_{n}-3})c -Vérifier que ∀ n∊IN : (v_{n+1}- v_{n} = -1,) puis déduire que (: v_{n}= – 1 – n )d – Montrer que ∀ n∊IN : (u _{n}=frac{1+3 v_{n}}{v _{n}}) puis déduire que (: u _{n}=frac{3 n +2}{ n +1})e – Calculer limite de la suite (( u _{n})). * Intégrale (2 points )On considère l’intégrale (I =int_{1}^{e} x (ln x )^{2} d x)1) a – Vérifier que la fonction (x : mapsto frac{1}{2} x ^{2} ln x -frac{1}{4} x ^{2}) est la primitive de la fonction (x : mapsto x ln ( x )) sur l’intervalle [1,e]b – Déduire que (I=int_{1}^{e} x ln (x) d x=frac{e^{2}+1}{4})2) En utilisant l’intégration par partie Montrer que (I=frac{e^{2}-1}{4}) * Fonction Exponentielle (2 points )1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
a – (e^{x}+6 e^{-x}+5 = 0)
b – (e^{2 x+ln 3}+e^{x+ln 2}-1 = 0)
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a – (e^{2 x}-6 e^{x}+8 ≥ 0)
b – (e^{2 x+ln 5}-13 e^{x}-6 ≤ 0)
* Etudes de Fonctions ( 9 points )Partie A:Soit la fonction g définie sur IR par: (g ( x )=e^{x}+2 x – e ^{- x })1) Calculer pour tout x ∊ [0,+∞[ g ‘ ( x ) .2) Calculer (lim _{x➝+∞} g(x),) puis dresser le tableau de variations de g sur l’intervalle [0,+∞[ 3) On déduire que ∀ x∊]0,+∞[ : g(x)>0 Partie B:On considère la fonction (f) définie sur IR par (f ( x )= x -frac{2 x }{ e ^{x}+1})Soit (( C_{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé(( O , overrightarrow{ i }, overrightarrow{ j }))1) a – Montrer que l’ensemble de définition de (f) est IRb – Vérifier que ∀ x ∊ IR : (frac{2 x e^{x}}{e^{-x}+1}=2 x-frac{2 x}{e^{x}+1})c – Montrer que la fonction (f) est paire2) a -Montrer que (lim _{x➝+∞} f(x) = +∞)b – Montrer que ∀ x ∊ IR : (f ‘ (x)=frac{e^{x} g(x)}{left(e^{x}+1right)^{2}})c – En déduire que (f) est strictement croissante sur [0,+∞[d- Dresser le tableau de variation de (f) sur IR2) Montrer que la droite (Δ): y = x une asymptote oblique à la courbe (( C_{f})) au voisinage de +∞ 3) Tracer (( C_{f}))5) a – Montrer que ∀ x ∊ [0,ln(2)] : (frac{-2 x }{e^{x}+1} ≤ frac{e^{x}}{e^{x}+1})b – Déduire que ∀ x ∊ [0,ln(2)] : 0 ≤ f(x) ≤(frac{e^{x}}{e^{x}+1})6) Soit A la surface de la portion du plan délimité par la courbe (( C _{f})) et l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x=0 et x=ln 2.Montrer que (0 ≤ A ≤ frac{1}{2}(ln 2)^{2}+ln (frac{3}{2})) Partie C:On considère la suite ((u_{n})) définie par: (u _{0}=1) et ∀ n ∊ IN : (u _{n+1}= f(u _{n}))
1) Montrer que ∀ n ∊ IN : (0 < u_{n} < 1)2) Etudier la monotonie de suite ((u _{n}))3) Déduire que ((u _{n})) est convergente, puis calculer (lim _{n➝+∞}u_{n}). ➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire