Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 03Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Fonction Exponentiel (2 points )* Suite Numérique (3.5 points )* Nombres complexes (3.5 points )* Suite Numérique (3 points )* Etude d’une fonction numérique (8 points ) * Fonctions Exponentiel ( 2 points )1) Résoudre dans IR les équations suivantes:a – (e^{x^{2}-1} × e^{2 x}=frac{e^{x+1}}{e^{3 x-8}})b – (ln(e^{2 x}+3)=4)2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:a – (frac{e^{2 x^{2}} × (e^{x})^{3}}{e^{7} × (e^{x})^{-2}} ≤ 1)b – (ln(3 e^{2 x}-2) ≥ -x)
* Suite Numérique (3.5 points )
On considère la suite (( u _{n})) définie par : ( u_{0}=1) et ∀ n∊IN :(u_{n+1}=frac{2u_{n}+3}{2 u_{n}+7})1) Calculer (u_{1}) et (u_{2})2) Montrer par la récurrence que ∀ n∊IN : (u_{n} > frac{1}{2})3) a – Montrer que la suite (( u_{n})) est décroissante, puis déduire qu’elle est convergenteb – Déduire que ∀ n∊IN : (u_{n} ≤ 1)4) Soit la suite (( v _{n})) définie par, ∀ n∊IN : (v_{n}=frac{2 u_{n}-1}{ u_{n}+3})a – Calculer (v_{0})b – Montrer que ((v_{n})) est une suite géométrique de raison (q =frac{1}{8})c – Exprimer (v_{n}) en fonction de (n)d – Montrer que ∀ n∊IN : ( u_{n}=frac{3 v_{n}+1}{- v_{n}+2}) puis déduire (u_{n}) en fonction de (n)5) Calculer limite de la suite (( u _{n}))6) On pose ∀ n∊IN : (w_{n}=ln( u_{n})+2 u_{n}) Montrer que la suite (w_{n}) converge et calculer sa limite. * Nombre Complexe (3.5 points )
I. Résoudre dans (C) l’équation z²+2z+2=0II. Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe ((O,vec{i},vec{j}),) on considèreles points A,B,C et Ω d’affixe respectivement a=-1+ i, b=5 – i, c =3+3i et ω=21) a – Ecrire a et c sous forme trigonométrique, puis déduire que (a^{8}+c^{4}=-308)b – Montrer que (frac{c – ω}{ a – ω}= – i)c- Déduire la nature du triangle ΩAC2) Soit le point D image du point A par la translation (T) de vecteur (vec{u}) d’affixe (2-4 i)a – Montrer que d =1-3i est l’affixe du point Db – Montrer que (frac{c-d}{ω-d}=2,) puis déduire que Ω est le milieu du segment ([ C D ])3) Soit (R) la rotation de centre (Omega) et d’angle (-frac{pi}{2})a – Montrer que le point (C) est l’image de A par la rotation (R) (Utiliser question II) 1) b)b -Montrer que le point D est l’image de B par la rotation (R)c – Déduire que les points A,B,C et D cocyclique ( appartiennent au même cercle) qu’on déterminera son centre et son rayon (Utiliser les questions II) 2) b) , 3) a) et 3) b)
* Suite Numérique (3 points ) Soit (f) une fonction définie sur IR par sa courbe représentative (( C_{f}))
1) a – Calculer (lim_{x➝+∞} f(x)) et (lim_{x➝-∞} f(x))
b- Dresser le tableau de variations de (f)2) Calculer (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x}) (justifier votre réponse)3) Déterminer le signe de (f » (x)) sur IR4) Etudier la position relative de (( C_{f})) et la droite d’équation y=x5) On considère la suite ((u _{n})) définie par :
(u_{0}=0) et ∀ n∊IN :(u_{n+1}= f (u_{n}))a – Montrer que ∀ n∊IN : ( 0 ≤ u_{n} ≤ 5)b -Etudier la monotonie de ((u _{n})) (utiliser la question 4)
c – Déduire que la suite ((u _{n})) est convergente et calculer (lim_{n➝+∞}u_{n}) * Etudes de Fonctions ( 8 points ) Partie A:Soit la fonction (g) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par : g(x)=2x²-1-x+ln(x)1) Vérifier que (g(1)=0) Calculer pour tout x de ]0,+∞[ g ‘ (x)2) A partir du tableau de variations de la fonction g ci-dessous
Montrer que g(x)≤ 0 pour x∊ ] 0,1[ et que g(x) ≥ 0 pour tout x∈[1,+∞[ Partie B:
On considère la fonction (f) définie sur ] 0,+∞[ par : (f(x)=2 x-frac{1}{x}+1) ln x) Soit (( C _{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (( O,overrightarrow{ i }, overrightarrow{ j })) (unité 1cm )1) Montrer que (lim_{x rightarrow 0 atop x>0} f(x)=+infty) et interpréter géométriquement résultat obtenu2) (-a) – Vérifier que (f(x)=xleft(2-left(frac{1}{x}+1right) frac{ln x}{x}right))b-) Déduire que (lim _{x rightarrow+infty} f(x)=+infty)c- Montrer que la courbe ((C _{f})) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite(D) d’équation y=2×3) a – Montrer que (f ‘(x)=frac{g(x)}{x²}) pour tout x ∈]0,+∞[
b – Montrer que la fonction (f ) est décroissante sur] 0,1] et croissante sur [1,+∞[c – Dresser le tableau de variation de (f) sur ]0,+∞[4) a – Etudier le signe de (-(frac{1}{x}+1)): (x) sur l’intervalle ]0,+∞[b – Déduire la position relative de la courbe ( (C _{f})) avec la droite ( D )5) Tracer (( C _{ f })) et la droite (D) dans le même repère ((O,overrightarrow{i},overrightarrow{j}))6) a- En utilisant une intégration par partie, montrer que (int_{1}^{e} ln (x) d x=1)b – Montrer que (int_{1}^{e}frac{ln(x)}{x} dx = frac{1}{2})déduire l’aire de surface délimité par la courbe ((C _{f})) et la droite (D) et les deux droites d’équations x=1 et x=e. Télécharger Fichier PDF Gratuit
-Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 03-
➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire