Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 07
Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Fonction Logarithme (2.5 points )* Nombres complexes (5 points )* Suite Numérique (2.5 points )* Etude d’une fonction numérique (10 points )
* Fonctions logarithme ( 2.5 points )1) a-Résoudre dans IR I’équation: x²-3x+2=0b- Résoudre dans R I’équation: (9^{x}-3^{x+1}+2=0)2) Résoudre dans ] 0,+∞[ l’inéquation: ln(x)+ln(x+1)≤ln(x²+1)3) Résoudre dans (] 0,+∞[)² le système: (left{begin{array}{l}2 ln x+ln y=4 \ ln x+3 ln y=7end{array}right.) * Nombre Complexe (5 points )1) Résoudre dans I’ ensemble des nombres complexe I’équation z²-4z+16=02) On pose (u=2+2 sqrt{3} i) et (v=bar{u})a- Ecrire u et v sous forme trigonométriqueb- Montrer que (u^{15}+v^{15}=-2^{31})3) On considéré, dans le plan complexe rapporte a un repère orthonormé ((O,vec{i}, vec{j})) les points A, B et C d affixes respectives a=u, b=v et c=-4 Soient z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe d’un point M’ image de M par la rotation (R) de centre C d’angle (frac{π}{3})a-Montrer que : 2z’ =((1+sqrt{3} i) z-4+4 sqrt{3} i)b- vérifier que A image du B par la rotation (R)puis déduire la nature du triangle ABCc- montrer que l’ensemble des points M (z) tels que |z|=4 est le cercle circonscrit au triangle ABC4) on pose (i=-1+i sqrt{3}) I affixe d’un point I a-vérifier que I est le milieu du segment [AC]puis déduire que la droite (OI) est la médiatrice du [AC]b- montrer que les points B, I et O sont alignesc- déterminer d l’affixe d’un point D pour laquelle ABCD est parallélogramme puis montrer qu’elle est losange * Suite Numérique (2.5 points )On considère la suite numérique ((U_{n})) définie par: ( U_{0}=frac{3}{2}) et (U_{n+1}=frac{7 U_{n}-3}{3 U_{n}+1}) pour tout n de IN1). Montrer par récurrence que (U_{n}>1) pour tout n de IN2) Montrer que la suite ((U_{n})) est décroissante et qu’elle est convergente4) On considère la suite numérique ((V_{n})) définie par: (V_{n}=frac{1}{U_{n}-1}) pour tout n de INa. Montrer que ((V_{n})) est une suite arithmétique de raison (frac{3}{4})fonction de (n)b. Montrer que (V_{n}=2+(frac{3}{4})^{n}) pour tout n de INc. determiner (U_{n}) en fonction de n puis calculer la limite de la suite ((U_{n})) * Etudes de Fonction ( 10 points ) Partie I-soit (g) la fonction numérique définie sur (R) par: (g(x)=1-e^{2 x}+2 x e^{2 x})1) a- Montrer que (g'(x)=4 x e^{2 x}) Pour tout x de IRb- dresser le tableau de variations de la fonction g sur IR2) Montrer que g(x) ≥ 0 Pour tout x de IR Partie II- soit (f) la fonction numérique définie sur IR par: (f(x)=x-(1-x) e^{2 x})et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})) (unité (1cm))1) a-Montrer que (lim _{x⟶-∞} f(x)=-∞)b-Montrer que:(C) admet une asymptote (Δ) au voisinage -∞ d équation y=x c-Montrer que:(C) est au-dessous de (Δ) sur l’intervalle ]-∞, 1] et en dessus de (Δ) sur l’intervalle [1,+∞[2) a- calculer (lim_{x⟶+∞} f(x))b- Montrer que:la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage +∞3) a- Montrer que: f ‘(x)=g(x) Pour tout x de IRb- interpréter géométrique le résultat (f ‘(0)=0)c- Montrer que: la fonction (f) est croissante sur IRpuis dresser le tableau de variations de la fonction (f) sur IR4) Montrer que:(I(1,0)) est un point d’inflexion de la courbe (C)5) Construire (Δ) et (C) dans le même repère ((O,vec{i}, vec{j}))6) a- A l’aide d’une intégration par partic montrer que (int_{ln 2}^{1} x e^{2 x} d x=frac{e²+4-4×ln4}{4}) Partie III- Soit h la fonction numérique définie sur l’intervalle [1,+∞[ par ; h(x)=f(x)1) montrer que:la fonction (h) admet une fonction réciproque (h^{-1}) définie sur J que l’on précisera puis tracer sa courbe dans le repère précédant2) calculer:((h^{-1})^{prime}(1)) (remarquer que h(1)=1 )3) Construire ((h^{-1})) et (C) dans le mème repère ((O, vec{i}, vec{j})). ➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire