Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 11
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Intégrale ( 2.5 points )
1) Vérifier que :
∀ x∊R : (1-frac{e^{x}}{e^{x}+1}=frac{1}{e^{x}+1})
2) Déduire que :
(I=int_{0}^{1} frac{1}{e^{x}+1} d x=1+ln (frac{2}{e+1}))
3) a- Montrer que:
la fonction (H: x➝frac{-1}{e^{x}+1}) est une primitive de:
(h: x➝frac{e^{x}}{(e^{x}+1)²}) sur IR
b – En utilisant une intégration par parties montrer que :
(J=int_{0}^{1}frac{x e^{x}}{(e^{x}+1)²} dx)
* Fonction logarithmique et exponentielle ( 2.5 points )
1) a – Résoudre dans (R) l’équation : 2x²-5x+2=0
b- Déduire les solutions de l’équation (2 e^{2 x}-5 e^{x}+2=0) dans IR
2) a- Résoudre dans IR² le système :
({begin{array}{l}x+y=3 \ 4 x-y=2end{array})
b – Déduire dans ((R^{*}_{+})^{2}) les solutions du système:
({begin{array}{l}ln x+ln y=3 \ 4 ln x-ln y=2end{array})
3) Résoudre dans l’intervalle ]0;+∞[ l’inéquation:
(ln(x)+ln(x+1)≥ln (x²+1))
* Nombre Complexe (3.5 points )
1) On considère dans C l’équation:
( E): (Z²-2sqrt{3}Z+4=0)
a- Déterminer (Z_{1}) et (Z_{2}) les deux solutions de (E) tels que:
((ImZ_{1}>ImZ_{2}))
b- Écrire (Z_{1}) sous sa forme trigonométrique
puis déduire que ( Z_{1}^{6}+64=0)
Dans le plans complexe,on considère les points A, B et C d’affixes respectives:
(Z_{A}=sqrt{3}+i, ;Z_{B}=sqrt{3}-i; et ;Z_{C}=2 i)
2) a- Écrire (Z_{A}) sous sa forme exponentielle.
b- Déterminer:
la représentation complexe de la translation (T) de vecteur
(vec{ u }) d’affixe (3 sqrt{3}- i)
c- Soit E l’image de B par la translation (T).
Déterminer (Z_{ E }) l’affixe du point E
d- Montrer que les points A et E et C alignés.
* Suite Numérique (4 points )
Soit ((U_{n})_{n≥0}) la suite numérique définie par:
( U _{0}=frac{3}{2} ;et; U _{n+1}=frac{4 U _{n}}{3+ U _{n}};(∀ n∈N) ) ∀n∈N
1) Montrer par récurrence que ∀n∈N: (U_{n}>1)
2) Montrer que ((U_{n})_{n≥0}) est décroissante et déduire qu’elle est convergente.
3) On pose (V_{n}=frac{U_{n}}{U_{n}-1};(∀ n∈N) )
a- Calculer : (V_{0})
b-Montrer que (( V _{n})_{n≥0}) est une suite géométrique de raison (q=frac{4}{3})
puis déduire que (V_{n}=3(frac{4}{3})^{n}) pour tout n de IN
c- Montrer que:
pour tout n de IN : (U_{n}=frac{V_{n}}{V_{n}-1})
d – Déduire la limite de((U_{n})_{n≥0})
* Etudes de Fonctions ( 7.5 points )
I. On considère la fonction définie sur ]0;+∞[ par: g(x)=x²-2lnx
1) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[:
(g ‘(x)=frac{2(x^{2}-1)}{x})
2) Dresser le tableau de variations de (g) sur ]0;+∞[
(le calcul des limites n’est pas demandé.)
3) Déduire que (g) est strictement positive sur ]0;+∞[:
II. Soit (f) la fonction numérique définie sur ]0;+∞[ par :
(f(x)=frac{1+lnx}{x}+frac{1}{2} x)
((C_{f})) sa courbe représentative de (f) dans un repère orthonormé. (|vec{i}|=2cm)
1) a- Montrer que (lim _{x➝+∞} f(x)=+∞)
b- Calculer (lim_{x➝+∞}(f(x)-frac{1}{2} x))
et déduire que la droite (Δ) d’équation (y=frac{1}{2} x) est une asymptote oblique de ((C_{f})) au voisinage de +∞
c – Calculer (lim _{x➝0^{+}} f(x))
puis interpréter le résultat géométriquement.
2) a- Montrer que: ∀x∈]0;+∞[: (f ‘(x)=frac{g(x)}{2 x^{2}})
b – Dresser le tableau de variations de (f)
3) a – Montrer que l’équation (f(x)=0)
admet une unique solution α dans ]0;+∞[
puis vérifier que (frac{1}{4}<α<frac{1}{2})
b – Montrer que (f « (x)) a le même signe que( 2ln(x)-1) sur ]0;+∞[
Puis déduire la concavité de ((C_{f}))
4) Construire la droite (Δ) et la courbe ((C_{f}))
5) a – Montrer que (f) admet une fonction réciproque (f^{-1}) définie sur
un intervalle J dont on déterminera.
(La détermination de (f^{-1}(x)) n’est pas demandée)
b -Calculer (f(1)) puis déduire ((f^{-1})'(frac{3}{2}))
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Examen Bac 2 2020 Math Préparation 11
* Solution
* Intégrale
1) Vérifier que : (quad forall x in R ; 1-frac{e^{x}}{e^{x}+1}=frac{1}{e^{x}+1})
Correction :
[forall x in R ; 1-frac{e^{x}}{e^{x}+1}=frac{e^{x}+1-e^{x}}{e^{x}+1}=frac{1}{e^{x}+1}]
2) Déduire que : (quad I=int_{0}^{1} frac{1}{e^{x}+1} d x=1+ln left(frac{2}{e+1}right))
[begin{aligned}I &=int_{0}^{1} frac{1}{e^{x}+1} d x \&=int_{0}^{1} 1-frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x \&=left[x-ln left(e^{x}+1right)right]_{0}^{1} \&=1-ln left(e^{1}+1right)-0+ln left(e^{0}+1right) \&=1-ln (e+1)+ln (2) \&=1+ln (2)-ln (e+1) \&=1+ln left(frac{2}{e+1}right)end{aligned}]
3) a – Montrer que la fonction (H : x mapsto frac{-1}{e^{x}+1}) est une primitive de (h : x mapsto frac{e^{ x }}{left(e^{x}+1right)^{2}} operatorname{sur} R)
(H) est dérivable sur (R)
[text { Soit } x in R , quad H ^{prime}( x )=left(frac{-1}{e^{x}+1}right)^{prime}=-frac{-left(e^{x}+1right)^{prime}}{left(e^{x}+1right)^{2}}=frac{e^{x}}{left(e^{x}+1right)^{2}}]
Puisque (forall x in R , quad H^{prime}(x)=h(x))
Alors (H: x mapsto frac{-1}{e^{x}+1}) est une primitive de (h: x mapsto frac{e^{x}}{left(e^{x}+1right)^{2}}) sur (R)
b- En utilisant une intégration par parties montrer que :
[J=int_{0}^{1} frac{x e^{x}}{left(e^{x}+1right)^{2}} d x]
Posons (left.U^{prime}(x)=frac{e^{x}}{left(e^{x}+1right)^{2}} text { Donc une primitive de } U text { est } U(x)=frac{-1}{e^{x}+1} text { d’après } 3right) a)
Et posons (V(x)=x) Donc la dérivée de (V) est (V^{prime}(x)=1)
Donc:
[begin{aligned}int_{0}^{1} frac{x e^{x}}{left(e^{x}+1right)^{2}} d x &=left[frac{-x}{e^{x}+1}right]_{0}^{1}-int_{0}^{1} frac{-1}{e^{x}+1} d x \&=left[frac{-x}{e^{x}+1}right]_{0}^{1}+int_{0}^{1} frac{1}{e^{x}+1} d x \&=left(frac{-1}{e^{1}+1}-frac{-0}{e^{0}+1}right)+1+ln left(frac{2}{e+1}right) \&=frac{e}{e+1}+ln left(frac{2}{e+1}right)end{aligned}]
* Fonction logarithmique et exponentielle
1) a – Résoudre dans (R) l’équation (: 2 x^{2}-5 x+2=0)
[Delta=(-5)^{2}-4.2 .2=25-16=9]
Donc l’équation admet deux solutions dans R
[begin{array}{l}x_{1}=frac{5-sqrt{9}}{2.2}=frac{2}{4}=frac{1}{2}\x_{2}=frac{5+sqrt{9}}{2.2}=frac{8}{4}=2end{array}]
L’ensemble des solutions de l’équation (:left{2 ; frac{1}{2}right})
b – Déduire les solutions de l’équation (2 e^{2 x}-5 e^{x}+2=0) dans (R)
[2 e^{2 x}-5 e^{x}+2=0 Longleftrightarrow 2left(e^{x}right)^{2}-5 e^{x}+2=0]
En posant (X=e^{ r }) léquation devient (2 X^{2}-5 X+2=0)
Or ,d’après 1 ) (a: X=frac{1}{2}) ou (X=2)
[c-a-d: e^{x}=frac{1}{2} text { ou } e^{x}=2]
D’où (x=ln left(frac{1}{2}right)) ou (x=ln 2)
[S=left{ln left(frac{1}{2}right) ; ln 2right}]
2) a – Résoudre dans (R ^{2}) le système : (left{begin{array}{l}x+y=3 \ 4 x-y=2end{array}right.)
(left{begin{array}{l}x+y=3 \ 4 x-y=2end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y=3-x \ 4 x-y=2end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y=3-x \ 4 x-3+x=2end{array}right.right.right.)
(Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y=3-x \ x=1end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y=2 \ x=1end{array}right.right.)
Le système admet une seule solution; le couple (1; 2).
b – Déduire les solutions du système: (left{begin{array}{l}ln x+ln y=3 \ 4 ln x-ln y=2end{array} text { dans }( R *+)^{2}right.)
Correction En posant (alpha=ln x) et (beta=ln y) ce système devient: (left{begin{array}{l}alpha+beta=3 \ 4 alpha-beta=2end{array}right.)
Donc (alpha=1) et (beta=2 d) ‘après 2 ) (a) Par suite (left{begin{array}{l}ln x=1 \ ln y=2end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x=e^{1} \ y=e^{2}end{array} text { finalement Tensemble des solutions est }left{left(e ; e^{2}right)right.right.right.)
3) Résoudre dans l’intervalle (] 0 ;+inftyleft[text { l’inéquation }: quad ln (x)+ln (x+1) geq ln left(x^{2}+1right)right.)
Correction :
(forall x in] 0 ;+infty[)
[begin{aligned}ln (x)+ln (x+1) geq ln left(x^{2}+1right)&Longleftrightarrow ln (x(x+1)) geq ln left(x^{2}+1right) \& Longleftrightarrow ln left(x^{2}+xright) geq ln left(x^{2}+1right) \& Longleftrightarrow x^{2}+x geq x^{2}+1 \& Longleftrightarrow x geq 1end{aligned}]
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est : ([1 ;+infty[)
* Nombre Complexe
1) On considère dans C l’équation :
(( E ): quad Z^{2}-2 sqrt{3} Z+4=0)
(a-) Déterminer (Z_{1}) et (Z_{2}) les deux solutions de ((E)) tels que (: 3 mleft(Z_{1}right)>3 mleft(Z_{2}right))
[Delta=(-2 sqrt{3})^{2}-4.1 .4=12-16=-4]
Donc l’équation admet deux solutions dans
L’ensemble des solutions est: ({sqrt{3}-i ; sqrt{3}+i})
b – Écrire (Z_{1}) sous sa forme trigonométrique puis déduire que : (Z_{1}^{6}+64=0)
[begin{aligned}Z_{1}=sqrt{3}+i&=underbrace{sqrt{sqrt{3}^{2}+1^{2}}}_{text {Module de } Z_{1}}left(frac{sqrt{3}}{sqrt{sqrt{3}^{2}+1^{2}}}+frac{1}{sqrt{sqrt{3}^{2}+1^{2}}} iright) \&=2left(frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2} iright) \&=2left(cos left(frac{pi}{6}right)+sin left(frac{pi}{6}right) iright) \&=left[2 ; frac{pi}{6}right]end{aligned}]
Montrons que (Z_{1}^{6}+64=0)
[begin{aligned}Z_{1}^{6}+64 &=left[2 ; frac{pi}{6}right]^{6}+64 \&=left[2^{6} ; frac{pi}{6} cdot 6right]+64 \&=[64 ; pi]+64 \&=64 cdot(cos pi+i sin pi)+64 \&=64 cdot(-1+i .0)+64 \&=-64+64end{aligned}]
Dans le plans complexe, on considère les points (A) et (B) et (C) d’affixes respectives:
[Z_{A}=sqrt{3}+i text { et } Z_{B}=sqrt{3}-i text { et } Z_{C}=2 i]
2) a – Ecrire (Z_{A}) sous sa forme exponentielle.
[Z_{A}=Z_{1}=left[2 ; frac{pi}{6}right]=2 e^{i frac{m}{pi}}]
b – Déterminer la représentation complexe de la translation (T) de vecteur (vec{u}) d’affixe (3 sqrt{3}-i)
Rappel : (operatorname{si} M(Z)) et (M^{prime}left(Z^{prime}right)) tels que (M^{prime}=T(M))
[text { Alors } Z^{prime}=Z+Z_{vec{u}}]
[begin{aligned}M^{prime}=T(M) & Longleftrightarrow Z^{prime}=Z+Z_{bar{u}} \& Longleftrightarrow Z^{prime}=Z+3 sqrt{3}-iend{aligned}]
Donc la représentation complexe de (T) est (: Z^{prime}=Z+3 sqrt{3}-i)
c- Soit (E) l’image de (B) par la translation (T). Déterminer (Z_{E}) l’affixe du point (E)
(begin{aligned}E = T ( B ) & Longleftrightarrow Z_{E}=Z_{B}+3 sqrt{3}- i \& Longleftrightarrow Z_{E}=sqrt{3}-i+3 sqrt{3}-i \& Longleftrightarrow Z_{E}=4 sqrt{3}-2 iend{aligned})
d- Montrer que les points (A) et (E) et (C) alignés.
Correction:
[
begin{aligned}
frac{Z_{A}-Z_{E}}{Z_{A}-Z_{C}} &=frac{sqrt{3}+i-4 sqrt{3}+2 i}{sqrt{3}+i-2 i} \
&=frac{-3 sqrt{3}+3 i}{sqrt{3}-i} \
&=frac{-3(sqrt{3}-i)}{sqrt{3}-i} \
&=-3 in R \
&left(text { On peut aussi calculer } frac{Z_{C}-Z_{E}}{Z_{C}-Z_{A}} ou frac{Z_{E}-Z_{C}}{Z_{E}-Z_{A}} ou ldotsright)
end{aligned}
]
Puisque (frac{Z_{A}-Z_{E}}{Z_{A}-Z_{C}} in R) Alors les points (A) et (E) et (C) sont alignés.
* Suite Numérique
Soit (left(U_{n}right)_{n geq 0}) la suite numérique définie par: (left{begin{aligned} U_{0} &=frac{3}{2} \ U_{n+1} &=frac{4 U_{n}}{3+U_{n}} end{aligned} quad forall n in N right.)
1) Montrer par récurrence que : (quad(forall n in N ): quad U_{n}>1)
Correction :
Si (n=0, U_{0}=frac{3}{2}>1) donc le résultat est vrai pour (n=0)
Soit (n in N). Supposons que (U_{n}>1) et montrons que (U_{n+1}>1)
[
U_{n+1}-1=frac{4 U_{n}}{3+U_{n}}-1=frac{4 U_{n}-3-U_{n}}{3+U_{n}}=frac{3 U_{n}-3}{3+U_{n}}=frac{3left(U_{n}-1right)}{3+U_{n}}
]
Étudions le signe de (frac{3left(U_{n}-1right)}{3+U_{n}})
D’après l’hypothèse de la récurrence (U_{n}>1) donc (U_{n}-1>0) et (3+U_{n}>0)
[begin{array}{l}
text { Par suite } U_{n+1}-1=frac{3left(U_{n}-1right)}{3+U_{n}}>0 \
text { c-à } cdot d=U_{n+1}>1end{array}]
Finalement, d’après le principe de la récurrence (forall n in N , quad U_{n}>1)
2) Montrer que (left(U_{n}right)_{n geq 0}) est décroissante et déduire qu’elle est convergente.
Correction :
Soit (n in N). Etudions le signe de (U_{n+1}-U_{n})
[begin{aligned}
U_{n+1}-U_{n} &=frac{4 U_{n}}{3+U_{n}}-U_{n} \
&=frac{4 U_{n}-3 U_{n}-U_{n}^{2}}{3+U_{n}} \
&=frac{-U_{n}^{2}+U_{n}}{3+U_{n}} \
&=frac{U nleft(-U_{n}+1right)}{3+U_{n}}end{aligned}]
D’où (U_{n+1}-U n<0) par suite (left(U_{n}right)_{n}) est décroissante.
3) On pose: (quad(forall n in N ): V_{n}=frac{U_{n}}{U_{n}-1})
a – Calculer (V _{0}):
[
V_{0}=frac{U_{0}}{U_{0}-1}=frac{frac{3}{2}}{frac{3}{2}-1}=frac{frac{3}{2}}{frac{1}{2}}=3
]
b- Montrer que (left(V_{n}right)_{n geq 0}) est une suite géométrique de raison (q=frac{4}{3}) puis déduire que (V_{n}=3 cdotleft(frac{4}{3}right)^{n})
pour tout (n) de (N)
Soit (n in N 🙂
[V_{n+1}=frac{U_{n+1}}{U_{n+1}-1}=frac{frac{4 u_{n}}{3+U_{n}}}{frac{4 U_{n}}{3+U_{n}}-1}=frac{frac{4 pi_{n}}{3+U_{n}}}{frac{2 U_{n}-3}{3+U_{n}}}=frac{4 U_{n}}{3+U_{n}} cdot frac{3+U_{n}}{3left(U_{n}-1right)}=frac{4}{3}left(frac{U_{n}}{U_{n}-1}right)=frac{4}{3} cdot V_{n}]
Puisque (V_{n+1}=frac{4}{3} . V_{n} .) alors (left(V_{n}right)_{n}) est une suite géométrique de raison (q=frac{4}{3})
Comme (left(V_{n}right)_{n}) est une suite géométrique alors son terme général s’écrit : (V_{n}=V_{0} . q^{n})
[
text { Donc } V_{n}=3 .left(frac{4}{3}right)^{n}
]
c-Montrer que pour tout (n) de (N : quad U_{n}=frac{V_{n}}{V_{n}-1})
[
begin{aligned}
V_{n}=frac{U_{n}}{U_{n}-1} & Longleftrightarrow V_{n}left(U_{n}-1right)=U_{n} \
& Longleftrightarrow V_{n} U_{n}-V_{n}=U_{n} \
& Longleftrightarrow V_{n} U_{n}-U_{n}=V_{n} \
& Longleftrightarrow U_{n}left(V_{n}-1right)=V_{n} \
& Longleftrightarrow U_{n}=frac{V_{n}}{V_{n}-1}
end{aligned}
]
d – Déduire la limite de (left(U_{n}right)_{n})
[
lim U_{n}=lim frac{V_{n}}{V_{n}-1}=lim frac{3 cdotleft(frac{4}{3}right)^{n}}{3 cdotleft(frac{4}{3}right)^{n}-1}=lim frac{3 cdotleft(frac{4}{3}right)^{n}}{left(frac{4}{3}right)^{n}left(3-frac{1}{left(frac{1}{3}right)^{n}}right)}=lim frac{3}{3-frac{1}{(3)^{n}}}=1
]
Justification : On a (frac{4}{3}>1) Donc (lim left(frac{4}{3}right)^{n}=+infty) par suite (lim frac{1}{left(frac{4}{3}right)^{pi}}=0)
* Etudes de Fonctions
I. On considère la fonction (g text { définie sur }] 0 ;+inftyleft[text { par }: quad g(x)=x^{2}-2 ln xright.)
1) Montrer que pour tout (x text { de }] 0 ;+inftyleft[: quad g^{prime}(x)=frac{2left(x^{2}-1right)}{x}right.)
(g text { est dérivable sur }] 0 ;+infty[)
(forall x in] 0 ;+inftyleft[: quad g^{prime}(x)=2 x-2 cdot frac{1}{x}=frac{2 x^{2}-2}{x}=frac{2left(x^{2}-1right)}{x}right.)
2) Dresser le tableau de variations de (g text { sur }] 0 ;+infty[). (le calcul des limites n’est pas demandé.)
(forall x in] 0 ;+inftyleft[: quad g^{prime}(x)=frac{2left(x^{2}-1right)}{x}right.)
Le dénominateur (x) est strictement positif.
Le signe de (left.g^{prime}(x) text { dépend du signe de } x^{2}-1 text { sur }right] 0 ;+infty[)
Tableau de signes de (x^{2}-1)
Tableau de signes de g′(x) et tableau de variations de g.
3) Déduire que g est strictement positive sur ]0;+∞[.
g(1) = 1 est la valeur minimale absolue de g.
Donc ∀ x∈]0;+∞[ ; g(x) ≥ 1 > 0. D’où g est strictement positive sur ]0;+∞[.
Donc (forall x in] 0 ;+infty[; g(x) geq 1>0 . text { D’où } g text { est strictement positive sur }] 0 ;+infty[)
II. Soit (f text { la fonction numérique définie sur }] 0 ;+inftyleft[text { par : } quad f(x)=frac{1+ln x}{x}+frac{1}{2} xright.)
(left(C_{f}right)) sa courbe représentative de (f) dans un repère orthonormé. (| vec{i}||=2 c m)
1) a – Montrer que (lim _{x rightarrow+infty} f(x)=+infty)
(begin{aligned} lim _{x rightarrow+infty} f(x) &=lim _{x rightarrow+infty} frac{1+ln x}{x}+frac{1}{2} x \ &=lim _{x rightarrow+infty} frac{1}{x}+frac{ln (x)}{x}+frac{1}{2} x \ &=+infty end{aligned})
(left(operatorname{car} lim _{x rightarrow+infty} frac{ln (x)}{x}=0 text { et } lim _{infty rightarrow+infty} frac{1}{x}=0 text { et } lim _{infty rightarrow+infty} frac{1}{2} x=+inftyright))
b- Calculer (lim _{x rightarrow+infty}left[f(x)-frac{1}{2} xright]) et déduire que la droite
((Delta)) d’équation (y=frac{1}{2} x) est une asymp
tote oblique de (left(C_{f}right)) au voisinage de (+infty)
[lim _{x rightarrow+infty}left[f(x)-frac{1}{2} xright]=lim _{x rightarrow+infty} frac{1+ln (x)}{x}+frac{1}{2} x-frac{1}{2} x=lim _{x rightarrow+infty} frac{1}{x}+frac{ln (x)}{x}=0]
Puisque (lim _{x rightarrow+infty}left[f(x)-frac{1}{2} xright]=0) Donc la droite
((Delta)) d’équation (y=frac{1}{2} x) est une asymptote
oblique de (left(C_{f}right)) au voisinage de (+infty)
c – Calculer (lim _{x rightarrow 0^{+}} f(x)) puis interpréter le résultat géométriquement.
[begin{aligned}
lim _{x rightarrow 0^{+}} f(x) &=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{1+ln x}{x}+frac{1}{2} x \
&=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{1}{x}(1+ln x)+frac{1}{2} x \
&=-inftyend{aligned}]
(left(operatorname{car} lim _{x rightarrow 0^{+}} ln (x)=-infty text { et } lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{1}{x}=+inftyright))
Puisque (lim _{x rightarrow 0^{+}} f(x)=-infty) Alors (left(C_{f}right)) admet une asymptote verticale d’équation (x=0) (l’axe
des ordonnés).2) a – Montrer que : (quad forall x in] 0 ;+inftyleft[quad ; f^{prime}(x)=frac{g(x)}{2 x^{2}}right.)
(f text { est dérivable sur }] 0 ;+infty[)
[begin{aligned}
forall x in] 0 ;+infty[,& \
&=f^{prime}(x)=left(frac{1+ln x}{x}+frac{1}{2} xright)^{prime} \
&=frac{frac{1}{x} x-(1+ln x)}{x^{2}}+frac{1}{2}(1+ln x) \
&=frac{1-1-ln x}{x^{2}}+frac{1}{2} \
&=frac{-11+ln x)^{prime} x-x^{prime}}{2^{2}} \
&=frac{g(x)}{2 x^{2}}end{aligned}]
b – Dresser le tableau de variations de (f)
∀∊] 0;+∞[: 2?² > 0 donc le signe de ?′(?) dépend juste du signe de ?(?) sur ] 0;+∞[
Or, d’après le résultat de la question I.3) (g text { est strictement positive sur }] 0 ;+infty[. text { D’où } f) est strictement croissante sur (| 0 ;+infty)
3) a – Montrer que l’équation (f(x)=0 text { admet une unique solution } alpha text { dans }] 0 ;+infty[) puis vérifier que
(frac{1}{4}<alpha<frac{1}{2})
Correction :
(f) est continue ((x mapsto ln x text { et } x mapsto x text { sont continues sur }] 0 ;+infty[)) et strictement monotone
sur (] 0 ;+infty[)
De plus (0 in f(] 0 ;+infty[)=]-infty ;+infty[)
Donc l’équation (f(x)=0 text { admet une unique solution } alpha text { dans }] 0 ;+infty[)
Vérification : Puisque : (fleft(frac{1}{4}right)=frac{33-32 ln 4}{8}<0) et (fleft(frac{1}{2}right)=frac{9-8 ln 2}{4}>0)
Donc (frac{1}{4}<alpha<frac{1}{2})
b -(left.text { Montrer que } f^{prime prime}(x) text { a le même signe que } 2 ln (x)-1 text { sur }right] 0 ;+infty[.)
Puis déduire la concavité de ((C_{f}))
(left.f^{prime} text { est dérivable sur }right] 0 ;+infty[. forall x in] 0 ;+infty[)
[begin{aligned}
f^{prime prime}(x) &=left(frac{g(x)}{2 x^{2}}right)^{prime} \
&left.=frac{g^{prime}(x) 2 x^{2}-left(2 x^{2}right)^{prime} g(x)}{4 x^{4}}right) 2 x^{2}-4 xleft(x^{2}-2 ln xright) \
&=frac{left(frac{2left(x^{2}-1right)}{x}right)^{2}}{x^{2}} \
&=frac{left(x^{2}-1right) 4 x-4 xleft(x^{2}-2 ln xright)}{4 x^{4}} \
&=frac{left(x^{2}-1right)-left(x^{2}-2 ln xright)}{x^{3}} \
&=frac{x^{2}-1-x^{2}+2 ln x}{x^{3}} \
&=frac{2 ln x-1}{x^{3}}end{aligned}]
Puisque (forall x in] 0 ;+inftyleft[quad, x^{3}>0 text { alors } f^{prime prime}(x) text { a le même signe que } 2 ln (x)-1 text { sur }right] 0 ;+infty[)
[begin{aligned}2 ln (x)-1>0 & Longleftrightarrow ln (x)>frac{1}{2} \& Longleftrightarrow x>e^{frac{1}{2}}end{aligned}]
(f^{prime prime}) est positive sur (left[e^{frac{1}{2}} ;+infty[text { et négative sur }] 0 ; e^{frac{1}{2}}right])
(fleft(e^{frac{1}{2}}right)=frac{1+frac{1}{2}}{e^{frac{1}{2}}}+frac{1}{2} e^{frac{1}{2}}=frac{3}{2 e^{frac{1}{2}}}+frac{1}{2} e^{frac{1}{2}}=frac{3+e}{2 e^{frac{1}{2}}})
4) Construire la droite (Δ) et la courbe (?? ) .
5) a – Montrer que (f) admet une fonction réciproque (f^{-1}) définie sur un intervalle (J) dont on déterminera. (quad) (La détermination de (f^{-1}(x)) n’est pas demandée)
(f text { est continue et strictement monotone ( strictement croissante) sur }] 0 ;+infty[) donc elle admet une fonction réciproque (left.f^{-1} text {définie sur } J=f(] 0 ;+infty[)=right]-infty ;+infty[)
b- Calculer (f(1)) puis déduire (left(f^{-1}right)^{prime}left(frac{3}{2}right))
[f(1)=frac{1+ln 1}{1}+frac{1}{2}=1+frac{1}{2}=frac{3}{2}]
Déduisons (left(f^{-1}right)^{prime}left(frac{3}{2}right):)
Rappel : (left(f^{-1}right)^{prime}(x)=frac{1}{f^{prime}left(f^{-1}(x)right)})
(left(f^{-1}right)^{prime}left(frac{3}{2}right)=frac{1}{f^{prime}left(f^{-1}left(frac{3}{2}right)right)}=frac{1}{f^{prime}(1)}=frac{1}{frac{g(1)}{2}}=frac{1}{frac{1}{2}}=2)
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