Ce cours sur l’ordre dans IR pour le Tronc Commun traite de la comparaison, des opérations, de la valeur absolue, des intervalles et de l’encadrement, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Cours sur l’ordre dans IR Tronc Commun
L’Ordre dans IR
Comparaison, opérations, valeur absolue, intervalles et encadrements.
à maîtriser
1L’ordre dans \(\mathbb{R}\)
- \(a \le b \iff b – a \ge 0\) (le signe de la différence permet de comparer).
- \(a < b \iff b – a > 0\).
Ainsi, comparer \(a\) et \(b\) revient à étudier le signe de \(a – b\).
Donc \(\frac{101}{102} > \frac{100}{101}\).
Or \(\sqrt{3} \approx 1.732 < 2\), donc \(2 – \sqrt{3} > 0\).
Ainsi, \(a > b\).
2L’ordre et les opérations
- Si \(a \le b\), alors \(a + c \le b + c\) (on peut ajouter un même nombre aux deux membres).
- Si \(a \le b\) et \(c \le d\), alors \(a + c \le b + d\) (on peut additionner membre à membre des inégalités de même sens).
- Si \(a \le b\) et \(c \ge 0\), alors \(ac \le bc\) (l’ordre est conservé).
- Si \(a \le b\) et \(c \le 0\), alors \(ac \ge bc\) (l’ordre est inversé).
On ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même sens : \(a \le b\) et \(c \le d\) n’impliquent pas \(a – c \le b – d\).
3La Valeur Absolue
- \(|x| \ge 0\)
- \(|-x| = |x|\)
- \(|xy| = |x| \times |y|\)
- \(|x + y| \le |x| + |y|\) (Inégalité triangulaire)
- \(\sqrt{x^2} = |x|\)
- On utilise la propriété : \(|X| = a \iff X = a \text{ ou } X = -a\) (avec \(a > 0\)).
- Donc \(x – 1 = 5\) ou \(x – 1 = -5\).
- Cela donne \(x = 6\) ou \(x = -4\).
- L’ensemble des solutions est \(S = \{-4 ; 6\}\).
4Intervalles dans \(\mathbb{R}\)
| Intervalle | Inégalité | Représentation |
|---|---|---|
| \([a ; b]\) | \(a \le x \le b\) | Fermé des deux côtés |
| \(]a ; b[\) | \(a < x < b\) | Ouvert des deux côtés |
| \([a ; b[\) | \(a \le x < b\) | Fermé en \(a\), ouvert en \(b\) |
| \(]a ; b]\) | \(a < x \le b\) | Ouvert en \(a\), fermé en \(b\) |
| \([a ; +\infty[\) | \(x \ge a\) | Fermé en \(a\), infini |
| \(]-\infty ; b]\) | \(x \le b\) | Infini, fermé en \(b\) |
- L’intersection \(I \cap J\) est l’ensemble des réels qui appartiennent à \(I\) et à \(J\).
- La réunion \(I \cup J\) est l’ensemble des réels qui appartiennent à \(I\) ou à \(J\).
- \(I \cap J = [4 ; 5]\)
- \(I \cup J = [2 ; 6]\)
5Encadrement et Valeur approchée
- Addition : Si \(a < x < b\) et \(c < y < d\), alors \(a + c < x + y < b + d\).
- Multiplication : Si \(0 < a < x < b\) et \(0 < c < y < d\), alors \(ac < xy < bd\).
- \(1 \le x \le 3\)
- \(2 \le 2x \le 6\) (on multiplie par 2)
- \(2 – 1 \le 2x – 1 \le 6 – 1\) (on soustrait 1)
- \(1 \le 2x – 1 \le 5\)
6Exercices corrigés
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
Comparer \(a = \sqrt{6}\) et \(b = \sqrt{3} + \sqrt{2} – 1\).
Voir la solution
On calcule la différence :
\(a – b = \sqrt{6} – (\sqrt{3} + \sqrt{2} – 1)\)
\(a – b = \sqrt{3}\sqrt{2} – \sqrt{3} – \sqrt{2} + 1 = \sqrt{3}(\sqrt{2} – 1) – (\sqrt{2} – 1)\)
\(a – b = (\sqrt{2} – 1)(\sqrt{3} – 1)\)
Or \(\sqrt{2} > 1\) et \(\sqrt{3} > 1\), donc \((\sqrt{2} – 1) > 0\) et \((\sqrt{3} – 1) > 0\).
Ainsi \(a – b > 0\), donc \(a > b\).
Résoudre l’inéquation \(|2x + 1| < 6\).
Voir la solution
L’inéquation \(|X| < a\) équivaut à \(-a < X < a\).
Donc \(-6 < 2x + 1 < 6\).
On soustrait 1 : \(-7 < 2x < 5\).
On divise par 2 : \(-\frac{7}{2} < x < \frac{5}{2}\).
L’ensemble des solutions est \(S = \left]-\frac{7}{2} ; \frac{5}{2}\right[\).
Soient \(I = [-1 ; +\infty[\) et \(J = ]-3 ; 7]\). Déterminer \(I \cap J\) et \(I \cup J\).
Voir la solution
\(I \cap J\) (intersection) : les nombres qui sont à la fois \(\ge -1\) et dans \(]-3 ; 7]\).
\(I \cap J = [-1 ; 7]\).
\(I \cup J\) (réunion) : tous les nombres qui sont dans l’un ou l’autre.
\(I \cup J = ]-3 ; +\infty[\).
Soient \(x \in [-3 ; 1]\) et \(y \in [-6 ; -2]\). Trouver un encadrement de \(x + y\) et de \(x – y\).
Voir la solution
Pour \(x + y\) :
On additionne membre à membre : \(-3 + (-6) \le x + y \le 1 + (-2)\).
Donc \(-9 \le x + y \le -1\).
Pour \(x – y\) :
On commence par encadrer \(-y\). Comme \(-6 \le y \le -2\), en multipliant par \(-1\) (l’ordre s’inverse) : \(2 \le -y \le 6\).
Puis on additionne : \(-3 + 2 \le x + (-y) \le 1 + 6\).
Donc \(-1 \le x – y \le 7\).
★Fiche résumé à retenir
- Comparaison : \(a \le b \iff b – a \ge 0\).
- Multiplication : Inverser l’ordre si on multiplie par un nombre négatif.
- Valeur absolue : Distance entre \(x\) et \(0\). \(|a – b|\) est la distance entre \(a\) et \(b\).
- Intervalles : Attention aux crochets ouverts (exclus) et fermés (inclus).
- Encadrement : L’amplitude est la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure.