Les Ensembles de Nombres · Cours Tronc Commun

Ce cours sur les ensembles de nombres pour le Tronc Commun présente N, Z, D, Q et R, les opérations, les racines carrées et les puissances, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours sur les ensembles de nombres Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Les Ensembles de Nombres

Définition Il existe différentes sortes de nombres. Pour les classer, on les a regroupés dans différents ensembles remarquables.

1.1 L’ensemble des entiers naturels (\(\mathbb{N}\))

C’est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls.

\[ \mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots \} \]

1.2 L’ensemble des entiers relatifs (\(\mathbb{Z}\))

C’est l’ensemble des entiers naturels et de leurs opposés (négatifs).

\[ \mathbb{Z} = \{\dots ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots \} \]

Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit que \(\mathbb{N}\) est inclus dans \(\mathbb{Z}\) : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).

1.3 L’ensemble des décimaux (\(\mathbb{D}\))

Ce sont les nombres dits « à virgule » (qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule).

\[ \mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} \mid a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\} \]

On a donc \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\).

1.4 L’ensemble des rationnels (\(\mathbb{Q}\))

Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fraction \(\frac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers et \(q \neq 0\).

\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^* \right\} \]

On a donc \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\).

Attention Un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique infinie. Par exemple, \(\frac{1}{3} = 0,333333\dots\) est rationnel mais n’est pas un décimal (\(\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}\)).

1.5 L’ensemble des réels (\(\mathbb{R}\))

Il regroupe tous les nombres utilisés en Seconde : les rationnels et les irrationnels (comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\)).

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

2Opérations dans \(\mathbb{R}\)

Propriétés Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}\) :
  • Commutativité : \(a + b = b + a\) et \(a \times b = b \times a\)
  • Associativité : \((a + b) + c = a + (b + c)\) et \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
  • Distributivité : \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)

Règles sur les fractions

Propriétés Soient \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\) avec \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\) :
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \quad ; \quad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \]
\[ \frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \quad ; \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc \]
Attention On ne peut pas additionner les dénominateurs ! \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \neq \frac{a+c}{b+d}\).

3Racine Carrée

Définition Soit \(a\) un nombre positif. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l’unique nombre positif dont le carré est égal à \(a\).
\[ \sqrt{a} = x \iff x \ge 0 \text{ et } x^2 = a \]
Propriétés Soient \(a\) et \(b\) deux nombres positifs :
  • \(\sqrt{a^2} = |a|\) (attention, pas \(a\) si \(a\) est négatif)
  • \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
  • \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (avec \(b > 0\))
  • \((\sqrt{a})^2 = a\)
Exemple · Rendre rationnel le dénominateur Simplifier \(A = \frac{1}{\sqrt{2} – 1}\).
  1. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué : \(\sqrt{2} + 1\).
  2. \(A = \frac{1 \times (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1)}\)
  3. Le dénominateur devient : \((\sqrt{2})^2 – 1^2 = 2 – 1 = 1\).
  4. Donc \(A = \frac{\sqrt{2} + 1}{1} = \sqrt{2} + 1\).

4Les Puissances

Définition Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^*\), on définit :
\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} \]

On a les cas particuliers : \(a^1 = a\) et \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)).

Pour \(a \neq 0\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).

Propriétés des puissances Soient \(a, b \in \mathbb{R}^*\) et \(m, n \in \mathbb{Z}\) :
\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \quad ; \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
\[ (a^m)^n = a^{m \times n} \quad ; \quad (a \times b)^n = a^n \times b^n \]
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]
Astuce · Écriture scientifique Un nombre décimal est en écriture scientifique lorsqu’il est de la forme \(a \times 10^n\) avec \(1 \le |a| < 10\) et \(n \in \mathbb{Z}\).
Exemple : \(593,7 = 5,937 \times 10^2\)

5Identités Remarquables

Les 3 identités fondamentales Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) :
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \]
\[ (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \]
Identités avec des cubes (Tronc Commun avancé)
\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
\[ (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \]
\[ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]
\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \]
Exemple · Factoriser Factoriser \(C = 49x^2 – 81\).
  1. On reconnaît la forme \(a^2 – b^2\).
  2. \(C = (7x)^2 – 9^2\).
  3. Donc \(C = (7x – 9)(7x + 9)\).

6Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Ensembles

Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) :

1) \(6 \dots \mathbb{Z}\)     2) \(\frac{2}{3} \dots \mathbb{Q}\)     3) \(\sqrt{2} \dots \mathbb{Q}\)

Voir la solution

1) \(6 \in \mathbb{Z}\) (un entier relatif)

2) \(\frac{2}{3} \in \mathbb{Q}\) (une fraction)

3) \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) (c’est un irrationnel)

★★ Exercice 2 · Simplification de racines

Écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\) :

1) \(\sqrt{50}\)     2) \(\sqrt{72}\)     3) \(\sqrt{12} + \sqrt{75}\)

Voir la solution

1) \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\)

2) \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\)

3) \(\sqrt{12} + \sqrt{75} = \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{25 \times 3} = 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)

★★ Exercice 3 · Puissances

Simplifier : \(A = \frac{10^8 \times 10^9 \times 10^7 \times 10^4}{10^2 \times 10^5 \times 10^3}\)

Voir la solution

Au numérateur : \(10^{8+9+7+4} = 10^{28}\).

Au dénominateur : \(10^{2+5+3} = 10^{10}\).

Donc \(A = 10^{28-10} = 10^{18}\).

★★ Exercice 4 · Identités remarquables

Factoriser :

1) \(A = 16x^2 – 8x + 1\)

2) \(B = x^3 – 8\)

Voir la solution

1) On reconnaît \((a-b)^2\) avec \(a=4x\) et \(b=1\) :

\(A = (4x)^2 – 2(4x)(1) + 1^2 = (4x – 1)^2\)

2) On reconnaît \(a^3 – b^3\) avec \(a=x\) et \(b=2\) :

\(B = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)\)

★★★ Exercice 5 · Rendre rationnel

Rendre rationnel le dénominateur : \(E = \frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{2} – \sqrt{7}}\)

Voir la solution

On multiplie par le conjugué \(\sqrt{2} + \sqrt{7}\) :

\(E = \frac{5\sqrt{7}(\sqrt{2} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} – \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{7})}\)

Le dénominateur devient : \((\sqrt{2})^2 – (\sqrt{7})^2 = 2 – 7 = -5\).

Le numérateur devient : \(5\sqrt{14} + 5 \times 7 = 5\sqrt{14} + 35\).

Donc \(E = \frac{5\sqrt{14} + 35}{-5} = -\sqrt{14} – 7\).

★Fiche résumé à retenir

  • Ensembles : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
  • Rationnels : \(\mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^* \}\)
  • Racine carrée : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) et \(\sqrt{a^2} = |a|\).
  • Puissances : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \((a^m)^n = a^{mn}\).
  • Identités : \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) et \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\).
Les mathématiques, c’est l’art de comprendre les nombres !
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