Nombres complexes (Partie 1) 2ème Bac PC : cours

Ce cours de nombres complexes (partie 1) pour la 2ème Bac PC et SVT présente la forme algébrique, le conjugué, le module et la résolution d’équations, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.

Cours de nombres complexes (partie 1) 2ème Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Pourquoi les nombres complexes ? L’ensemble ℂ

Le problème L’équation x² + 1 = 0 n’a aucune solution réelle, car un carré réel est toujours positif. Les mathématiciens ont donc inventé un nouveau nombre, noté i, tel que i² = −1. Ainsi, x² + 1 = 0 a pour solutions i et −i.

Exemple x² − 2x + 2 = 0 s’écrit (x − 1)² + 1 = 0, soit (x − 1)² = −1 = i². Donc x − 1 = i ou x − 1 = −i, et les solutions sont 1 + i et 1 − i.

Définition L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Il contient ℝ et le nombre i (i² = −1). On peut y additionner et multiplier avec les mêmes règles que dans ℝ (commutativité, associativité, distributivité…).

Puissances de i i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, puis ça recommence (période 4). Pour calculer iⁿ, on prend le reste de n dans la division par 4.
Exemples : i²⁰²⁶ : 2026 = 4 × 506 + 2, donc i²⁰²⁶ = i² = −1. De même i²⁰²⁵ = i et i²⁰²⁷ = −i.

2Forme algébrique d’un nombre complexe

Définition Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme

z = a + bi (a et b réels)

C’est la forme algébrique. Le réel a est la partie réelle : a = Re(z). Le réel b est la partie imaginaire : b = Im(z).

Attention Im(z) est un nombre réel (le coefficient de i), pas « bi ». Par exemple, pour z = 2 − 3i : Re(z) = 2 et Im(z) = −3 (et non −3i).

Égalité de deux complexes a + bi = a′ + b′i ⇔ a = a′ et b = b′. Autrement dit, deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En particulier, a + bi = 0 ⇔ a = 0 et b = 0.

Réels et imaginaires purs

z est réel ⇔ Im(z) = 0.
z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 (z = bi). L’ensemble des imaginaires purs est noté iℝ.
0 est à la fois réel et imaginaire pur.

Exemple : 2 + 3i n’est ni réel ni imaginaire pur.

À savoir On ne peut pas ranger les complexes (on n’écrit jamais z < z′ pour des complexes non réels). Seuls les réels peuvent être comparés.

3Opérations dans ℂ

Formules (z = x + yi et z′ = x′ + y′i)

Somme : z + z′ = (x + x′) + (y + y′)i
Produit : z z′ = (x x′ − y y′) + (x y′ + y x′)i
Produit par un réel k : k z = kx + ky i
Inverse (z ≠ 0) : 1z = x − yix² + y²
Quotient (z′ ≠ 0) : zz′ = z × (x′ − y′i)x′² + y′²

Pas besoin d’apprendre le produit par cœur ! On développe comme d’habitude et on remplace i² par −1. Pour un quotient, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur (même idée que pour rendre un dénominateur rationnel avec une racine).

Exemple z = 1 + 5i et z′ = 2 − 3i.

z + z′ = 3 + 2i
z z′ = 2 − 3i + 10i − 15i² = 2 + 7i + 15 = 17 + 7i
3z = 3 + 15i
1z′ = 1 × (2 + 3i)(2 − 3i)(2 + 3i) = 2 + 3i13 = 213 + 313 i
zz′ = (1 + 5i)(2 + 3i)13 = 2 + 3i + 10i + 15i²13 = −13 + 13i13 = −1 + i

Identités et règles de calcul

(a + bi)² = a² − b² + 2abi ; (a − bi)² = a² − b² − 2abi
(a + bi)(a − bi) = a² + b² (un réel positif)
z z′ = 0 ⇔ z = 0 ou z′ = 0
Les règles sur les puissances sont les mêmes que dans ℝ : zⁿ z^m = z^n+m, (zⁿ)^m = z^nm, (z z′)ⁿ = zⁿ z′ⁿ.
Pour z ≠ 1 : 1 + z + z² + … + zⁿ = 1 − zⁿ⁺¹1 − z.

Exemple · puissance (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i. Donc (1 + i)⁴ = (2i)² = −4 et (1 + i)⁸ = 16.

4Représentation géométrique : le plan complexe

Définition Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u⃗, v⃗). Au point M(x ; y) on associe le complexe z = x + yi, appelé affixe de M (et du vecteur OM⃗). On note M(z). Réciproquement, tout complexe est l’affixe d’un unique point : le plan est alors appelé plan complexe.

L’axe des abscisses est l’axe réel (points d’affixe réelle).
L’axe des ordonnées est l’axe imaginaire (points d’affixe bi).

Propriétés des affixes (A(z_A), B(z_B), C(z_C))

Le vecteur AB⃗ a pour affixe z_B − z_A.
Le milieu I de [AB] a pour affixe z_I = z_A + z_B2.
Le barycentre G de {(A, α) ; (B, β)} (α + β ≠ 0) a pour affixe z_G = α z_A + β z_Bα + β.
aff(u⃗ + v⃗) = aff(u⃗) + aff(v⃗) et aff(k u⃗) = k aff(u⃗).
Alignement : A, B, C (distincts) sont alignés ⇔ z_C − z_Az_B − z_A est réel.
Parallélogramme : ABCD est un parallélogramme ⇔ AB⃗ = DC⃗ ⇔ z_B − z_A = z_C − z_D.

Exemple A(2 + 3i), B(1 + i), C(1 + 2i).

z_AB⃗ = (1 + i) − (2 + 3i) = −1 − 2i.
Milieu I de [AB] : z_I = 3 + 4i2 = 32 + 2i.
z_C − z_Az_B − z_A = −1 − i−1 − 2i = (1 + i)(1 − 2i)5 = 3 − i5, qui n’est pas réel : A, B, C ne sont pas alignés.
Barycentre G de {(A, 2) ; (B, −1) ; (C, 3)} : z_G = 2(2 + 3i) − (1 + i) + 3(1 + 2i)2 − 1 + 3 = 6 + 11i4.
ABCD parallélogramme : z_D = z_A + z_C − z_B = 2 + 3i + 1 + 2i − 1 − i = 2 + 4i.

5Le conjugué d’un nombre complexe

Définition Le conjugué de z = a + bi est le nombre z̄ = a − bi (on change le signe de la partie imaginaire).
Exemples : conj(2 + 5i) = 2 − 5i ; conj(2i) = −2i ; conj(7) = 7.

M′ est le symétrique de M par rapport à l’axe réel.

r = OM = |z| est le module ; θ est l’argument.

Propriétés (z et z′ complexes)

z + z̄ = 2 Re(z) ; z − z̄ = 2i Im(z) ; z z̄ = a² + b²
conj(z̄) = z
conj(z + z′) = z̄ + z̄′ ; conj(z z′) = z̄ z̄′
conj(zz′) = z̄z̄′ (z′ ≠ 0) ; conj(zⁿ) = (z̄)ⁿ
z est réel ⇔ z = z̄ ; z est imaginaire pur ⇔ z̄ = −z

Méthode pour montrer qu’un nombre est réel On calcule son conjugué. Si Z̄ = Z, alors Z est réel. Si Z̄ = −Z, alors Z est imaginaire pur.

Exemple 1 Montrer que S = (1 + i)⁵ + (1 − i)⁵ est réel. On remarque que (1 − i)⁵ = conj((1 + i)⁵). Donc S = w + w̄ = 2 Re(w) est réel. Ici, (1 + i)⁵ = (1 + i)⁴(1 + i) = −4 − 4i et S = (−4 − 4i) + (−4 + 4i) = −8.

Exemple 2 · Résoudre une équation avec z̄ Résoudre 2z + i z̄ = 3. On pose z = x + yi (x, y réels) : 2x + 2yi + i(x − yi) = (2x + y) + (x + 2y)i = 3. On identifie : 2x + y = 3 et x + 2y = 0. D’où x = 2 et y = −1. La solution est z = 2 − i.

6Le module d’un nombre complexe

Définition Le module de z = a + bi est le réel positif

|z| = √(a² + b²) = √(z z̄)

Géométriquement, |z| = OM (distance de O à M(z)).

Distance Pour A(z_A) et B(z_B) : AB = |z_B − z_A|.

Propriétés

|z|² = z z̄ ; |z̄| = |−z| = |z| ; |z| = 0 ⇔ z = 0
|z z′| = |z| |z′| ; |z / z′| = |z| / |z′| (z′ ≠ 0) ; |zⁿ| = |z|ⁿ

Attention En général |z + z′| ≠ |z| + |z′|. Le module ne se distribue pas sur une somme. Par exemple |1 + i| = √2 alors que |1| + |i| = 2.

Exemples

|3 + 4i| = √(9 + 16) = 5 ; |1 + i| = √2 ; |1 − i√3| = √(1 + 3) = 2 ; |−7| = 7 ; |2i| = 2.
|(1 + i)⁶| = |1 + i|⁶ = (√2)⁶ = 8.
|(1 + i)(2 + 3i)| = √2 × √13 = √26.

Nature d’un triangle A(1 + i), B(−1 + i), C(3i). AB = |z_B − z_A| = |−2| = 2. AC = |−1 + 2i| = √5. CB = |−1 − 2i| = √5. Comme AC = CB, le triangle ABC est isocèle en C.

Calculatrice de complexe : entre a et b pour z = a + bi.

a = b =

z	Conjugué	Module \|z\|	Argument principal	Inverse 1/z

7Ensembles de points définis par une condition

À connaître (A(a) et B(b) deux points distincts)

|z − a| = R (R > 0) : M décrit le cercle de centre A et de rayon R.
|z − a| = |z − b| : M décrit la médiatrice du segment [AB].
z − az − b est réel (M ≠ B) : M décrit la droite (AB), privée de B.
z − az − b est imaginaire pur (M ≠ B) : MA ⊥ MB, donc M décrit le cercle de diamètre [AB], privé de B.

Méthode alternative : calcul avec z = x + yi On pose z = x + yi, on calcule la quantité, puis on traduit la condition par une équation en x et y (équation de droite ou de cercle).

Exemple 1 · Cercle |z − 2i| = 3 ⇔ |x + (y − 2)i| = 3 ⇔ x² + (y − 2)² = 9. C’est le cercle de centre Ω(0 ; 2) et de rayon 3.

Exemple 2 · Médiatrice |z − 1| = |z − i| ⇔ (x − 1)² + y² = x² + (y − 1)² ⇔ −2x + 1 = −2y + 1 ⇔ y = x. C’est la droite d’équation y = x, médiatrice de [AB] avec A(1) et B(i).

8Argument d’un nombre complexe non nul

Définition Soit z ≠ 0 et M(z). Tout réel θ qui mesure l’angle orienté (u⃗ ; OM⃗) est un argument de z. On note arg z ≡ θ [2π] (c’est-à-dire θ + 2kπ avec k ∈ ℤ). L’argument principal est celui qui est dans ]−π, π].
Le nombre 0 n’a pas d’argument.

Cas particuliers

z > 0 : arg z ≡ 0 [2π] ; z < 0 : arg z ≡ π [2π].
z = bi avec b > 0 : arg z ≡ π2 [2π] ; b < 0 : arg z ≡ −π2 [2π].
arg z̄ ≡ −arg z [2π] ; arg(−z) ≡ arg z + π [2π].
k > 0 : arg(k z) ≡ arg z [2π] ; k < 0 : arg(k z) ≡ arg z + π [2π].

Règles de calcul (z, z′ non nuls, n ∈ ℤ)

arg(z z′) ≡ arg z + arg z′ [2π]
arg(zz′) ≡ arg z − arg z′ [2π] ; arg(1z) ≡ −arg z [2π]
arg(zⁿ) ≡ n × arg z [2π]

Retiens : le module se multiplie, l’argument s’additionne (pour un produit).

Exemples

arg(1 + i) ≡ π4 [2π] (le point (1 ; 1) est sur la première bissectrice).
arg(4i(1 + i)) ≡ arg(4i) + arg(1 + i) ≡ π2 + π4 = 3π4 [2π].
arg((1 + i)⁸) ≡ 8 × π4 = 2π ≡ 0 [2π] : (1 + i)⁸ est un réel positif (c’est 16).

Attention Un argument est défini modulo 2π. On écrit toujours « [2π] » (ou « à 2π près »). Et arg(z + z′) n’a aucun lien simple avec arg z + arg z′ : seuls les produits et quotients se traitent facilement.

9Forme trigonométrique

Définition Soit z ≠ 0, r = |z| et θ ≡ arg z [2π]. Alors

z = r (cos θ + i sin θ) = [r, θ]

C’est la forme trigonométrique de z. Elle est liée à la forme algébrique z = a + bi par

a = r cos θ et b = r sin θ

Méthode : passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Calculer le module r = √(a² + b²).
Factoriser : z = r ( ar + i br ).
Trouver θ tel que cos θ = ar et sin θ = br (en utilisant les valeurs usuelles).
Écrire z = r (cos θ + i sin θ).

Valeurs usuelles à connaître

θ	0	π6	π4	π3	π2	π
cos θ	1	√32	√22	12	0	−1
sin θ	0	12	√22	√32	1	0

Exemple 1 z = 1 + i√3.

r = √(1 + 3) = 2.
z = 2 ( 12 + i √32 ).
cos θ = 12 et sin θ = √32 donnent θ = π3.

Donc z = 2(cos π3 + i sin π3) = [2, π3].

Exemple 2 · Attention aux signes z = −1 + i : r = √2, cos θ = −√22, sin θ = √22, donc θ = 3π4. z = [√2, 3π4].
z = −√3 − i : r = 2, cos θ = −√32, sin θ = −12, donc θ = −5π6. z = [2, −5π6].

Cas simples

7 = [7, 0] ; −5 = [5, π] ; 7i = [7, π2] ; −2i = [2, −π2].
1 + i = [√2, π4] ; 1 − i√3 = [2, −π3] ; √3 + i = [2, π6].

Attention Le module est toujours positif. L’écriture −2(cos θ + i sin θ) n’est pas une forme trigonométrique : il faut la réécrire avec +2 et l’angle θ + π.

Avec la notation [r, θ] Si z = [r, θ] : z̄ = [r, −θ] et −z = [r, θ + π].

10Produit, quotient et formule de Moivre

Propriétés (z = [r, θ] et z′ = [r′, θ′])

Produit : z z′ = [r r′, θ + θ′]
Inverse : 1z = [1r, −θ]
Quotient : zz′ = [rr′, θ − θ′]
Puissance (formule de Moivre) : pour n ∈ ℤ, [r, θ]ⁿ = [rⁿ, nθ], c’est-à-dire
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

À retenir Pour multiplier : on multiplie les modules et on additionne les arguments. Pour diviser : on divise les modules et on soustrait les arguments. Pour une puissance : on met le module à la puissance et on multiplie l’argument.

Exemple 1 · Puissances

(1 + i)⁸ = [√2, π4]⁸ = [(√2)⁸, 8 × π4] = [16, 2π] = 16.
(1 − i√3)³ = [2, −π3]³ = [8, −π] = 8(cos(−π) + i sin(−π)) = −8.
(1 + i√3)⁶ = [2, π3]⁶ = [64, 2π] = 64.

Exemple 2 · Valeurs exactes de cos et sin Soit z₁ = √3 + i et z₂ = 1 − i, et Z = z₁z₂.

Forme trigonométrique : z₁ = [2, π6] et z₂ = [√2, −π4]. Donc Z = [2√2, π6 + π4] = [√2, 5π12].
Forme algébrique : Z = (√3 + i)(1 + i)(1 − i)(1 + i) = √3 + √3 i + i − 12 = √3 − 12 + √3 + 12 i.
On identifie : √2 cos 5π12 = √3 − 12 et √2 sin 5π12 = √3 + 12.
Conclusion : cos 5π12 = √3 − 12√2 = √6 − √24 et sin 5π12 = √6 + √24.

Astuce Si on te demande de calculer une puissance élevée d’un complexe, passe toujours par la forme trigonométrique (Moivre). Si la puissance est petite (2 ou 3), tu peux développer en forme algébrique.

11Interprétation géométrique de l’argument

Angles orientés (A(a), B(b), C(c), D(d) distincts deux à deux comme il faut)

(AB⃗ ; AC⃗) ≡ arg(c − ab − a) [2π]
(AB⃗ ; CD⃗) ≡ arg(d − cb − a) [2π]
(OM⃗ ; OM′⃗) ≡ arg(z′z) [2π]

Applications (le quotient d − cb − a est la clé)

Propriété géométrique	Condition sur l’argument du quotient
A, B, C alignés	arg(c − ab − a) ≡ 0 [π] (le quotient est réel)
(AB) // (CD)	arg(d − cb − a) ≡ 0 [π]
(AB) ⊥ (CD)	arg(d − cb − a) ≡ π2 [π] (le quotient est imaginaire pur)

Le module aussi sert ! Le quotient c − ab − a a pour module ACAB. Donc :

module = 1 ⇒ AB = AC (triangle isocèle en A) ;
module = 1 et argument ≡ ±π2 ⇒ triangle isocèle rectangle en A ;
module = 1 et argument ≡ ±π3 ⇒ triangle équilatéral.

Exemple 1 · Triangle isocèle rectangle A(1 + i), B(3 + i), C(1 + 3i). z_C − z_Az_B − z_A = 2i2 = i = [1, π2].
Donc AC = AB et (AB⃗ ; AC⃗) ≡ π2 [2π] : ABC est isocèle et rectangle en A.

Exemple 2 · Alignement A(1), B(2 + i), C(4 + 3i). z_C − z_Az_B − z_A = 3 + 3i1 + i = 3 est réel, donc A, B, C sont alignés.

12Que faire dans un exercice ? · Erreurs à éviter

La question	Le réflexe
Mettre sous forme algébrique un quotient	Multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.
Résoudre une équation avec z et z̄	Poser z = x + yi, identifier parties réelle et imaginaire.
Montrer que Z est réel / imaginaire pur	Calculer Z̄ : Z̄ = Z (réel) ou Z̄ = −Z (imaginaire pur).
Calculer un module	√(a² + b²) ; produit/quotient/puissance : propriétés du module.
Trouver un argument	Écrire cos θ = a/r et sin θ = b/r, et regarder les deux signes.
Calculer une grande puissance	Forme trigonométrique + Moivre.
Montrer que 3 points sont alignés	Quotient z_C − z_Az_B − z_A réel.
Nature d’un triangle	Module (longueurs) + argument (angles) du quotient.
Ensemble de points	Reconnaître cercle / médiatrice / droite, sinon poser z = x + yi.

i² = +1 ?Non : i² = −1. Attention aux signes dans les produits (par exemple (2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13).

Im(z) = bi ?Im(z) est le réel b (sans le i).

Comparer deux complexesOn n’écrit pas z₁ < z₂ si ce ne sont pas des réels.

|z + z′| = |z| + |z′| ?Faux en général. Le module respecte seulement les produits et les quotients.

Argument avec arctan seulementNe pas oublier de vérifier cos θ et sin θ : −1 + i et 1 − i n’ont pas le même argument.

Module négatifUne écriture r(cos θ + i sin θ) avec r < 0 n’est pas la forme trigonométrique.

Oublier « [2π] »Un argument est défini modulo 2π.

Diviser par 0Pour les quotients et les arguments, vérifier que le dénominateur est non nul.

13Exercices d’entraînement corrigés

Cherche d’abord seul(e) sur ton cahier, puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Calculs en forme algébrique

Écrire sous forme algébrique : (a) (2 + 3i)(1 − i) (b) 3 + 2i1 − i (c) i²⁰²⁷ (d) (1 + i)⁴.

Voir la solution

(a) 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.

(b) (3 + 2i)(1 + i)(1 − i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i²2 = 1 + 5i2 = 12 + 52 i.

(d) (1 + i)² = 2i, donc (1 + i)⁴ = (2i)² = −4.

★ Exercice 2 · Équation

Résoudre dans ℂ : z̄ + 2z = 3 + 6i.

Voir la solution

Avec z = x + yi : (x − yi) + 2(x + yi) = 3x + yi = 3 + 6i. Donc 3x = 3 et y = 6 : x = 1, y = 6. z = 1 + 6i.

★★ Exercice 3 · Module et argument

Écrire sous forme trigonométrique : (a) −1 + i√3 (b) −2i (c) √3 − i (d) −√2 − i√2.

Voir la solution

(a) r = 2, cos θ = −12, sin θ = √32 : θ = 2π3. [2, 2π3].

(b) [2, −π2].

(d) r = 2, cos θ = −√22, sin θ = −√22 : θ = −3π4. [2, −3π4].

★★ Exercice 4 · Formule de Moivre

Calculer (1 + i√3)⁶ et (1 − i)¹⁰.

Voir la solution

1 + i√3 = [2, π3] donc (1 + i√3)⁶ = [64, 2π] = 64.

1 − i = [√2, −π4] donc (1 − i)¹⁰ = [32, −10π4] = [32, −5π2] = [32, −π2] (modulo 2π) = −32i.

(Vérification : (1 − i)² = −2i et (−2i)⁵ = −32 i⁵ = −32i.)

★★ Exercice 5 · Ensembles de points

Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que : (a) |z − 1| = |z − i| (b) |z + 1 − i| = 2.

Voir la solution

(a) (x − 1)² + y² = x² + (y − 1)² ⇔ −2x + 1 = −2y + 1 ⇔ y = x. C’est la droite d’équation y = x (médiatrice de [AB], A(1), B(i)).

(b) |z − (−1 + i)| = 2 : c’est le cercle de centre Ω(−1 ; 1) et de rayon 2.

★★ Exercice 6 · Géométrie

(1) A(1 + i), B(3 + i), C(1 + 3i) : montrer que ABC est isocèle rectangle en A. (2) A(1), B(2 + i), C(4 + 3i) : sont-ils alignés ?

Voir la solution

(1) z_C − z_Az_B − z_A = 2i2 = i. Module 1 donc AB = AC ; argument π2 donc l’angle en A est droit. ABC est isocèle rectangle en A.

(2) z_C − z_Az_B − z_A = 3 + 3i1 + i = 3 ∈ ℝ. Oui, alignés.

★★★ Exercice 7 · Valeurs exactes

Soit Z = √3 + i1 − i. Écrire Z sous forme algébrique puis trigonométrique, et en déduire cos 5π12 et sin 5π12.

Voir la solution

Algébrique : Z = (√3 + i)(1 + i)2 = (√3 − 1) + (√3 + 1)i2.

Trigonométrique : √3 + i = [2, π6] et 1 − i = [√2, −π4], donc Z = [√2, 5π12].

On identifie : √2 cos 5π12 = √3 − 12, donc cos 5π12 = √6 − √24 ; √2 sin 5π12 = √3 + 12, donc sin 5π12 = √6 + √24.

★★★ Exercice 8 · Conjugué et réalité

(1) Montrer que S = (1 + i)⁵ + (1 − i)⁵ est un réel et le calculer. (2) Montrer que si |z| = 1, alors z + 1z est réel.

Voir la solution

(1) (1 − i)⁵ est le conjugué de (1 + i)⁵, donc S = w + w̄ = 2 Re(w) est réel. (1 + i)⁵ = (1 + i)⁴(1 + i) = −4(1 + i) = −4 − 4i. D’où S = 2 × (−4) = −8.

(2) |z| = 1 donne z z̄ = |z|² = 1, donc 1z = z̄. Alors z + 1z = z + z̄ = 2 Re(z), qui est réel.

★Fiche résumé à retenir

i² = −1. z = a + bi : Re(z) = a, Im(z) = b. z = z′ ⇔ mêmes parties réelle et imaginaire.
Quotient : multiplier par le conjugué du dénominateur. (a + bi)(a − bi) = a² + b².
Affixes : aff(AB⃗) = z_B − z_A ; milieu = z_A + z_B2 ; A, B, C alignés ⇔ z_C − z_Az_B − z_A réel.
Conjugué : z̄ = a − bi ; z z̄ = |z|² ; z réel ⇔ z = z̄ ; z imaginaire pur ⇔ z̄ = −z.
Module : |z| = √(a² + b²) ; AB = |z_B − z_A| ; |z z′| = |z||z′|.
Ensembles : |z − a| = R cercle ; |z − a| = |z − b| médiatrice.
Argument : arg(z z′) = arg z + arg z′ ; arg(zⁿ) = n arg z ; arg z̄ = −arg z.
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) = [r, θ], avec cos θ = a/r, sin θ = b/r.
Moivre : [r, θ]ⁿ = [rⁿ, nθ].
Géométrie : (AB⃗ ; AC⃗) ≡ arg(c − ab − a) ; réel ⇒ alignés ou parallèles ; imaginaire pur ⇒ perpendiculaires.

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